衛(wèi)星遙感影像有理函數(shù)模型優(yōu)化方法

張永軍，王 蕾，2，魯一慧

1.武漢大學遙感信息工程學院，湖北武漢430079；2.四川測繪局第三測繪工程院，四川成都610500

衛(wèi)星遙感影像有理函數(shù)模型優(yōu)化方法

張永軍1，王 蕾1，2，魯一慧1

1.武漢大學遙感信息工程學院，湖北武漢430079；2.四川測繪局第三測繪工程院，四川成都610500

針對高分辨率遙感影像有理函數(shù)模型（RFM）在實際應用中存在過度參數(shù)化和定位精度不高的問題，提出基于離差陣和消去變換及殘余系統(tǒng)誤差補償?shù)母叻直媛蔬b感影像RFM優(yōu)化方法。試驗結(jié)果表明，經(jīng)過參數(shù)篩選后的RFM參數(shù)均為無偏估計值，擬合精度可以達到全部參數(shù)用于擬合時的精度，而且模型病態(tài)性基本消除，模型穩(wěn)定性更高。殘余系統(tǒng)誤差補償方法可以有效消除RFM擬合嚴格成像模型的殘余誤差，達到與嚴格成像模型一致的對地定位精度。

高分辨率衛(wèi)星影像；有理函數(shù)模型；離差陣；消去變換；病態(tài)問題；殘余系統(tǒng)誤差

1 前 言

隨著航天測圖技術(shù)的不斷發(fā)展和廣泛應用，高分辨率衛(wèi)星遙感影像的攝影測量處理理論和應用技術(shù)引起了國際攝影測量界的普遍關(guān)注［1－2］。有理函數(shù)模型（rational function model，RFM）作為一種通用的傳感器成像模型，形式簡單，計算速度快，更具一般性和保密性，自2000年以來迅速成為研究熱點［3－10］，目前大部分高分辨率遙感衛(wèi)星運營商均采用該模型作為傳感器成像模型。然而RFM作為嚴格成像模型的擬合模型，在理論研究和實際應用中凸現(xiàn)出許多亟待解決的問題：①模型參數(shù)求解存在病態(tài)問題［11－12］；②高階RFM因參數(shù)過多導致解不穩(wěn)定［13］；③ 采用有理函數(shù)擬合嚴格成像模型時存在較為明顯的殘余誤差［8］。

針對RFM擬合嚴格成像模型存在過度參數(shù)化的問題，目前國內(nèi)外主要從算法改進和模型構(gòu)造兩個方面進行研究，例如采用嶺估計等方法改善有理多項式系數(shù)（rational polynomial coefficients，RPC）求解過程中法方程的狀態(tài)［11］或略去RFM的三次項［13］。但是，嶺估計等方法不能徹底解決過度參數(shù)化問題，且用二次RFM擬合嚴格成像模型沒有分析每個參數(shù)的顯著性，理論上不嚴密。

事實上，利用RFM“代替”嚴格成像模型進行對地定位時，其系統(tǒng)誤差可以分為嚴格成像模型本身存在的系統(tǒng)誤差和利用RFM擬合嚴格模型的殘余系統(tǒng)誤差兩類。目前提高RFM定位精度的方法都是利用地面控制點進一步優(yōu)化RFM參數(shù)，并未將嚴格成像模型本身存在的系統(tǒng)誤差和由RFM模型局限性造成的殘余系統(tǒng)誤差區(qū)別處理。

本文結(jié)合參數(shù)顯著性檢驗理論，提出基于離差陣逐步回歸的RFM參數(shù)篩選求解方法，減少RFM擬合嚴格成像模型的參數(shù)個數(shù)，解決RFM過度參數(shù)化問題，同時提出一種無需地面控制點的RFM殘余系統(tǒng)誤差改正方法，提高無地面控制點情況下的對地定位精度。

2 基于離差陣的RFM參數(shù)逐步篩選求解

RFM的一般形式如式（1）所示［7］

式中，（P，L，H）表示正則化的地面坐標，（Sr，Sc）表示正則化的影像坐標，NumL（P，L，H）、DenL（P，L，H）、NumS（P，L，H）及DenS（P，L，H）分別為下列三階多項式

