球面波照射下光柵和透鏡光學(xué)系統(tǒng)的Talbot效應(yīng)

王淮生

(上海電力學(xué)院數(shù)理系，上海 200090)

球面波照射下光柵和透鏡光學(xué)系統(tǒng)的Talbot效應(yīng)

王淮生

(上海電力學(xué)院數(shù)理系，上海 200090)

研究了在球面波照射下光柵和一個(gè)透鏡構(gòu)成的光學(xué)系統(tǒng)的衍射特點(diǎn)，給出了光學(xué)系統(tǒng)Talbot自成像的條件及光學(xué)系統(tǒng)自成像周斯變化的規(guī)律，并以振幅光柵為例給出了從低密度光柵生成高密度光柵的條件。研究表明光學(xué)系統(tǒng)Talbot自成像的性質(zhì)不僅與球面波的距離有關(guān)，而且與透鏡的焦距和位置密切相關(guān)。由于通常研究的是在平面波照射下光柵的Talbot效應(yīng)，因此關(guān)于球面波照射下光柵和透鏡系統(tǒng)Talbot效應(yīng)特性分析將進(jìn)一步完善光柵的Talbot效應(yīng)理論。

球面波;光柵; 透鏡；Talbot效應(yīng)

1836年Talbot研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)一個(gè)周期性的物體例如一個(gè)光柵在平面波照射下，由于光柵的衍射，會在光柵后面一定的距離z處出現(xiàn)光柵的像，這種現(xiàn)象稱為Talbot 效應(yīng)。Talbot距離z可表示為：

式中，λ表示光的波長；d表示為光柵的周期；n為任意正整數(shù)。

Talbot 效應(yīng)[1]是光學(xué)中一個(gè)有一定歷史的研究課題。近幾十年來，由于光學(xué)信息科學(xué)技術(shù)的發(fā)展又引起人們的重視，Talbot 效應(yīng)也廣泛應(yīng)用在圖像合成[2]、通訊[3～5]、角度精確測量[6]、圖像的壓縮[7]和光波導(dǎo)[8]中。通常，對其主要研究是單個(gè)光柵在平行光照射下的Talbot 效應(yīng)，而文獻(xiàn)[9]研究了在平面波照射下光柵和單透鏡系統(tǒng)的Talbot效應(yīng)。下面筆者研究將光柵和單透鏡系統(tǒng)的Talbot 效應(yīng)推廣到球面波照射下的情況。由于球面波的點(diǎn)光源的距離可以變化，這對于調(diào)節(jié)系統(tǒng)的Talbot自成像是十分有用的。

圖1 在球面光波照射下的光學(xué)系統(tǒng)

1 球面波照射下光柵和透鏡光學(xué)系統(tǒng)

由一個(gè)光柵和一個(gè)透鏡組成并被球面光波照射的光學(xué)系統(tǒng)如圖1所示。其中，S為點(diǎn)光源；光柵位于Σ1平面；透鏡位于Σ2平面；觀察平面位于Σ平面；d0表示點(diǎn)光源到光柵的距離；d1表示光柵到透鏡的距離；z表示透鏡到觀察平面的距離。文獻(xiàn)[9]中從透鏡到觀察平面的中間有一個(gè)頻譜面，在這里為簡單起見，直接分析從透鏡到觀察平面，中間不需要一個(gè)頻譜面。

2 光柵和透鏡系統(tǒng)在點(diǎn)光源發(fā)射的球面波照射下的衍射方程

為簡單起見，這里僅討論一維問題。設(shè)光柵的透射函數(shù)為T(x)，由于T(x)為周期函數(shù)，展成傅里葉級數(shù)為：

T(x)=∑ncnexp(i2πnx/d)

(1)

為了方便比較，下面分析光柵在平行光照射下的衍射情況，單透鏡衍射系統(tǒng)如圖2所示。

圖2 在平行光照射下單透鏡衍射系統(tǒng)

