沉積環(huán)境判別與分類的Bayes判別分析法

董文娟,朱遠(yuǎn)鑫,萬明剛,呂一兵

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北荊州 434023)

0 引 言

沉積物粒度參數(shù)的變化受搬運介質(zhì)、搬運方式、沉積環(huán)境和氣候等因素控制,不同粒度組分的形成與搬運與沉積環(huán)境密切相關(guān),處理、分析粒度數(shù)據(jù)可以進(jìn)一步確定沉積環(huán)境,這對現(xiàn)代沉積學(xué)的研究,乃至古代沉積物的沉積環(huán)境分析無疑都具有重要的理論和現(xiàn)實意義.

在相關(guān)研究中,Sahu等[1]在對不同成因的樣品進(jìn)行分析研究的基礎(chǔ)上,得到了各類沉積環(huán)境間的判別函數(shù),曲政[2]給出了一種單樣品粒度分布表征的方法.薛清太[3]通過測試分析發(fā)現(xiàn)沉積巖粒度中值分布、泥質(zhì)含量、分選性等是影響油藏巖石滲透能力的重要因素,而正態(tài)分布和Φ正態(tài)分布能較好地描述低滲透砂巖油藏中沉積物的粒度分布特征,楊銳等[4]根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計方法對粒度參數(shù)進(jìn)行無偏估計,使之較以往參數(shù)估計更加符合無系統(tǒng)誤差的評選標(biāo)準(zhǔn),并利用這一方法對長樂東部海岸的風(fēng)沙進(jìn)行了系統(tǒng)的粒度參數(shù)分析,張平等[5]對典型穩(wěn)定湖相沉積物和典型風(fēng)成黃土粒度參數(shù)做了定量化分析,然后利用多元判別分析的Fisher準(zhǔn)則建立了湖相與風(fēng)成沉積物兩種沉積相的判別函數(shù).在上述研究的基礎(chǔ)上,本文將判別分析理論應(yīng)用于沉積環(huán)境的綜合評判中,建立沉積環(huán)境判別與分類的Bayes判別分析模型,選用粒度的平均粒徑、標(biāo)準(zhǔn)偏差、偏差、峰值4個指標(biāo)作為判別因子,結(jié)合多元統(tǒng)計分析建立沉積環(huán)境判別與分類的Bayes判別函數(shù).研究表明,所建立的Bayes判別函數(shù)可較理想地應(yīng)用于沉積環(huán)境的判別與分類中,同時,將其應(yīng)用于實際工程中取得了較為理想的效果.

1 Bayes判別分析

1.1 判別分析的基本思想

已知有 g個p維總體G1,G2,…,Gg,每個總體Gi可以認(rèn)為是屬于 Gi的指標(biāo),X= (X1,X2,…, Xp)T,取值的全體,它們分別具有互不相同的p維概率密度函數(shù),f1(x),f2(x),…,fg(x),對于任一給定的新樣品關(guān)于指標(biāo) X的觀測值,x=(x1,x2,…, xp)T,關(guān)鍵是要判斷該樣品屬于 g個總體中的哪一個.因而,判別分析是根據(jù)所研究個體的某些指標(biāo)的觀察值來推斷該個體所屬類型的一種統(tǒng)計學(xué)方法.在這些判別方法中,Bayes判別是使誤判的平均損失達(dá)到最小的一種判別分析方法.

1.2 Bayes判別函數(shù)

設(shè)2個p維正態(tài)分布總體G1,G2,其概率密度函數(shù)為,

式中,μi,∑i為兩總體的均值向量和協(xié)方差矩陣, |∑i|為∑i的行列式,i=1,2.

假設(shè),∑1=∑2=∑,根據(jù)馬氏(Mahalano-bis)距離和判別函數(shù)的概念可得,

式中,

稱為Bayes判別函數(shù).

1.3 多正態(tài)總體的Bayes判別

現(xiàn)將式(3)推廣到多正態(tài)總體的情形.設(shè)有 g個p維總體G1,G2,…,Gg,其概率密度函數(shù)如式(1)所示,此時,i=1,2,…,g.假設(shè)各正態(tài)總體的協(xié)方差矩陣相等,即,∑1=∑2=…=∑g=∑,則其Bayes判別函數(shù)為,

實際應(yīng)用中,若μi,∑i未知,可以訓(xùn)練樣本做估計,即以訓(xùn)練樣本的樣本均值x—(i)和樣本方差 Si作為μi和∑i的估計,此時,

式中,k=1,2,…,g.

1.4 多正態(tài)總體的Bayes判別準(zhǔn)則

設(shè)總體 G1,G2,…,Gg的先驗概率分布分別為, q1,q2,…,qg,誤判損失為,c(j|i)(i,j=1,2,…, g,i≠j),記c(i|j)=0.在等誤判損失下,其Bayes判別準(zhǔn)則為,

多正態(tài)總體Bayes判別準(zhǔn)則可解釋為:對于給定的樣品x,計算g個總體在x處的概率密度函數(shù)值(以Bayes函數(shù)值 Wi(x)代替),最大值所屬的總體Gi即為x所屬的類別.