式中，a0，…，b19，c0，…，d19為有理多項式系數(shù)，即RFM未知數(shù)，通常取b0＝1，d0＝1。

設(shè)有n組觀測數(shù)據(jù)，則上述模型可以用矩陣形式表達為［7］

令式（2）和式（3）的系數(shù)矩陣為X，其元素為xi1，…，xim（i＝1，2，…n），ri（i＝1，2，…n）為線性方程組的常數(shù)項，m為未知數(shù)個數(shù)，n為觀測方程個數(shù)。分別對上述兩式構(gòu)造m＋1階離差陣式（4），采用消去變換法［14］求解未知參數(shù)的無偏估計并在計算中消去多余參數(shù)，優(yōu)化回歸模型，即可獲得無偏的最優(yōu)解算結(jié)果。下面以式（2）中參數(shù)a0到b19的計算為例進行分析說明。

令m＋1階離差陣A（0）為

式中

通過參數(shù)顯著性檢驗判斷參數(shù)項是否可以被選入模型，計算各個自變量的偏回歸平方和

（1）判斷不在模型中的變量可否引入時，設(shè)

檢驗H0：βi1＝0（即變量Xi1對r的作用是否顯著），檢驗統(tǒng)計量為［14］

式中，Q（i1）表示在原有參數(shù)基礎(chǔ)上選入Xi1時的殘差平方和。給定顯著性水平α1，記自由度為n－2的F分布臨界值為若Fin（1，n－2），則引入變量Xi1，并對以該變量為主元的離差陣作消去變換，否則停止篩選。

（2）設(shè)t為已引入的變量個數(shù)，判斷已在模型中的變量可否剔除時，設(shè)

檢驗變量Xi0可否剔除的檢驗統(tǒng)計量為［14］

式中，Q（i1，…，it）表示已選入Xi1，…，Xit時的殘差平方和。給定顯著性水平α2，記自由度為n－t－1的F分布臨界值為Fout（1，n－t－1），若≤Fout（1，n－t－1），則剔除變量Xi0，并對以該變量為主元的離差陣作消去變換，然后繼續(xù)檢驗模型中的變量可否剔除；否則考慮能否引入新變量。

假定篩選變量結(jié)束后，引入方程的變量個數(shù)為h（h≤m），記為Xi1，…，Xih，A（0）經(jīng)過h次消去變換后轉(zhuǎn)化為

由A（h）即可得到回歸分析中的所有結(jié)果。

3 RFM殘余系統(tǒng)誤差改正

研究表明，利用衛(wèi)星影像輔助文件提供的RPC參數(shù)，無論是物方還是像方定位誤差都具有很強的系統(tǒng)性，并且誤差主要隨緯度或影像行（衛(wèi)星運動前進方向）的變化而變化［15］。許多利用SPOT－5和IKONOS衛(wèi)星影像提供的RPC分析定位誤差同樣呈現(xiàn)相似的系統(tǒng)性。本文利用SPOT－5衛(wèi)星參數(shù)和嚴格成像模型生成虛擬控制點格網(wǎng)并采用RFM擬合嚴格成像模型，兩組試驗數(shù)據(jù)的像方坐標殘余誤差分布如圖1所示?？梢钥闯觯肦FM擬合嚴格成像模型的殘差呈現(xiàn)明顯而有規(guī)律的系統(tǒng)性，最大殘差分別達到0.1和0.05像素，且系統(tǒng)誤差主要隨影像行的變化而變化，與已有研究成果的試驗結(jié)論相似，說明殘余系統(tǒng)誤差分布呈現(xiàn)普遍性。

本文提出的RPC殘余系統(tǒng)誤差補償方法與攝影測量中系統(tǒng)誤差處理的間接補償法類似，結(jié)合了自檢校法和驗后補償法的優(yōu)點，不需要地面控制點，不改變原有平差程序，通過先驗知識構(gòu)造較為通用的殘余系統(tǒng)誤差補償模型，直接嵌入RPC逐步篩選求解的過程中，利用RPC殘差值求出殘余系統(tǒng)誤差模型參數(shù)，從而提高定位精度。

