長(zhǎng)方形構(gòu)件的擬合研究

沈丹華 蔡榮華 林志宏 戴明如

(1.浙江省測(cè)繪大隊(duì),浙江杭州 310030;2.浙江省溫嶺市國(guó)土局,浙江溫嶺 317500;3.浙江省溫嶺市測(cè)繪隊(duì),浙江溫嶺 317500)

要檢測(cè)某長(zhǎng)方形構(gòu)件,需要檢測(cè)其表面是否平整,尺寸是否符合設(shè)計(jì)要求。在其表面適當(dāng)位置粘貼標(biāo)志,在附近安置全站儀,觀測(cè)這些標(biāo)志的空間坐標(biāo),計(jì)算其平整度和長(zhǎng)方形的尺寸。具體步驟如圖1。

圖1 擬合空間長(zhǎng)方形流程

1 擬合平面求平整度

圖2表示長(zhǎng)方形在空間的位置。它與測(cè)量坐標(biāo)系(o-xyh)的關(guān)系是任意的。o-h方向?yàn)榇咕€(xiàn)方向。o-xy面為水準(zhǔn)面的切面,全站儀安置在空間長(zhǎng)方形的旁邊,采用自由設(shè)站直接測(cè)定目標(biāo)的三維坐標(biāo)。

圖2 空間長(zhǎng)方形與測(cè)量坐標(biāo)系關(guān)系

由于施工誤差或觀測(cè)誤差,這些標(biāo)志并不完全在同一平面內(nèi),設(shè)要擬合的平面方程為

式中(a b c)T為平面的法線(xiàn)方向單位矢量,a＞0,若a=0 則b＞0,若a=0 且b=0則 c＞0,a、b、c不可能同時(shí)為0。

以(xiyihi)T(i=1,2,…,n)表示觀測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)。

為了避免由于直線(xiàn)平行于某坐標(biāo)軸而出現(xiàn)數(shù)值問(wèn)題,求出測(cè)(xiyihi)T(i=1,2,…,n)中的3個(gè)坐標(biāo)分量的最大值和最小值之差 Δx、Δy、Δh。

在 Δx、Δy、Δh 中,若 Δx 最小 ,則按 x=ay+bh+c擬合,若 Δy最小,則按 y=ah+bx+c擬合,若 Δh最小,則按h=ax+by+c擬合。

另外,也可以先將坐標(biāo)分量變換至[-1 1]區(qū)間,擬合后再回代。

求得平面方程(1)后,i點(diǎn)至平面的距離就是誤差方程殘差

上式中的殘差通常用于表示測(cè)得平面的平整度。i點(diǎn)在平面上的投影點(diǎn)坐標(biāo)(xpiypihpi)T為

投影點(diǎn)坐標(biāo)一定滿(mǎn)足平面方程。

2 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換求各個(gè)點(diǎn)平面坐標(biāo)

在求得所有測(cè)定點(diǎn)在平面上的投影點(diǎn)坐標(biāo)(xpiypihpi)T(i=1,2,…,n)后,建立平面坐標(biāo)系oo-xxyyhh,如圖2,此坐標(biāo)系的兩個(gè)軸xx、yy處在平面內(nèi),hh軸與平面的法線(xiàn)方向一致,各投影點(diǎn)在平面坐標(biāo)系中的高程hh=0。

oo點(diǎn)在測(cè)量坐標(biāo)系o-xyh中的坐標(biāo)定義為

xx軸在測(cè)量坐標(biāo)系o-xyh中的方向定義為oo點(diǎn)至面內(nèi)某點(diǎn)(不能是oo點(diǎn))的方向,不妨設(shè)為oo點(diǎn)至

借鑒Luna24探測(cè)器和地面油田鉆井工程中穩(wěn)定器設(shè)計(jì)相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)鉆取采樣設(shè)備外部支撐裝置的設(shè)計(jì)需求，本文設(shè)計(jì)了一種鎖合隨動(dòng)式限幅機(jī)構(gòu)。該機(jī)構(gòu)位于鉆桿的中部，在飛行工作階段主要起到鉆具的限幅作用；當(dāng)鉆具鉆進(jìn)到位之后，該機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)解鎖，并隨鉆具同步向下進(jìn)尺。同時(shí)，本文基于有限元分析和地面系統(tǒng)級(jí)驗(yàn)證試驗(yàn)，對(duì)該限幅機(jī)構(gòu)的性能進(jìn)行驗(yàn)證。

yy軸在測(cè)量坐標(biāo)系o-xyh中的方向是xx與hh的叉乘方向

式中

由平面坐標(biāo)系中坐標(biāo)求測(cè)量坐標(biāo)系中坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

