基于重要抽樣的強(qiáng)弱鏈安全系統(tǒng)失效概率計(jì)算

鎖 斌,程永生,曾 超,李 軍

(中國(guó)工程物理研究院電子工程研究所,四川綿陽(yáng) 621900)

0 引言

要害系統(tǒng)[1]一旦發(fā)生安全性事故,后果往往是災(zāi)難性的。為了確保要害系統(tǒng)在火燒、跌落、雷擊等意外環(huán)境中的安全性,美國(guó)Sandia國(guó)家實(shí)驗(yàn)室提出了“第一原理”[2],并在此基礎(chǔ)上形成了“增強(qiáng)引爆安全”(ENDS,Enhance Nuclear Detonation Safety)技術(shù)[3]。

ENDS系統(tǒng)中最重要的部件是強(qiáng)鏈和弱鏈。一旦發(fā)生火燒、跌落等意外事故,必須保證弱鏈先于強(qiáng)鏈?zhǔn)?實(shí)現(xiàn)事故窒息,從而保證整個(gè)系統(tǒng)的安全性,否則就認(rèn)為系統(tǒng)安全性失效。

目前,ENDS系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、評(píng)估技術(shù)在國(guó)外已經(jīng)比較成熟,但由于技術(shù)壁壘等原因,未見(jiàn)詳細(xì)、系統(tǒng)的報(bào)道。國(guó)內(nèi)相關(guān)單位已經(jīng)具備了ENDS系統(tǒng)的設(shè)計(jì)能力,但對(duì)ENDS系統(tǒng)在異常環(huán)境下安全性評(píng)估方面的工作尚待深入。

火燒是最常見(jiàn)的異常環(huán)境之一。在火燒事故中,溫度沖擊下強(qiáng)弱鏈安全系統(tǒng)的失效概率計(jì)算中,傳統(tǒng)的蒙特卡洛仿真方法(Monte Carlo Simulation,MCS)存在抽樣效率低、收斂較慢的缺點(diǎn)。針對(duì)這些不足,本文將改進(jìn)的蒙特卡洛方法——重要抽樣方法(Importance Sampling,IS)引入到失效概率的計(jì)算中,以期減小抽樣次數(shù),提高運(yùn)算效率和精度,為ENDS系統(tǒng)的安全性評(píng)估提供一定的參考。

1 強(qiáng)弱鏈安全系統(tǒng)

強(qiáng)鏈、弱鏈?zhǔn)?ENDS系統(tǒng)中的重要部件。ENDS系統(tǒng)主要由禁區(qū)(Exclusion region)、強(qiáng)鏈(Strong Link)、弱鏈(Weak Link)和獨(dú)特碼(Unique Signal,UQS)組成[3],如圖1所示。

圖1 ENDS系統(tǒng)基本要素構(gòu)成圖Fig.1 Basic elements of ENDS system

禁區(qū)是一種特殊材料構(gòu)成的能量屏障,將安全關(guān)鍵件保護(hù)起來(lái)。強(qiáng)鏈則守住禁區(qū)的入口,強(qiáng)度與禁區(qū)相當(dāng),禁止一切非授權(quán)能量進(jìn)入禁區(qū),只有輸入正確的授權(quán)UQS才能使強(qiáng)鏈閉合。弱鏈則是在異常環(huán)境的強(qiáng)度可能超過(guò)強(qiáng)鏈和禁區(qū)的承受能力時(shí),以一種安全的、可以預(yù)料的方式先于強(qiáng)鏈?zhǔn)?從而保證整個(gè)系統(tǒng)的安全性。

在溫度沖擊下,由于強(qiáng)、弱鏈的結(jié)構(gòu)、材料和安裝位置不同,因此隨著時(shí)間的推移有著不同的溫度變化規(guī)律。另外,由于強(qiáng)、弱鏈裝置的復(fù)雜性、加工工藝存在隨機(jī)不確定性等,導(dǎo)致對(duì)強(qiáng)、弱鏈的失效溫度的認(rèn)識(shí)帶有不確定性。通過(guò)實(shí)驗(yàn)和Ansys熱傳導(dǎo)仿真等方法,可以得到強(qiáng)、弱鏈時(shí)間-溫度曲線和失效溫度的分布規(guī)律。溫度沖擊下強(qiáng)、弱鏈安全系統(tǒng)的失效概率(Failure Probability under Temperature Impulsion,FPTI)被定義為強(qiáng)鏈先于弱鏈?zhǔn)У母怕省?/p>