圖1 利用RFM擬合嚴格成像模型后的像點殘差分布Fig.1 Image point residues after RFM interpolation

利用殘余誤差主要隨影像行變化而變化，變化趨勢呈現(xiàn)波狀分布的先驗知識，通過試驗，在傅里葉系數(shù)和高次項系數(shù)中（其他方法在擬合時均出現(xiàn)不足）選用擬合效果較好的傅里葉系數(shù)構(gòu)造殘余系統(tǒng)誤差模型式（14），式中ΔSr和ΔSc即為殘余系統(tǒng)誤差改正模型。由于像點坐標Sr和Sc相互獨立，殘差分布也不相同，因此需要分別改正。

式中

式中，pr0、pr1、…、qr5、wr為像點坐標Sr方向（衛(wèi)星軌道運行方向）殘余系統(tǒng)誤差改正模型系數(shù)，pc0、pc1、…、qc4、wc為像點坐標Sc方向殘余系統(tǒng)誤差改正模型系數(shù)。由于Sr方向系統(tǒng)誤差比Sc方向系統(tǒng)誤差分布復雜，其改正模型也比Sc方向多一對傅里葉系數(shù)項。

4 試驗結(jié)果與分析

本文方法理論上適用于所有高分辨率衛(wèi)星影像，但由于其他商業(yè)衛(wèi)星影像的嚴格成像模型未知，因此利用已知嚴格成像模型的SPOT－5數(shù)據(jù)進行試驗驗證，下面采用其中兩組數(shù)據(jù)進行說明。

試驗數(shù)據(jù)1：該數(shù)據(jù)由基于共線方程的嚴格成像模型生成，影像大小為12 000×12 000像素。控制點和檢查點格網(wǎng)均為5層，交叉分布。最小高程200.000 000m，最大高程2 200.000 000m，地面點坐標精確到小數(shù)點后6位。

試驗數(shù)據(jù)2：影像大小為6 000×6 000像素，像點坐標按200×200像素均勻分布?？刂泣c和檢查點格網(wǎng)均為11層，交叉分布。最小高程－0.000 003m，最大高程8 999.993 091m，地面點坐標精確到小數(shù)點后6位。

地面點采用大地坐標系（L，B，H），單位分別為（°）、（°）、m。

4.1 RFM參數(shù)逐步篩選求解

利用本文提出的逐步參數(shù)篩選方法求解的RPC參數(shù)與利用傳統(tǒng)的嶺估計方法求解的RPC參數(shù)序號對比如表1所示。本文方法將原模型的78個RPC參數(shù)經(jīng)過顯著性檢驗，分別篩選減少為29和32個參數(shù)。此外，篩選法求解的RPC未知數(shù)中誤差比嶺估計法求解的未知數(shù)中誤差要小，精度更高。

表1 參數(shù)逐步篩選后保留的RPC未知參數(shù)Tab.1 Remained RPC unknowns with the proposed approach

表2是兩組數(shù)據(jù)的RFM求解模型設(shè)計矩陣條件數(shù)對比，可以看出采用嶺估計解算RPC時，設(shè)計矩陣條件數(shù)比原線性矩陣條件數(shù)有所減小，一定程度上改善了模型病態(tài)性。利用本文提出的參數(shù)篩選方法剔除不顯著的RPC參數(shù)項后，新模型的設(shè)計矩陣條件數(shù)非常小，基本克服了原模型求解RPC時存在的病態(tài)性問題。

表2 設(shè)計矩陣條件數(shù)Tab.2 Condition index of the designed matrix

RFM擬合精度直接關(guān)系到高分辨率衛(wèi)星遙感影像處理和數(shù)字測圖的效果，為了驗證利用篩選后的RFM參數(shù)是否能達到全部78個參數(shù)的擬合效果，表3列出兩組試驗數(shù)據(jù)分別利用嶺估計法和逐步篩選參數(shù)法求解的RPC參數(shù)模型的擬合精度?？梢钥闯?，利用約30個RPC參數(shù)的模型擬合精度與嶺估計的78個RPC參數(shù)模型擬合精度幾乎一致，說明本文方法的正確性和有效性。第一組試驗數(shù)據(jù)的RPC擬合精度較差主要由不同的高程分層數(shù)引起，已有大量文獻討論該問題，本文不再贅述。

