雙單子對(duì)與纏繞結(jié)構(gòu)

代瑞香，王頂國

雙單子對(duì)與纏繞結(jié)構(gòu)

代瑞香1，王頂國2

（1石河子大學(xué)師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，石河子，832003；2曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，曲阜，273165）

根據(jù)余單子對(duì)、雙單子對(duì)及對(duì)角模的定義及性質(zhì)，構(gòu)造了兩個(gè)新的余單子對(duì)角模，證明了可分配余單子與余單子對(duì)之間的等價(jià)關(guān)系，得出了雙單子對(duì)具有纏繞結(jié)構(gòu)的結(jié)論。

余單子對(duì)；雙單子對(duì)；對(duì)角模

近20年來，隨著量子群研究的興起，以及Kaplansky某些猜想的解決，Hopf代數(shù)理論日臻完善，它的一些推廣概念如單子、Hopf單子、纏繞結(jié)構(gòu)等也越來越受到重視，尤其是纏繞結(jié)構(gòu)的Frobenius性質(zhì)和 Maschke定理［1］。

纏繞結(jié)構(gòu)源于非交換幾何，它在Hopf代數(shù)中的一個(gè)重要的作用是為Doi-Hopf模、Yet ter-Drinfeld模、Hopf模、分次模等提供了一個(gè)統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)框架，，即纏繞模、Brzezinski F 等［2］研究了纏繞結(jié)構(gòu)及其表示范疇；Moerdij k［3］介紹了張量范疇上的Hopf單子，并研究了Hopf單子的代數(shù)結(jié)構(gòu)等性質(zhì)；代瑞香等［4］將代數(shù)和余代數(shù)的纏繞結(jié)構(gòu)上的一些結(jié)論推廣到單子和余單子的纏繞結(jié)構(gòu)上，之后代瑞香等［5］根據(jù)余環(huán)上的余導(dǎo)子與余整合的定義及性質(zhì)，給出了T-余單子上的余導(dǎo)子、余整合的定義，并在它們構(gòu)成的阿貝爾群之間構(gòu)造了一個(gè)同構(gòu)關(guān)系；在余環(huán)的余可分性質(zhì)基礎(chǔ)上刻畫了余單子余可分、忘卻函子可分與余積分存在之間的相互等價(jià)關(guān)系。

受計(jì)算科學(xué)中一些問題的啟發(fā)，Hagino［6］引入了（F，G）-對(duì)角模的概念，其中F，G：A→B為任意兩個(gè)范疇A、B之間的函子。對(duì)角?？梢钥醋魇菍?duì)模和余模的總結(jié)和概括，Wisbauer R［7］用抽象的范疇理論給出了對(duì)角模的一些討論，有關(guān)對(duì)角模在代數(shù)上的應(yīng)用還有待進(jìn)一步研究。關(guān)于代數(shù)和余代數(shù)在廣義代數(shù)和計(jì)算科學(xué)中的更深層次的應(yīng)用，可參考文獻(xiàn)［8］。

本文在上述研究的基礎(chǔ)上構(gòu)造兩個(gè)新的對(duì)角模，給出可分配余單子與余單子對(duì)的相互構(gòu)造，刻畫雙單子對(duì)與纏繞結(jié)構(gòu)的相互關(guān)系，從而拓展并豐富Hopf代數(shù)及單子的理論知識(shí)。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［9］（G，Δ，ε）稱為范疇C上的余單子，若函子G∶C→C及自然變換Δ∶G→GG和ε∶G→idC，滿足GΔ·Δ＝ΔG·Δ；εG·Δ＝Gε·Δ＝idG。

定義2［7］給定范疇C 的兩個(gè)余單子（G，δ，ε）和（T，δ′，ε′），自然變換φ：TG→GT若滿足Gφ·φG·Tδ＝δT·φ；εT·φ＝Tε·Gδ′·φ＝φT·Tφ·δ′G；Gε′·φ＝ε′G，則稱φ為余單子可分配的。

