論精密單點定位整周模糊度解算的不同策略

張寶成，歐吉坤

1.中國科學(xué)院測量與地球物理研究所 動力大地測量學(xué)重點實驗室，湖北 武漢430077；2.中國科學(xué)院 研究生院，北京100049

論精密單點定位整周模糊度解算的不同策略

張寶成1，2，歐吉坤1

1.中國科學(xué)院測量與地球物理研究所 動力大地測量學(xué)重點實驗室，湖北 武漢430077；2.中國科學(xué)院 研究生院，北京100049

由于GPS非差相位觀測值的相位偏差（initial phase biases，IPB）與整周模糊度難以分離，精密單點定位（PPP）估值均為模糊度浮點解。首先對GPS原始觀測方程的秩虧問題進(jìn)行分析，從參數(shù)整合的角度，推導(dǎo)衛(wèi)星IPB估計的滿秩函數(shù)模型，形成一種新的PPP－AR算法。以此為基礎(chǔ)，對已有兩種算法的特點進(jìn)行對比分析。研究表明，分解法是一種觀測信息的最優(yōu)利用，且與傳統(tǒng)的星鐘估計方法具有一致性，但未發(fā)掘衛(wèi)星IPB較為穩(wěn)定的有利約束；非整法對所采用的組合觀測值之間的相關(guān)性未加考慮，是一種次優(yōu)估計，實時性較差，且較依賴于高精度的碼觀測。推導(dǎo)的新算法可有效克服已有算法的不足，便于施加部分參數(shù)的合理時變性約束，提高衛(wèi)星IPB估計的可靠性。

精密單點定位；初始相位偏差；PPP模糊度固定；分解衛(wèi)星鐘差；非整相位偏差

1 引 言

自1997年Zumberge等人提出PPP概念以來［1］，該技術(shù)已廣泛地應(yīng)用于區(qū)域或全球坐標(biāo)框架維持、高精度導(dǎo)航定位、精密授時以及大氣延遲提取等領(lǐng)域［2］。與聯(lián)合多測站GPS觀測數(shù)據(jù)實施網(wǎng)平差相比，PPP在保證解算精度的同時，實施靈活方便且能有效減少計算負(fù)擔(dān)。此外，PPP基于非差GPS觀測值，與基于雙差觀測值的數(shù)據(jù)處理策略相比，其數(shù)據(jù)利用率更高，計算結(jié)果更為可靠［3］。

PPP目前的發(fā)展主要受到兩個因素的制約：其一，PPP一般基于IGS等機(jī)構(gòu)發(fā)布的衛(wèi)星軌道和鐘差產(chǎn)品，其實時性實施受到一定程度的影響［4］；其二，非差相位觀測值中的IPBs與整周模糊度難以分離，使得PPP的各類估值均為模糊度浮點解。若能有效利用非差模糊度的整數(shù)特性，PPP的估值精度和收斂特性將有進(jìn)一步改善的空間［5－12］。

當(dāng)前，伴隨通信技術(shù)的發(fā)展，基于區(qū)域參考站網(wǎng)的GPS觀測數(shù)據(jù)實時估計、播發(fā)以及接收衛(wèi)星軌道和鐘差的研究已取得較大進(jìn)展，在充分考慮數(shù)據(jù)傳輸和處理的時延后，實時PPP的定位精度可達(dá)到分米甚至厘米級［4］，有效地滿足了大部分實時應(yīng)用的需求。

與此同時，PPP模糊度固定（PPP ambiguity resolution，PPP－AR）的研究已經(jīng)起步，且形成了兩種不同的處理策略：估計分解衛(wèi)星鐘差（分解法）［6，11－14］或非整相位偏差（非整法）［5，7－10］算法。上述兩種算法均采用區(qū)域或全球范圍的GPS網(wǎng)，實時或事后分離衛(wèi)星IPBs，用于改正PPP相位觀測值，還原非差模糊度的整數(shù)特性。與標(biāo)準(zhǔn)PPP相比，PPP－AR可有效改善測站坐標(biāo)解的東分量精度［7，12］。對于遠(yuǎn)離地面基準(zhǔn)站的海上動態(tài)平臺定位或低軌衛(wèi)星定軌而言，上述PPP－AR算法還可有效代替目前常用的長基線解算策略［5，9］。