4.2 RFM殘余系統(tǒng)誤差改正

利用基于離差陣的參數(shù)逐步篩選法求解RFM后，兩組試驗數(shù)據(jù)的像點殘差如圖1所示；采用本文提出的殘余系統(tǒng)誤差改正方法進一步擬合后的像點殘差如圖2所示?？梢钥闯?，采用RFM擬合嚴格成像模型時，像點殘差大小分布呈現(xiàn)明顯的系統(tǒng)性，主要隨Sr方向（衛(wèi)星運動前進方向）變化，最大殘差達到0.1和0.05像素量級，本文提出的殘余系統(tǒng)誤差改正方法能夠明顯提高原模型的擬合精度，可以基本消除像點殘差的系統(tǒng)性，最大殘差僅為0.05、0.005像素量級，其擬合精度統(tǒng)計如表4所示?？梢钥闯鼋?jīng)過殘余系統(tǒng)誤差改正后，RFM定位精度顯著提高，完全可以替代嚴格成像模型進行衛(wèi)星遙感影像的對地定位處理。

表3 不同RPC求解方法的擬合精度Tab.3 Precision of RPC using different methods 像素

圖2 殘余系統(tǒng)誤差改正后的像點坐標殘差分布Fig.2 Image point residues after correction of remnant systematic errors

表4 殘余系統(tǒng)誤差改正前后的擬合精度對比Tab.4 Precision comparison between precision before and after remnant systematic error correction 像素

5 結(jié) 論

本文提出基于離差陣和消去變換的RFM未知參數(shù)逐步篩選求解方法，用最少最合理的參數(shù)項擬合衛(wèi)星遙感影像的嚴格成像模型，克服過度參數(shù)化導致的系統(tǒng)病態(tài)性，并提出一種RFM殘余系統(tǒng)誤差的補償方法。

試驗結(jié)果表明，利用分母不相同的三階RFM擬合嚴格成像模型，參數(shù)間的復共線性導致模型系統(tǒng)病態(tài)，參數(shù)解不穩(wěn)定。本文提出的逐步篩選參數(shù)求解方法可以解決RFM擬合嚴格成像模型的過度參數(shù)化問題。該方法優(yōu)化了數(shù)學模型，可以獲得最小二乘無偏估計結(jié)果，且模型穩(wěn)定性比嶺估計方法高。該方法的參數(shù)個數(shù)雖然減少一半以上，但擬合精度與原78個參數(shù)模型的擬合精度一致。

RFM擬合嚴格成像模型時存在主要隨衛(wèi)星軌道運行方向變化的殘余系統(tǒng)誤差，利用本文提出的殘余系統(tǒng)誤差補償方法可以有效消除該殘余誤差，擬合精度大大提高。

在實際應用中，基于離差陣的RFM參數(shù)逐步篩選方法和RFM殘余系統(tǒng)誤差的改正方法可以獨立或結(jié)合使用，例如擬合RFM時可以采用逐步篩選法進行解算，當殘余系統(tǒng)誤差較大時再采用殘余系統(tǒng)誤差補償方法提高擬合精度。

［1］ WANG J，DI K，LI R.Evaluation and Improvement of Geopositioning Accuracy of IKONOS Stereo Imagery［J］.ASCE Journal of Surveying Engineering，2005，131（2）：35－42.

［2］ ZHANG Yongjun，ZHANG Yong.Direct Geo－referencing of SPOT 5HRS Imagery without（or with a Few）Ground Control Point［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2005，31（11）：941－944.（張永軍，張勇.SPOT 5HRS立體影像無（稀少）控制絕對定位技術(shù)研究［J］.武漢大學學報：信息科學版，2005，31（11）：941－944.）

［3］ GRODECKI J.IKONOS Stereo Feature Extraction－RPC Approach［C］∥Proceedings of the ASPRS Annual Conference.St Louis：［s.n.］，2001：23－27.

［4］ TAO C V，HU Y.A Comprehensive Study on the Rational Function Model for Photogrammetric Processing［J］.Photogrammetric Engineering and Remote Sensing，2001，67（12）：1347－1357.

［5］ TAO C V，HU Y.3－D Reconstruction Algorithms with the Rational Function Model and Their Applications for IKONOS Stereo Imagery［C］∥Proceedings of Joint ISPRS Workshop on High Resolution Mapping from Space.Hannover：［s.n.］，2001.

［6］ FRASER C S，HANLEY H B.Bias Compensation in Rational Functions for IKONOS Satellite Imagery［J］.Photogrammetric Engineering and Remote Sensing，2003，69（1）：53－57.