2 失效概率計(jì)算的重要抽樣方法

當(dāng)溫度函數(shù)和失效溫度概率密度函數(shù)較為簡(jiǎn)單時(shí),FPTI的計(jì)算相對(duì)容易。但當(dāng)被積函數(shù)較為復(fù)雜時(shí),尤其是溫度函數(shù)的反函數(shù)難以求解時(shí),通常的數(shù)值積分方法就會(huì)變得很困難。而蒙特卡洛方法的本質(zhì)則在于隨機(jī)模擬,因此在用于多重積分的數(shù)值計(jì)算時(shí),誤差與積分維數(shù)和積分區(qū)域無(wú)關(guān),從而廣泛的應(yīng)用于失效概率的分析[4-5]。

然而,蒙特卡洛方法的顯著缺點(diǎn)是抽樣效率較低,對(duì)于高維稀有失效概率計(jì)算的工作量很難為工程所接受。改進(jìn)的蒙特卡洛方法——IS方法則可以較好地克服這個(gè)缺點(diǎn)。

IS方法的主要思想是通過(guò)尺度變換(Change of Measure,CM)來(lái)修改決定仿真輸出結(jié)果的概率測(cè)度,使本來(lái)發(fā)生概率很小的稀有事件頻繁發(fā)生,從而加快仿真速度,能夠在較短地時(shí)間內(nèi)得到稀有事件[6-7]。

IS方法的關(guān)鍵是選擇合適的重要抽樣密度函數(shù),以有效地減少方差,且只需要很少的樣本數(shù)便可以得到的一個(gè)可靠的估計(jì);否則IS方法的效率可能很差。

目前,尋找最優(yōu)重要抽樣密度函數(shù)的方法有很多種,如極小化方差法(Variance Minimization,VM)[8-10]、極小化交叉熵法(Cross Entropy,CE)[11-12]及其他方法[13-14]。

本文采用最常用的一種選擇重要抽樣密度函數(shù)的方法,即將抽樣中心平移到設(shè)計(jì)點(diǎn)(極限狀態(tài)域上距離標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間原點(diǎn)最近的點(diǎn)),方差不變,即以設(shè)計(jì)點(diǎn)為均值、原密度函數(shù)的方差為方差的正態(tài)密度函數(shù)作為重要抽樣概率密度函數(shù)。這樣,抽樣時(shí)大量的樣本點(diǎn)落在設(shè)計(jì)點(diǎn)附近,在失效面的非線性程度不是很高的情況下,抽樣效率可達(dá)50%左右。對(duì)于失效面的非線性程度較高的情況,也可以達(dá)到較好的效果?；谥匾闃臃椒ㄓ?jì)算FPTI的基本算法流程圖如圖2所示。

圖2 基于重要抽樣方法計(jì)算FPTI流程圖Fig.2 Flow Chart of Calculation of FPTIBased on IS Method

3 理論推導(dǎo)

設(shè)已知強(qiáng)、弱鏈的時(shí)間(t)-溫度(T)函數(shù)分別為T(mén)SL(t)和TWL(t),如圖3所示。失效溫度的概率密度函數(shù)分別為PDFSL(T)和PDFWL(T)。假設(shè)TSL(t)和TWL(t)相互獨(dú)立。

圖3 強(qiáng)鏈、弱鏈時(shí)間-溫度曲線Fig.3 Time-Temperature Curve of Strongand Weak Link

強(qiáng)、弱鏈的失效溫度分別為T(mén)F_SL和TF_WL,失效的時(shí)刻分別為tF_SL和tF_WL。起始溫度和最高溫度分別為 Tmin和Tmax,相應(yīng)的時(shí)刻為tmin和 tmax,則失效概率FPTI的集合可定義為:

集合 Ω可以表示為:

其中:

則失效概率為:

對(duì)于 i=1,2,…,n,有 :

由式(4)、式(5)可得:

由式(6)可得:

由如下積分變換公式[4]:

式(7)可改寫(xiě)為:

為便于采用重要抽樣方法,式(8)可改寫(xiě)為:

式中:

G(TSL,TWL)稱為似然比函數(shù),g(TSL,TWL)為任意的概率密度函數(shù),稱為重要抽樣密度函數(shù)。

根據(jù)IS方法的原理[7-8]可知PFPTI的無(wú)偏估計(jì)為:

變異系數(shù)(Coefficient of Variation)即相對(duì)誤差(Relative Error,RE)為:

4 實(shí)例仿真

設(shè)強(qiáng)、弱鏈的時(shí)間-溫度函數(shù)分別為[15]:

