關(guān)于等周長方體的幾個(gè)問題

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(沂水職教中心 山東沂水 276400) (許家湖鎮(zhèn)第一初級(jí)中學(xué) 山東沂水 276400)

關(guān)于等周長方體的幾個(gè)問題

●耿立順●耿立合

(沂水職教中心 山東沂水 276400) (許家湖鎮(zhèn)第一初級(jí)中學(xué) 山東沂水 276400)

對(duì)于2個(gè)長方體，若它們的三度(長、寬、高)均為整數(shù)且和相等，則稱這樣的2個(gè)長方體為等周長方體.關(guān)于等周長方體，本文給出并解答如下幾個(gè)問題:

問題1是否存在2個(gè)不同的長方體，等周且對(duì)角線相等.

問題2是否存在2個(gè)不同的長方體，等周且全面積相等.

問題3是否存在2個(gè)不同的長方體，等周且體積相等.

解決這些問題，利用“逆轉(zhuǎn)數(shù)組”較為容易.為了引出逆轉(zhuǎn)數(shù)組的概念，筆者需提及文獻(xiàn)[1]中曾給出的等式組：

一般地，若

結(jié)論1若2個(gè)長方體的三度互為逆轉(zhuǎn)數(shù)組，則這2個(gè)長方體等周且對(duì)角線相等.

結(jié)論2若2個(gè)長方體的三度互為逆轉(zhuǎn)數(shù)組，則這2個(gè)長方體等周且全面積相等.

若2個(gè)長方體的三度互為逆轉(zhuǎn)數(shù)組，則它們的體積相等嗎？

回答是否定的.用反證法可以證明之.

由逆轉(zhuǎn)數(shù)組作三度構(gòu)成的2個(gè)長方體體積不相等，但仍可借助逆轉(zhuǎn)數(shù)組解決問題3.

即

(10a+b)(10b+c)(10c+a+x)=(10b+a)(10c+b)(10a+c+x).

展開并整理得

11(a-c)bx=10(a-b)(b-c)(c-a)，

解得

由此得到,長方體(110,202,38)與長方體(209,40,101)等周且體積相等.

[1] 耿立順.關(guān)于自然數(shù)與等冪和的一些性質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，1996(11):14-17.