由此可知，為實現(xiàn)PPP－AR，關(guān)鍵在于如何利用GPS網(wǎng)估計衛(wèi)星IPBs，不同網(wǎng)處理策略構(gòu)成了現(xiàn)有兩種PPP－AR方法的主要差異。此外，第一種方法采用消電離層組合的碼、相位觀測值以及MW組合觀測值，第二種方法對之進(jìn)一步實施星間單差［6－10，13－14］。上述組合和差分過程“簡單”地消除了未知參數(shù)個數(shù)，但卻可能模糊對各類線性相關(guān)參數(shù)所引起的秩虧現(xiàn)象的認(rèn)識。

為給出完整的PPP－AR概念，筆者從GPS原始觀測方程出發(fā)，研究它們的秩虧特性，通過選取適當(dāng)?shù)幕鶞?zhǔn)參數(shù)，依次消除了各類秩虧，構(gòu)建了衛(wèi)星IPBs估計的滿秩函數(shù)模型，形成一種PPP－AR新算法。筆者還分別導(dǎo)出了現(xiàn)有兩種方法各自的數(shù)學(xué)模型和理論假設(shè)，并從觀測數(shù)據(jù)利用率、實時性以及用戶實施等角度進(jìn)行了對比分析。

2 衛(wèi)星IPBs估計

本節(jié)推導(dǎo)利用參考站網(wǎng)GPS原始觀測值估計衛(wèi)星IPBs的函數(shù)模型，針對模型中的秩虧問題，采用參數(shù)整合的消秩虧策略。

2.1 秩虧函數(shù)模型

忽略觀測噪聲和多路徑等誤差，且假定測站和衛(wèi)星位置已知，則GPS原始觀測方程可表示為［15］

式中，λj表示頻率j相位觀測值的波長。

假定歷元i，n個接收機(jī)共觀測到m顆共視衛(wèi)星，以雙頻觀測數(shù)據(jù)為例，所有線性化方程可聯(lián)合表示為

式中

式中，k＝1，…，n、q＝1，…，m和j＝1，2分別代表測站、衛(wèi)星和頻率數(shù)；式（4）中的Pqk，j（i）和Φqk，j（i）為所有線性化的碼和相位觀測值；式（5）中的子矩陣（從左到右）分別對應(yīng)于式（6）中的各類參數(shù)，含義與式（1）相同（省略了歷元符號i，以簡化表達(dá)）。另

式中，?、Im和en分別表示克羅內(nèi)克積［18］、m維單位矩陣以及各元素均為1的n維列向量；Λ為二維對角陣，其對角元為雙頻GPS觀測值的波長

分析A（i）中后四個子矩陣可知，鐘差、CIDs、IPBs、模糊度以及電離層延遲之間存在線性相關(guān)性，導(dǎo)致A（i）存在列秩虧。

2.2 消秩虧策略

秩虧導(dǎo)致參數(shù)估計結(jié)果非唯一。為消除該秩虧對參數(shù)估計的不利影響，提出如下逐次消秩虧的策略：采用參數(shù)整合的方法，將式（6）中的部分參數(shù)選取為基準(zhǔn)［16］，且遵循如下準(zhǔn)則：① 基準(zhǔn)參數(shù)的個數(shù)須與秩虧數(shù)相等；②衛(wèi)星IPBs參數(shù)不宜被選取為基準(zhǔn)，以確保其獨立可估性；③ 最終可估的模糊度須保持其整數(shù)特性。具體過程如下：

首先，分析式（8）的D矩陣可知，該矩陣的秩虧源于接收機(jī)和衛(wèi)星的鐘差、CIDs以及IPBs之間的線性相關(guān)，將某測站（即基準(zhǔn)站，此處假定為第一個參考站）的接收機(jī)鐘差dt1、雙頻CIDs b1，j和IPBsφ1，j選取為基準(zhǔn)。其余測站和衛(wèi)星的相應(yīng)參數(shù)可表示為