1.5 判別準(zhǔn)則的評價

為考察上述判別準(zhǔn)則的優(yōu)良性,采用以訓(xùn)練樣本為基礎(chǔ)的刀切法來計算誤判率 pw.該方法的基本思想是:每次從訓(xùn)練樣本中剔除一個樣本,利用剩下的 n1+…+ng-1個訓(xùn)練樣本建立判別函數(shù),再用所得到的判別函數(shù)對剔除的樣本進(jìn)行分類,重復(fù)以上步驟,以其誤判的比例作為誤判概率的估計.具體過程如下:

①從總體G1,容量為n1的訓(xùn)練樣本開始,依次剔除其中的一個樣本,用剩下的(n1-1)+…+ng個樣本,建立相應(yīng)的判別函數(shù);

②利用得到的判別函數(shù)對剔除的樣本做判別;

③重復(fù)步驟 ①、②直到總體G1中n1個樣本依次被剔除和判別,其中被誤判的樣本數(shù)記為 n′1;

④利用上面的方法,繼續(xù)對 G2,…,Gg中的樣本進(jìn)行剔除和判別,直到所有n1+…+ng個樣本均被剔除和判別后,得到誤判的訓(xùn)練樣本總個數(shù)為n′1+…+n′g,其誤判率為,

2 沉積環(huán)境評判的Bayes模型

2.1 評判因子

沉積物粒度參數(shù)的變化受搬運介質(zhì)、搬運方式、沉積環(huán)境和氣候等因素控制,參考相關(guān)研究成果[2-6],本文選擇粒度的平均粒徑、標(biāo)準(zhǔn)偏差、偏差、峰值等4個指標(biāo)作為判別因子,并將沉積環(huán)境分為潮汐水道、水下分流河道和水下決口扇3種沉積環(huán)境,建立沉積環(huán)境綜合評判的Bayes模型.

2.2 Bayes判別函數(shù)及判別實例

珠江口盆地某凹陷是晚新生代古珠江三角洲—濱岸沉積體系形成、發(fā)育及演化的主要場所.我們在對該凹陷某區(qū)域進(jìn)行沉積微相劃分時進(jìn)行了大量的粒度實驗,得到了一系列與沉積微相對應(yīng)的粒度數(shù)據(jù),取其中20個樣本作為訓(xùn)練樣本,建立Bayes判別函數(shù),其具體樣本數(shù)據(jù)如表1所示.

假定:誤判損失相等,總體先驗分布相同,并且3個總體服從協(xié)方差矩陣相等的正態(tài)分布,并按上述方法建立Bayes判別函數(shù).

首先,計算相應(yīng)的判別函數(shù),具體過程如下:

由表1中的樣品可知,

根據(jù)式(5)計算得到:

(1)計算各判別變量的均值.

表1 3種沉積環(huán)境的樣本數(shù)據(jù)

(2)計算各判別樣本的方差.

根據(jù)式(6)、(7)得到:

根據(jù)式(4)計算得到判別函數(shù):

(3)判別準(zhǔn)則的評價.

從總體潮汐水道,容量為 n1=5的訓(xùn)練樣本開始,依次剔除其中的一個樣本,用剩下的(n1-1)+…+ng=19個樣本,建立相應(yīng)的判別函數(shù),并對剔除的樣本做判別,重復(fù)上述操作,直到潮汐水道中n1=5個樣本依次被剔除和判別,得到被誤判的樣本數(shù)記為,n′1=1;利用上面的方法,繼續(xù)對水下分流河道、水下決口扇中的樣本進(jìn)行剔除和判別;直到所有 n1+…+ng=20個樣本均被剔除和判別后,得到誤判的訓(xùn)練樣本總個數(shù)為,n′1+…+n′g=1+ 2+1=4,誤判率為,

為了檢驗上述判別方法的有效性,我們利用所得到的判別函數(shù)對其余的55個粒度參數(shù)進(jìn)行判別分析,其判定結(jié)果見表2.

表2 55個樣本的識別結(jié)果

由表2可知,樣本整體準(zhǔn)確率為80%.由此可見,本文所提出的Bayes判別模型具有較高的工程適用價值.

3 結(jié) 語

沉積環(huán)境判別與分類是一個較為復(fù)雜的問題,還有許多的問題需要研究和解決.本文結(jié)合多元統(tǒng)計數(shù)學(xué)知識,以Bayes判別分析方法建立沉積環(huán)境綜合評判的數(shù)學(xué)模型,為沉積環(huán)境的判別與分類提供了一種數(shù)量化與定量化的途徑.同時,由于模型采用刀切法對判別準(zhǔn)則進(jìn)行評價,結(jié)果較為客觀合理,因而具有較高的工程實用價值.

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