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    離散型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)及其應(yīng)用①

    2010-12-26 06:21:40馬程遠(yuǎn)
    關(guān)鍵詞:再生性連續(xù)型概率密度函數(shù)

    王 濤 馬程遠(yuǎn)

    (1.華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部,北京東燕郊 101601;2.廊坊市第一中學(xué),河北廊坊 065000)

    離散型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)及其應(yīng)用①

    王 濤②馬程遠(yuǎn)

    (1.華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部,北京東燕郊 101601;2.廊坊市第一中學(xué),河北廊坊 065000)

    利用單位脈沖函數(shù)定義了離散型隨機(jī)變量的概率密度,給出離散型隨機(jī)變量與其獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量和分布的計(jì)算公式,且證明其和分布不可能為正態(tài)分布。

    單位脈沖函數(shù);隨機(jī)變量;概率密度;正態(tài)分布

    單位脈沖函數(shù)又稱(chēng)D irac函數(shù),簡(jiǎn)單記成δ(t)·δ(t)是一個(gè)廣義函數(shù),在廣義函數(shù)論中, δ(t)為某基本函數(shù)空間上的線性連續(xù)泛函,滿足下面兩個(gè)條件

    單位脈沖函數(shù)有以下基本性質(zhì):

    ①設(shè)f(t)是定義在(-∞,+∞)上的有界函數(shù),且在t=t0處連續(xù),則

    我們用δ(t)函數(shù)來(lái)定義離散型隨機(jī)變量的概率密度

    這樣定義的離散型隨機(jī)變量的概率密度,既和離散型隨機(jī)變量的分布律不會(huì)產(chǎn)生矛盾,又能和連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度統(tǒng)一起來(lái).在計(jì)算離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的和的分布及乘積的期望等問(wèn)題時(shí),將變得方便許多。

    因此,假設(shè)錯(cuò)誤,命題得證.

    注:當(dāng)離散型隨機(jī)變量X為單點(diǎn)分布,Y為正態(tài)隨機(jī)變量,且X與Y相互獨(dú)立時(shí),則有隨機(jī)變量Z=X+Y是正態(tài)隨機(jī)變量.

    (2)我們?cè)儆梅醋C法來(lái)證明定理2

    假設(shè)隨機(jī)變量Z=X+Y是正態(tài)隨機(jī)變量,概率密度為fz(t),則

    兩邊同時(shí)對(duì)任意正態(tài)隨機(jī)變量的密度函數(shù)g(t)作卷積得

    又(1)知fX(t)*g(t)不是正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度,而fZ(t)*g(t)是正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度,由引理4知[fX(t)*g(t)]*fY(t)不是正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度.

    故假設(shè)錯(cuò)誤,定理2得證.

    設(shè)Y是連續(xù)型隨機(jī)變量,若存在與其獨(dú)立的離散型隨機(jī)變量X,使得Z=X+Y與Y是同型分布,稱(chēng)隨機(jī)變量Y有廣義再生性.由結(jié)論2知,正態(tài)隨機(jī)變量不具有廣義再生性.可以驗(yàn)證均勻分布有廣義再生性,例如Y服從(0,1)上均勻分布; X服從兩點(diǎn)分布,分布律為p{X=0}=p{X=1} =0.5,則Z=X+Y服從(0,2)上的均勻分布.

    [1] 嚴(yán)士健,王雋驤,劉秀芳.概率論基礎(chǔ)[M].北京:科學(xué)出版社,1999,178.

    [2] 張?jiān)?積分變換[M](第四版).北京:高等教育出版社,2003,142:41-42.

    [3] 王梓坤.概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用.[M]北京:北京師范大學(xué)出版社,1996,136.

    [4] 楊豐凱.離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量之和的分布.吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)[J],2005, 11:95-96.

    The Probability density of discrete random variable and its Application

    WANG Tao1,MA Chengyuan2

    (1.Department ofBasic Courses,North China Institute Of Science And Technology,Yanjiao Beijing-East 101601;2.The firstmiddle school ofLang Fang,Langfang Hebei 065000)

    We define the Probability densityof discrete random variablewithDirac function,give away to calculate the distribution of sum of a discrete random variable and a continuous random variable,when they are independent,and proof its not nor mal distribution.

    Dirac function;Random variable;Probability density;Normal distribution

    0174

    A

    1672-7169(2010)01-0088-02

    2009-10-21

    王濤(1972-),男,河北遷安人,首都師范大學(xué)在讀碩士,華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部講師,研究方向:隨機(jī)圖。

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