式中，p＝2，…，n。此時，A（i）中對應(yīng)的第二和第三個子矩陣可表示為

式中

其次，考察式（11）可知，該矩陣的秩虧數(shù)為n＋m－1，且源于CIDs與鐘差之間的線性相關(guān)性。將第一個頻率的CIDs（式（10）中的和）選取為基準(zhǔn)，可有效消除該秩虧，得到滿秩矩陣和待估參數(shù)可分別表示為

第三，單獨考察第j個頻率的衛(wèi)星IPBs和模糊度的設(shè)計矩陣

該矩陣秩虧數(shù)為m。解決的辦法是將基準(zhǔn)站觀測到的m顆衛(wèi)星的模糊度Mq1，j作為基準(zhǔn)，得到的滿秩矩陣和可估參數(shù)分別為

由式（17）可知，經(jīng)由此步消秩虧，非差整周模糊度被參數(shù)化為站間單差的形式。隨后，考察第j個頻率的接收機(jī)IPBs和該單差模糊度的設(shè)計矩陣

該矩陣秩虧數(shù)為n－1。可通過選取某衛(wèi)星（即基準(zhǔn)星，此處假定為第一顆衛(wèi)星）至所有參考站（除基準(zhǔn)站）的單差模糊度作為基準(zhǔn)，得到滿秩矩陣和可估參數(shù)分別為

式中，t＝2，…，s。至此，站間單差的模糊度被參數(shù)化為雙差的形式，其整數(shù)特性可在參數(shù)估計過程中加以合理的考慮。

最后，經(jīng)過上述消秩虧過程后，鐘差、CIDs、IPBs以及電離層延遲參數(shù)的設(shè)計矩陣可聯(lián)合表示為

式（21）對應(yīng)矩陣的秩虧數(shù)為n＋m－1，可將第二個頻率的CIDs（Δbp，2和Δbq2）選取為基準(zhǔn)，以消除該秩虧。

至此，通過上述的逐項分析，選取適當(dāng)?shù)幕鶞?zhǔn)參數(shù)，經(jīng)參數(shù)整合，原矩陣A（i）中的列秩虧可被充分消除，得到的滿秩設(shè)計矩陣及部分待估參數(shù)分別為

在實際數(shù)據(jù)處理中，基于上述推導(dǎo)的觀測方程，先固定雙差模糊度，隨后回代，即可求解得到衛(wèi)星的IPBs和鐘差等參數(shù)的模糊度固定解，再播發(fā)給PPP用戶使用。

3 現(xiàn)有PPP－AR策略分析

由上節(jié)的滿秩函數(shù)模型出發(fā)，本節(jié)推導(dǎo)了兩種現(xiàn)有PPP－AR方法的模型，并分別從觀測信息利用率、實時性以及用戶實施等方面進(jìn)行了對比分析。

3.1 分解法

分解法［6，11－14］采用消電離層組合的碼和相位觀測值，在觀測域事先消除電離層延遲的影響。通過引入MW組合觀測值，將消電離層組合模糊度轉(zhuǎn)換為寬巷和窄巷模糊度，同時有效保留原始觀測值中的信息。上述三類組合觀測值與原始碼、相位觀測值之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系為

事實上，將列滿秩的轉(zhuǎn)換矩陣Γ?Inm（rk（Γ?Inm）＝rk（Γ）rk（Inm）＝cl（Γ?Inm）＝3 nm，其中rk（）和cl（）分別表示矩陣的秩和列數(shù)［18］）乘以式（22）中的Af（i），且合并雙頻的IPBs和模糊度參數(shù)，可得到式（24）中組合觀測值所對應(yīng)的設(shè)計矩陣以及可估參數(shù)。具體形式分別為

式中，Ad（i）中不再包含電離層延遲的設(shè)計矩陣，其余子矩陣與Af（i）中的對應(yīng)部分含義相同；和分別為中的站星IPBs；和為的站星CIDs；和分別為和的模糊度參數(shù)，其波長因子為其余參數(shù)的含義同式（23）。站星鐘差和天頂對流層延遲等參數(shù)的形式未受轉(zhuǎn)換矩陣的影響，此處不再列出。