［7］ GRODECKI J，DIAL G.Block Adjustment of High－resolution Satellite Images Described by Rational Functions［J］.Photogrammetric Engineering and Remote Sensing，2003， 69（1）：59－68.

［8］ FRASER C S，HANLEY H B.Bias－compensated RPCs for Sensor Orientation of High－resolution Satellite Imagery［J］.Photogrammetric Engineering ＆Remote Sensing，2005，71（8）：909－915.

［9］ FRASER C S，DIAL G，GRODECKI J.Sensor Orientation via RPCs［J］.ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing，2006，60（3）：182－194.

［10］ TONG X H，LIU S J，WENG Q H.Bias－corrected Rational Polynomial Coefficients for High Accuracy Geopositioning of QuickBird Stereo Imagery［J］.ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing，2010，65（2）：218－226.

［11］ YUAN Xiuxiao，LIN Xianyong.A Method for Solving Rational Polynomial Coefficients Based on Ridge Estimation［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2008，33（11）：1130－1133.（袁修孝，林先勇.基于嶺估計的有理多項式參數(shù)求解方法［J］.武漢大學學報：信息科學版，2008，33（11）：1130－1133.）

［12］ GUI Qingming，YAO Shaowen，GU Yongwei，et al.A New Method to Diagnose Multicollinearity Based on Condition Index and Variance Decomposition Proportion［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2006，35（3）：210－214.（歸慶明，姚邵文，顧勇為，等.診斷復共線性的條件指標－方差分解比法［J］.測繪學報，2006，35（3）：210－214.）

［13］ ZHAO Liping，LIU Fengde，LI Jian，et al.Research on Reducing Term of Higher Order in RFM Model［J］.Science of Surveying and Mapping，2007，32（4）：14－17.（趙利平，劉鳳德，李健，等.減少有理函數(shù)模型中高次項的初步研究［J］.測繪科學，2007，32（4）：14－17.）

［14］ GAO H uixuan.Application of M ultiple Statistical Analyses［M］.Beijing：Press of Peking University，2005.（高惠璇.應用多元統(tǒng)計分析［M］.北京：北京大學出版社，2005.）

［15］ TONG Xiaohua，LIU Shijie，YE Qin.Accuracy Analysis and Improvement of QuickBird Stereo Positioning Based on Rational Function Model［J］.Journal of Tongji University：Natural Science，2009，37（4）：555－559.（童小華，劉世杰，葉勤.基于有理函數(shù)模型的QuickBird立體定位精度分析［J］.同濟大學學報：自然科學版，2009，37（4）：555－559.）

Optimization of the Rational Function Model of Satellite Imagery

ZHANG Yongjun1，WANG Lei1，2，LU Yihui1
1.School of Remote Sensing and Information Engineering，Wuhan University，Wuhan 430079，China；2.The Third Surveying and Mapping Institute of Sichuan Surveying and Mapping Bureau，Chengdu 610500，China

To solve the problems of over－parameterization and low geo－referencing accuracy of rational function model（RFM），a novel method of parameter optimization based on scatter matrix and elimination transformation and a new method of remnant systematic error compensation without ground control points are proposed.The proposed parameter optimization method can resolve the ill－posed problem of RFM by rejecting all excess parameters.The systematic error compensation method introduces a new correction model with Fourier coefficients.Experimental results indicate that the performance of the proposed method with less parameters is equal to that of the conventional model with all of the 78 parameters.Moreover，the ill－posed problem is effectively eliminated and thus the stabilities of estimated parameters are improved.The systematic error compensation scheme significantly eliminates the remnant systematic error of RFM and improves the geo－referencing accuracy.

high－resolution satellite imagery；rational function model；scatter matrix；elimination transformation；ill－posed problem；remnant systematic error

1001－1595（2011）06－0756－06

P237

A

國家自然科學基金（41071233；40671157）

叢樹平）

2010－07－09

2011－04－27

張永軍（1975—），男，博士，教授，博士生導師，研究方向為數(shù)字攝影測量與遙感、計算機視覺等。First author：ZHANG Yongjun（1975—），male，PhD，professor，PhD supervisor，majors in digital photogrammetry and remote sensing，computer vision.

E－mail：zhangyj＠whu.edu.cn