定義3［7］若（G，δ，ε），（T，δ′，ε′）為范疇C 的兩個(gè)余單子，自然變換φ：TG→GT是余單子可分配的，A∈obj（C）稱為（G，T）-雙余模，若A 為G-余模，其中α∶A→GA，且A為T-余模，其中β∶A→TA，并且滿足相容條件Gβ·α＝φA·Tα·β。

定義4［7］給定范疇C的兩個(gè)自同態(tài)函子F，G∶C→C稱（F，G）為范疇C的余單子對(duì)，若存在自然變換k∶FG→GG，f∶G→F，φ＝Gf·k∶FG→GG→GF滿足k G·Fk＝Gk·φG·Fk；f G·k＝idFG。

定義5［7］若（F，G）為余單子對(duì)，稱A∈obj（C）為（F，G）-對(duì)角模，若態(tài)射γA∶F（A）→G（A）滿足kA·FγA＝GγA·φA·FγA；fA·γA＝idF（A）。

若A，A′為（F，G）-對(duì)角模，態(tài)射f∶A→A′成為（F，G）-對(duì)角模態(tài)射，若G（f）·γA＝γA·F（f）。

注：1）若函子F∶C→C，（F，I）-對(duì)角模就是F-模，（I，F(xiàn)）-對(duì)角模就是F-余模。

2）F，G∶C→C為自同態(tài)函子，若存在自然變換α∶F→G，則任意的A∈obj（C）都是（F，G）-對(duì)角模，其中αA∶F（A）→G（A）。

定義6［10］設(shè)C為 Monoidal范疇，（T，μ，η）和（G，Δ，ε）分別為C上的單子和余單子，ψ∶TG→GT為（T，μ，η）和（G，Δ，ε）的混合分配律，即滿足ψ·μG＝Gμ·ψT·Tψ；ψ·ηG＝Gη；ΔT·ψ＝Gψ·ψG·TΔ；εT·ψ＝Tε，則稱（T，G，ψ）為C上的纏繞結(jié)構(gòu)。

定義7［7］給定范疇C的兩個(gè)自同態(tài)函子F，G∶C→C，稱（F，G）為范疇C的雙單子對(duì)，若存在自然變換υ∶FG→GG，θ∶G→F，ψ＝Gθ·υ∶FG→GG→GF滿足θG·υ＝idFG；υG·Fυ＝Gυ·ψG·Fυ。

2 主要結(jié)論

定理1： 設(shè)（F，G）為范疇C的自同態(tài)函子的余單子對(duì)，則

1）任意的A∈obj（C），則G（A）為（F，g）-對(duì)角模，其中γG（A）＝kA∶FG（A）→GG（A）。

2）若A∈obj（C）為（F，G）-對(duì)角模，其中γA∶F（A）→G（A），則F（A）為（F，G）-對(duì)角模，其中γF（A）＝φA·F（γA）∶FF（A）→FG（A）→GF（A）。

證明：由（F，G）為范疇C的自同態(tài)函子的余單子對(duì)，則存在自然變換k∶FG→GG，f∶G→F，φ＝Gf·k∶FG→GG→GF滿足k G·Fk＝Gk·Fk，f G·k＝idFG。

1）因?yàn)?/p>

GγG（A）·φGA·FγG（A）＝GKA·φGA·FkA＝kA·FkA＝γG（A）·FγG（A），

kA·fGA＝γG（A）·fGA＝idF（GA）。即G（A）為（F，G）-對(duì)角模。

2）因?yàn)?/p>

即F（A）為（F，G）-對(duì)角模。

定理2：給定范疇C的兩個(gè)余單子（G，δ，ε），（F，δ′，ε′）自然變換φ∶FG→GF為余單子可分配的當(dāng)且僅當(dāng)（G，F(xiàn)）為范疇C的余單子對(duì)。