傳統(tǒng)的衛(wèi)星鐘差估計算法中，碼和相位觀測方程中包含的可估鐘差參數(shù)形式一致［4］，該參數(shù)化形式可導(dǎo)致鐘差估值易受碼觀測值的影響，進(jìn)而出現(xiàn)日間不連續(xù)等異?，F(xiàn)象［19］。在分解法的參數(shù)估計過程中，碼和相位分別對應(yīng)不同類型的鐘差參數(shù)，具體為將式（26）中的和與對應(yīng)于的站星鐘差合并，且模型化為具有白噪聲特性的時變參數(shù)，由此得到對應(yīng)于的新站星鐘差分別為

至此，分解法函數(shù)模型的設(shè)計矩陣可表示為

基于上述推導(dǎo)得到的函數(shù)模型，分解法的實施特點可概括如下。

該算法基于上述三類組合觀測值（式（24））實施參數(shù)估計，在有效消除電離層延遲的同時，充分利用了原始觀測值中的有效信息。在觀測值加權(quán)策略中，若合理考慮由于觀測值組合所引起的數(shù)學(xué)相關(guān)性，則各類參數(shù)估計結(jié)果與基于原始觀測值等價。

基于卡爾曼濾波算法，分解法可實現(xiàn)各類參數(shù)的實時遞歸估計，模糊度參數(shù)的整數(shù)特性可在參數(shù)估計過程中被合理利用，以有效提高其余各類參數(shù)的精度和可靠性。

對于用戶而言，PPP－AR的實施與標(biāo)準(zhǔn)PPP類似，區(qū)別僅在于消電離層組合的碼、相觀測值需采用分解法計算得到的分別改正（標(biāo)準(zhǔn)PPP算法中，碼、相觀測值均采用改正），同時用戶可選擇MW組合觀測值并施加改正以輔助整周模糊度的快速固定。這意味著目前常用的標(biāo)準(zhǔn)PPP軟件，經(jīng)過簡單的升級即可滿足模糊度固定的要求，故實施過程將比較經(jīng)濟(jì)、有效。

3.2 非整法

非整法［5，7－10］基于星間單差的和三類觀測值。將差分矩陣I3n?［－em－1Im－1］乘以式（29），可得非整法函數(shù)模型的設(shè)計矩陣

式中

非整法的實施基于如下的分步數(shù)據(jù)處理策略。

類似于第一步，將連續(xù)弧段內(nèi)的式（34）經(jīng)由取平均和取整運算，分離得到（窄巷IPBs）的小數(shù)部分至此，可將得到的連同播發(fā)給PPP用戶以實現(xiàn)模糊度解算。

與分解法相比，非整法的實施特點可簡要概括如下。

非整法對分解法中所采用的三類組合觀測值進(jìn)一步實施星間差分運算，以消除與測站有關(guān)的偏差影響，進(jìn)而減少了待估參數(shù)的個數(shù)。然而，由此所引起的各類觀測值之間的數(shù)學(xué)相關(guān)性在非整法的分步實施過程中未合理考慮：如計算或均基于逐衛(wèi)星求解的方法，各衛(wèi)星單差觀測值之間的相關(guān)性一般被忽略，導(dǎo)致上述兩類估值的精度評定復(fù)雜。

此外，非整法取平均過程使得實時參數(shù)估計難以實施，不僅如此，簡單的取平均運算并不能有效消除部分非模型化誤差的影響（如碼觀測值的多路徑等），尤其是當(dāng)連續(xù)弧段的時長較短時，對于較為依賴碼觀測值的求解過程而言，估值結(jié)果往往并不可靠。

最后，由于非整法提供給PPP用戶的產(chǎn)品均為星間單差的形式，故用戶需要采用相同的星間單差觀測值，這與目前標(biāo)準(zhǔn)PPP算法中基于非差觀測值的數(shù)據(jù)處理策略差別較大，用戶的軟件升級所需成本等代價較之分解法更高。