強(qiáng)、弱鏈的失效溫度服從正態(tài)分布:

利用第2節(jié)中的重要抽樣方法計(jì)算出失效概率和相對(duì)誤差,結(jié)果列于表1。作為對(duì)比,表中也列出了標(biāo)準(zhǔn)MCS方法的計(jì)算結(jié)果。

從表1中可以看出,IS方法的抽樣效率明顯高于MCS方法,在相對(duì)誤差同樣為1.5%左右時(shí),IS方法只需要4×105次抽樣,而MCS方法則需要2×107次左右的抽樣次數(shù)才能達(dá)到,抽樣次數(shù)遠(yuǎn)大于前者。

表1 MCS和IS數(shù)值仿真的失效概率和相對(duì)誤差Tab.1 Failure Probability and Relative Error of MCS and IS Methods

5 結(jié)論

本文提出了基于重要抽樣的強(qiáng)弱鏈安全系統(tǒng)失效概率的計(jì)算方法。以溫度沖擊下強(qiáng)弱鏈安全系統(tǒng)失效域中的設(shè)計(jì)點(diǎn)為均值、方差不變構(gòu)造了重要抽樣概率密度函數(shù),給出了相對(duì)誤差的計(jì)算方法,并結(jié)合一個(gè)實(shí)例進(jìn)行了數(shù)值仿真。仿真表明:與傳統(tǒng)蒙特卡洛法相比,重要抽樣方法效率更高、誤差更小。

[1]Randall Gary T.High consequence system surety process description,SAND94-3223[R].US:Sandia National Laboratories,1995.

[2]Cooper J Arlin.System safety based on a coordinated principle-based theme,SAND98-1590C-PF.2[R].US:Sandia National Laboratories,1998.

[3]Dvorack M A,Jooes T R.System safety assessments combining first principles and model based safety assessment methodologies,SAND98-0162C[R].US:Sandia National Laboratories,1998.

[4]金治明,羅建書(shū).應(yīng)用數(shù)學(xué)的現(xiàn)代基礎(chǔ)[M].長(zhǎng)沙:國(guó)防科技大學(xué)出版社,1998.

[5]王敏,王航宇.蒙特卡羅方法在集成電路可靠性分析中的應(yīng)用[J].探測(cè)與控制學(xué)報(bào),2008,30(4):63-66.WANG Min,WANG Hangyu.Application of monte carlo method in assessment of the integrated circuit reliability[J].Journal of Detection&Control,2008,30(4):63-66.

[6]周泓,邱月,吳學(xué)靜.基于重要抽樣技術(shù)的稀有事件仿真方法[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào),2007,19(18):11-14.ZHOU Hong,QIU Yue,WU Xuejing.Rare event simulation method based on importance sampling technology[J].Journal of System Simulation,2007,19(18):11-14.

[7]謝國(guó)鋒,童節(jié)娟,何旭洪,等.用 M onte Carlo方法計(jì)算HTR-10余熱排出系統(tǒng)物理過(guò)程的失效概率[J].核動(dòng)力工程,2008,29(2):85-87.XIE Guofeng,TONG Jiejuan,HE Xuhong,et al.Calculation of physical failure probability of HTR-10 residual heat removal system by M onte Carlo method[J].Nuclear Power Engineering,2008,29(2):85-87.

[8]Au S K,Beck J L.Important sampling in high dimensions[J].Structural Safety,2003,25(2):139-163.

[9]Biondini G,Kath W L,et al.Importance sampling for polarization-mode dispersion[J].IEEE Photon Tech Lett,2002,14(3):310-312.

[10]Sandmann,Werner.Rare event simulation methodologies and applications[J].Simulation,2007,83(11):749-750.

[11]Ridder Ad,Rubinstein Reuven R.Minimum cross-entropy methods for rare-event simulation[J].Simulation,2007,83(11):769-784.

[12]Qiu Yue,Zhou Hong,et al.An importance sampling method with applications to rare event probability[C]//IEEE International Conference on Grey Systems and Intelligent Services.US:GSIS 2007:1 381-1 385.

[13]Nicola VF,Shahabuddin P,Nakayama MK.Techniques for fast simulation of models of highly dependable systems[J].IEEE Transaction on Reliability,2001,50(3):246-64.

[14]Shahabuddin P.Importance sampling for the simulation of highly reliable Markovian systems[J].Manage Science,1994,40(3):333-52.

[15]Bohn M P.P-race users guide,SAND96-1 762[R].US:Sandia National Laboratories,1996.