證明：若自然變換φ∶FG→GF為余單子可分配的，則滿足

Gφ·φG·Fδ＝δF·φ；

εF·φ＝Fε，Gδ′·φ＝φF·Fφ·δ′G；

Gε′·φ＝ε′G。

定義k＝δ·Gε′·φ∶FG→GF→G→GG，f∶G→F為任意的余單子態(tài)射，則

Gf·k＝Gf·δ·Gε′·φ＝φ；

且kG·Fk＝（δ·Gε′·φ）G·F（δ·Gε′·φ）＝

即證（G，F(xiàn)，k，f）為范疇C的余單子對(duì)。

反之，若（G，F(xiàn)，k，f）為范疇C 的余單子對(duì)，根據(jù)定義4，有

εF·φ＝εF·Gf·k＝Fε·f G·k＝Fε；Gε′·φ＝Gε′·Gf·k＝ε′G·f G·k＝ε′G；

即自然變換ψ∶FG→GF為余單子可分配的。

定理3： 設(shè)（T，μ，η），（G，Δ，ε）分別為C 上的單子和余單子，若（T，G，υ，θ，ψ）為范疇C 的雙單子對(duì)，則（T，G，ψ）具有纏繞結(jié)構(gòu)ψ。

證明：由（T，G，υ，θ，ψ）為范疇C 的雙單子對(duì)，根據(jù)定義7，有

即（T，G，ψ）具有纏繞結(jié)構(gòu)ψ。

［1］Brzezinski T.Frobenius properties and Maschke-type theorems for ent wined modules［J］.Proc Amer Math Soc，1999（128）：2261-2270.

［2］Brzezinski T，Caenepeel S，Militaru G，et al.Frobenius and Maschke-type Theorems f or Doi H-opf modules and ent wined modules revisited：a unified approach［M］.New Yor k：Marcel Dekker，2001：1-32.

［3］Moerdijk I.Monads on tensor categories［J］.J Pure Appl Algebra，2002，168：189-208.

［4］代瑞香，劉超，王頂國.纏繞結(jié)構(gòu)與纏繞模［J］.石河子大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，26（1）：106-109.

［5］代瑞香，劉超.余導(dǎo)子與余積分及其性質(zhì)［J］.石河子大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，28（5）：658-660.

［6］Hagino T.A categorical programming language［D］.Edinbur gh：University of Edinburgh，1987：55-60.

［7］Wisbauer R.Algebras Versus Coalgebras［J］.Applied Categorical Str uctures，2008，16，（1）：255-295.

［8］Gumm H P.Universelle Coalgebra［M］∥Ihringer，Th.Allgemeine Algebra.Berlin：Helder mann，2003：155–207.

［9］Bruguieres A，Virelizier A.Hopf Monad［J］.Adv Math，2007，215（2）：679-733.

Bi monadic Pairs and Ent wining Structures

DAI Ruixiang，Wang Dingguo
（Depart ment of Mathematics，Teachers College，Shihezi University，Shihezi，832003 Depart ment of Mathematics，Qu Fu Nor mal University，Qu Fu，273165）

Accor ding to the definitions and pr operties of co monadic pairs，bi monadic pairs and ent wining str uctures，t wo new comonadic di modules were given firstly，then equivalent relations bet ween distributive co monads and co monadic pairs was constr ucted，finally the pr oof of bi monadic pairs have the ent wining str ucture was given.

co monadic pair；bi monadic pairs；di modules

O154.1

A

1007-7383（2011）04-0526-03

2010-01-07

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（10671016），石河子大學(xué)高層次人才科研啟動(dòng)資金項(xiàng)目（RCZX200735）作者簡(jiǎn)介：代瑞香（1980-），女，講師，從事環(huán)與代數(shù)、Hopf代數(shù)與量子群研究；e-mail：dair x129＠163.com。