3 擬合四條邊求直角點(diǎn)坐標(biāo)

若在長(zhǎng)方形的四條邊上分別測(cè)定了一些點(diǎn),先擬合一個(gè)平面,求出投影點(diǎn)坐標(biāo),將所有投影點(diǎn)換算至平面坐標(biāo)系(如圖3所示)。)表示邊j上測(cè)定點(diǎn)在平面坐標(biāo)系中xy平面內(nèi)的坐標(biāo)。

圖3 擬合長(zhǎng)方形及其需觀測(cè)點(diǎn)

考察邊1上點(diǎn)坐標(biāo)分量的范圍 Δx、Δy,若 Δx＞Δy,則邊1的方程為y=ax+b1,否則方程為x=ay+b1。

對(duì)每條邊上的點(diǎn)列出誤差方程,如對(duì)邊2上的點(diǎn)

由所有點(diǎn)的誤差方程組成法方程求解,迭代至收斂,得到四條邊的方程(若擬合前坐標(biāo)變至[-1 1]區(qū)間,則應(yīng)回代)。

4 由直角點(diǎn)坐標(biāo)求邊長(zhǎng)

求得4個(gè)角點(diǎn)在平面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)后,可求出長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng),按式(10)轉(zhuǎn)回測(cè)量坐標(biāo)系,便可得到4個(gè)角點(diǎn)在測(cè)量坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

5 算例

該算例采用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù),其中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為1 m,寬為0.667 m。實(shí)測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)如表1所示。

表1 各邊上實(shí)測(cè)測(cè)點(diǎn)坐標(biāo) m

由第2部分,式(2)擬合得平面方程的參數(shù)為

由平面實(shí)測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)和方程,求得各點(diǎn)至平面的距離Vi和投影點(diǎn)坐標(biāo),如表2所示。

表2 各點(diǎn)在平面上的投影點(diǎn)坐標(biāo)和至平面的距離,各投影點(diǎn)平面坐標(biāo),觀測(cè)點(diǎn)至擬合直線(xiàn)距離 m

由表2可知,各點(diǎn)至平面的距離反映長(zhǎng)方形表面的平整度,顯然只要在表面上增加觀測(cè)點(diǎn)的個(gè)數(shù),即可增加觀測(cè)的客觀性。由各個(gè)點(diǎn)的平面坐標(biāo)在平面內(nèi)分別擬合直線(xiàn),直線(xiàn)相交,求得交點(diǎn)的平面坐標(biāo)。如表3所示。

表3 4個(gè)頂點(diǎn)在平面坐標(biāo)系中坐標(biāo) m

擬合得四條直線(xiàn)方程分別為

由4個(gè)點(diǎn)的平面坐標(biāo)分別求得邊長(zhǎng)為:上邊0.998 293 242 594 40 m,下邊0.998 293 242 59440 m,左邊0.661 459 043 585 17 m,右邊0.661 459 043 585 17 m。將4個(gè)頂點(diǎn)在平面坐標(biāo)系中坐標(biāo)轉(zhuǎn)換回測(cè)量坐標(biāo)系中,得到4個(gè)頂點(diǎn)在測(cè)量坐標(biāo)系中坐標(biāo),如表4所示。

表4 4個(gè)頂點(diǎn)投影點(diǎn)在測(cè)量坐標(biāo)系中坐標(biāo) m

直角點(diǎn)的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)回測(cè)量坐標(biāo)系,可比較直角點(diǎn)設(shè)計(jì)坐標(biāo)與測(cè)的坐標(biāo)的差別。

6 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于空間任意放置的長(zhǎng)方形設(shè)備,利用全站儀采集了表面適當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)后,可以由本文的模型算出長(zhǎng)方形設(shè)備的各個(gè)參數(shù)及其形變量。該長(zhǎng)方形設(shè)備檢測(cè)的方法比較全面實(shí)用,擬合過(guò)程不會(huì)損失精度。通過(guò)實(shí)例計(jì)算說(shuō)明該方法可行實(shí)用,可以準(zhǔn)確檢查工業(yè)構(gòu)件的尺寸并給出精確修改值。

[1]王解先,季凱敏.工業(yè)測(cè)量擬合[M].北京:測(cè)繪出版社,2008

[2]王解先,許 琛,陸彩萍.沉管沉放的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)[J].測(cè)繪學(xué)報(bào),2002,31:70-72

[3]陳基偉.工業(yè)測(cè)量數(shù)據(jù)擬合研究[D].上海:同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院,2005

[4]陳俊平,王解先.工業(yè)測(cè)量中的曲線(xiàn)擬合[J].工程勘察,2003(5):59-61