＊ 廣義（h，φ）－不變凸多目標半無限規(guī)劃的最優(yōu)性條件

李向有，張慶祥

（延安大學 數(shù)學與計算機學院，陜西 延安 716000）

＊廣義（h，φ）－不變凸多目標半無限規(guī)劃的最優(yōu)性條件

李向有，張慶祥

（延安大學 數(shù)學與計算機學院，陜西 延安 716000）

在（h，φ）凸函數(shù)的基礎上，定義了一類（h，φ）－ρ不變凸函數(shù)，研究了涉及此類函數(shù)的多目標半無限規(guī)劃，在更弱的凸性下，得到了一些最優(yōu)性條件.

（h，φ）－ρ不變凸函數(shù)；半無限規(guī)劃；最優(yōu)性

廣義（h，φ）凸規(guī)劃是非凸最優(yōu)化的一個分支，近年來，許多學者在這方面進行了研究，得到了不少有益的成果.如王香柯［1］利用Ben－Tal廣義代數(shù)運算，在非光滑情形下提出了若干類廣義（h，φ）凸函數(shù)的概念，得到了一類非凸規(guī)劃的最優(yōu)性條件，張慶祥［2］利用Ben－Tal廣義代數(shù)運算，提出了（h，φ）偽凸、（h，φ）擬凸函數(shù)，研究了非光滑（h，φ）半無限規(guī)劃解的充分性和對偶性，徐義紅、劉三陽［3］利用Ben－Tal廣義代數(shù)運算，研究了（h，φ）廣義凸函數(shù)的若干性質，得到了（h，φ）廣義凸多目標規(guī)劃的最優(yōu)性和對偶性條件，盛寶懷，李銀興，劉三陽［4］定義了（h，φ）廣義切導數(shù)并研究了相應規(guī)劃的最優(yōu)性條件，王榮波、張慶祥、馮強［5］研究了一類廣義一致凸多目標規(guī)劃的對偶性條件，梁治安、張振華［6］討論了一致不變凸多目標規(guī)劃的最優(yōu)性條件.

本文在上述文章的基礎上，利用Ben－Tal廣義代數(shù)運算，定義了一類（h，φ）－ρ不變凸函數(shù)，得到了一類非光滑（h，φ）多目標半無限規(guī)劃的最優(yōu)性條件，在更弱的凸性下，對已有結果進行了推廣.

1 廣義（h，φ）不變凸函數(shù)的定義

我們先引入Ben－Tal廣義代數(shù)運算［7］：

（i）設h為H?Rn上的n維向量連續(xù)函數(shù)，它具有反函數(shù)h－1，對于x∈H和y∈H，定義h－向量加法為

對于x∈H和λ∈R，定義h－數(shù)乘

（ii）設φ是Φ?Rn上的連續(xù)實值函數(shù)，它具有反函數(shù)φ－1，則兩個數(shù)α∈Φ和β∈Φ的φ－加法定義為

對于α∈Φ，λ∈R，φ－數(shù)乘定義為

（iii）對于向量x∈H和y∈H，（h，φ）－內(nèi)積定義為

（iv）h－向量減法，φ－減法由（i），（ii）知，可以分別表述為

我們記

為f（x）在x處沿方向d的廣義（h，φ）方向導數(shù).設f（x）是Rn上的Lipschitz函數(shù)，

?＊f（x）＝｛ξ：f＊（x；d）≥（ξTd）h，φ，?d∈Rn｝，稱ξ∈?＊f（x）為f（x）在x點的廣義（h，φ）梯度，?＊f（x）稱為f（x）在x點的廣義（h，φ）梯度集［1］.

定義1 設f∶Rn→R是Lipschitz函數(shù)，η：Rn×Rn→Rn為向量函數(shù)，稱f為（h，φ）－ρ不變凸的，如果對于?x1，x2∈Rn，?ξ∈?＊f（x2），ρ∈R，θ：Rn×Rn→Rn有

f（x1）［－］f（x2）≥ （ξΤη（x1，x2））h，φ［＋］ρ［·］‖θ（x1，x2）‖.

定義2設f：Rn→R是Lipschitz函數(shù)，η：Rn×Rn→Rn為向量函數(shù)，稱f為（h，φ）－ρ不變偽凸的，如果對于?x1，x2∈Rn，?ξ∈?＊f（x2），ρ∈R，θ∶Rn×Rn→Rn有

f（x1）［－］f（x2）＜0?（ξΤη（x1，x2））h，φ［＋］ρ［·］‖θ（x1，x2）‖ ＜0.