4 結(jié)論與建議

本文推導(dǎo)了利用參考站網(wǎng)GPS原始觀測值估計衛(wèi)星IPBs的滿秩觀測方程。通過卡爾曼濾波，可估計得到衛(wèi)星IPBs，為PPP－AR提供一種新算法。作為對比，分別導(dǎo)出了目前常用的兩種PPP－AR策略：分解法和非整法的數(shù)學(xué)模型，并對兩種方法的實施特點進(jìn)行了對比性的論述。分析表明，分解法的參數(shù)估計過程充分利用了觀測值中的有效信息，便于用戶實時或事后實施PPP模糊度解算；非整法采用逐衛(wèi)星取平均的策略估計星間單差的IPBs，其實時性的實施較為困難，且用戶需采用相同的星間單差運算，增加了可能的計算負(fù)擔(dān)。

上述兩類方法的本質(zhì)區(qū)別還在于站星IPBs的時變模型選擇：分解法認(rèn)為兩類參數(shù)隨時間變化的特性在參數(shù)估計過程中難以有效描述，故該方法將上述兩類偏差的消電離層組合項與對應(yīng)的站星鐘差合并，且模型化為具有白噪聲性質(zhì)的參數(shù)；與之相反，非整法則認(rèn)為兩類參數(shù)均隨時間緩慢變化，且其隨時間變化的部分可通過簡單的取平均加以消除。

與上述兩種基于組合或差分觀測值的算法不同，本文基于原始觀測值估計衛(wèi)星IPBs的算法具有如下的優(yōu)勢：觀測值的組合或差分所引起的數(shù)學(xué)相關(guān)性對于觀測值合理定權(quán)的不利影響可以較好地避免；可估電離層延遲的平穩(wěn)時間變化可作為一種有效的約束以增強(qiáng)各類估值的精度與可靠性；站星IPBs的時變性可采用較為合理的模型加以描述（如隨機(jī)游走），以避免分解法中將其模型化為白噪聲所引起的待估參數(shù)增多，估值精度不高，同時也可避免非整法中將之過強(qiáng)地約束為時不變參數(shù)所引起的可靠性降低等問題。

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On the Different Strategies for Integer Ambiguity Resolution in Precise Point Positioning

ZHANG Baocheng1，2，OU Jikun1
1.Key Laboratory of Dynamic Geodesy，Institute of Geodesy and Geophysics，Chinese Academy of Sciences，Wuhan 430077，China；2.Graduate University of Chinese Academy of Sciences，Beijing100049，China

Due to the inseparability between the initial phase biases（IPB）and the integer ambiguities in undifferenced（UD）GPS carrier phase observable，the solutions from precise point positioning（PPP）are always ambiguity－float.The rank－defect UD GPS observation equation is firstly investigated，and the full－rank mathematical model for satellite IPB estimation is derived by means of re－parameterization，thus forming a new strategy for PPPAR.Comparative analysis of the characteristics of both existing methods is subsequently conducted based on the derived re－parameterized equations.It is concluded from the analysis that full utilization of information from GPS observations is guaranteed in DSC method.The process of generating DSC is consistent with the standard satellite clocks estimation.However，the stable temporal behaviors of satellite IPB are not reasonably exploited.In contrast，the FPB method doesn’t fully account for the mathematical correlations between the adopted linear combinations of GPS observations，which would result in a sub－optimal satellite IPB.Additionally，the real－time implementation of this method is more troublesome than the DSC，and the GPS code observations with high accuracy are always required.The newly presented strategy here can avoid the shortcomings in both current methods，and reasonable constraints that are converted from the temporal stability of several unknowns can be easily imposed upon the parameter estimation to lead to more reliable satellite IPB.

precise point positioning（PPP）；initial phase biases（IPB）；PPP ambiguity resolution（PPP－AR）；decoupled satellite clocks（DSC）；fractional phase biases（FPB）

ZHANG Baocheng（1985—），male，PhD candidate，majors in study of applications of precise point positioning and network－based RTK.

1001－1595（2011）06－0710－07

P228

A

國家自然科學(xué)基金（40874009；41074013）；國家杰出青年科學(xué)基金（40625013）；中國科學(xué)院研究生科技創(chuàng)新與社會實踐資助專項

叢樹平）

2010－10－11

2011－05－16

張寶成（1985—），男，博士生，研究方向為精密單點定位與網(wǎng)絡(luò)RTK技術(shù)的應(yīng)用。

E－mail：b.zhang＠whigg.ac.cn