定義3 設f∶Rn→R是Lipschitz函數(shù)，η：Rn×Rn→Rn為向量函數(shù)，稱f為（h，φ）－ρ嚴格不變偽凸的，如果對于?x1，x2∈Rn，?ξ∈?＊f（x2），ρ∈R，θ：Rn×Rn→Rn有f（x1）［－］f（x2）≤0?（ξΤη（x1，x2））h，φ［＋］ρ［·］‖θ（x1，x2）‖＜0.

定義4 設f∶Rn→R是Lipschitz函數(shù)，η：Rn×Rn→Rn為向量函數(shù)，稱f為（h，φ）－ρ不變擬凸的，如果對于?x1，x2∈Rn，?ξ∈?＊f（x2），ρ∈R，θ：Rn×Rn→Rn有

f（x1）［－］f（x2）≤0?（ξΤη（x1，x2））h，φ［＋］ρ［·］‖θ（x1，x2）‖ ≤0.

在上述定義中令η（x1，x2）＝x1Θx2，ρ＝0，則其就為［2］中（h，φ）凸函數(shù)，所以本文定義的（h，φ）－ρ不變凸函數(shù)，是更廣義的一類凸函數(shù).

定義5 可行解x0稱為（h，φ）有效解，若不存在其他可行解x，使得由定義顯然可得有效解一定為（h，φ）有效解，反之不一定成立.只要令φ（a）＝ka（k≠0）即可.

設f（x）是Rn上的Lipschitz函數(shù)，對于?x，d∈Rn，稱

2 最優(yōu)性充分條件

這里f i（i＝1，…，p）為局部Lipschitz的實值函數(shù)，Y為無限可數(shù)參數(shù)集.記（P）的可行集X＝｛x｜g（x，u）≤0，x∈X0?Rn，u∈Y?Rn｝，Δ＝｛i｜g（x，ui）≤0，ui∈Y?Rm｝是可數(shù)指標集，Λ＝｛vj｜vj≥0，j∈Δ｝.以下假定出現(xiàn)的所有各式均有意義.

引理1 設φ是R上的嚴格單調(diào)函數(shù)，對每個給定的λ≥0，相應于minλΤf（x）的最優(yōu)解必是（VP）的（h，φ）有效解.

引理2［3］設φ是R上的嚴格單調(diào)函數(shù)，φ（0）＝0，h（0）＝0，對任意x，y，w∈Rn，若x⊕y＝0，（xΤw）h，φ≤0，則（yΤw）h，φ≥0.

考慮下列多目標半無限規(guī)劃問題（VP）

［1］ 王香柯.一類（h，φ）意義下非光滑解得充分條件［J］.青島大學學報，1996，11（1）：51－57.

［2］ 張慶祥.非光滑（h，φ）半無限規(guī)劃解的充分性和對偶性［J］.應用數(shù)學學報，2001，24（1）：129－138.

［3］ 徐義紅，劉三陽.（h，φ）不變廣義凸函數(shù)的若干性質與（h，φ）不變廣義凸多目標規(guī)劃的最優(yōu)性及對偶性［J］.應用數(shù)學學報，2003，26（4）：727－736.

［4］ 盛寶懷，李銀興，劉三陽.（h，φ）廣義切導數(shù)與最優(yōu)性條件［J］.應用數(shù)學學報，2007，30（4）：592－603.

［5］ 王榮波，張慶祥，馮強.廣義一致Bρ－（p，r）不變凸多目標規(guī)劃問題的 Mond－Weir型對偶［J］.山西大學學報：自然科學版，2010，33（2）：177－181.

［6］ 梁治安，張振華.一致不變凸多目標規(guī)劃的最優(yōu)性條件和對偶性［J］.運籌學學報，2009，13（1）：44－50.

［7］ Avriel M.Nonlinear Programming：Analysis and Methods［M］.New Jersey：Prentice－Hall，Englewood Cliffs，1976.

Optimality Condition of Multiple－objective Semi－Infinite Programming with Generalized（h，φ）Invex Function

LI Xiang－you，ZHANG Qing－xiang
（InstituteofMathematicsandComputerScience，Yan’anUniversity，Yan’an716000，China）

Based on （h，φ）convex function，the class of（h，φ）－ρinvex function was defined，optimality of multiple－objective semi－Infinite programming involving this kind of function was researched，and many important conclusions were obtained under weker convexity.

（h，φ）－ρinvex function；semi－infinite programming；optimality

O221.6

A

0253－2395（2011）04－0539－04＊

2010－05－10；

2010－12－10

國家自然科學基金（60873099）；延安大學科研基金（YDK2004－196）

李向有（1976－），男，陜西延安人，碩士，講師，研究領域為最優(yōu)化理論及應用.