假定光柵位于平面Σ1并被平面波照射，利用光學(xué)理論中Fresnel衍射方程[10]，則在距離z′處衍射光場φ(x′,y′)為：

式中，(x1,y1)位于Σ1平面；(x′,y′)位于Σ′平面；C1為常量。

將式(1)代入式(2)，并利用積分公式：

式(2)可化簡為：

φ(x′,y′)=C2∑jcjexp(i2πjx′/d)exp(-iπλj2y′/d2)

(3)

式中，C2為一個(gè)常量和相位函數(shù)的乘積。

下面將分析光學(xué)系統(tǒng)(如圖1所示)在球面波照射下的衍射情況。

Σ1平面的光波函數(shù)為球面光波函數(shù)和光柵透射函數(shù)的積：

(4)

式中，C3為一個(gè)常量。

ψ1經(jīng)過一個(gè)Fresnel衍射到達(dá)透鏡平面Σ2的左邊，透鏡平面Σ2的左邊光波函數(shù)為：

(5)

式中，f為透鏡的焦距。

ψ2經(jīng)過一個(gè)Fresnel衍射到達(dá)觀察平面Σ，利用光學(xué)理論中Fresnel衍射方程[10]可得Σ上的光波函數(shù)為：

ψ=C4?ψ2exp(iπ[(x-x2)2+(y-y2)2]/λz)dx2dy2

(6)

式中，C4為一個(gè)常量。通過式(4)、(5) 和(6)的計(jì)算，可以得到：

(7)

3 Talbot自成像的條件

由式(7)知系統(tǒng)的自成像條件為：

(8)

式中，m為正整數(shù)。

系統(tǒng)自成像的周期d′為:

d′=d/Δ1

(9)

當(dāng)d0→∞時(shí)，球面波過渡到平面波，式(8)和式(9)變?yōu)椋?/p>

(10)

(11)

這與文獻(xiàn)[9]中的結(jié)論是一致的。

再將光學(xué)系統(tǒng)的自成像條件與單透鏡的自成像條件作一比較。由式(3)可知，單透鏡在平行光照射下自成像條件為：

(12)

式中,n為正整數(shù)。

比較式(8)和式(12)知，光學(xué)系統(tǒng)的自成像距離是一個(gè)綜合因素，即與實(shí)際距離z有關(guān)，也與點(diǎn)光源的距離d0，透鏡的焦距f及透鏡到光柵的距離d1有關(guān)。而由式(8)可知，光學(xué)系統(tǒng)的自成像的周期同樣與上述因素有關(guān)。

4 從低密度光柵生成高密度光柵的條件

下面討論一振幅光柵，設(shè)開口比為1/M，M為正整數(shù)。光柵的透射函數(shù)為:

圖3 矩形函數(shù)示意圖

(13)

式中，Rect為矩形函數(shù)。矩形函數(shù)示意圖如圖3所示。

光柵的透射函數(shù)的傅里葉級數(shù)為：

(14)

這里An=sin(πn/M)/(πn)。系統(tǒng)的自成像條件由式(8)決定，而系統(tǒng)的自成像的周期由式(9)決定。由式(9)知，當(dāng):

(15)

成立時(shí),則有:

d′lt;d

(16)

即可以從低密度光柵生成高密度光柵。

5 結(jié) 語

研究了在球面波照射下光柵和一個(gè)透鏡構(gòu)成的光學(xué)系統(tǒng)的衍射特點(diǎn)，并給出了光學(xué)系統(tǒng)Talbot自成像的條件及光學(xué)系統(tǒng)自成像周斯變化的規(guī)律，以振幅光柵為例給出了從低密度光柵生成高密度光柵的條件。研究表明，光學(xué)系統(tǒng)Talbot自成像的性質(zhì)不僅與球面波的距離有關(guān)，而且與透鏡的焦距和位置密切相關(guān)。特別需要指出的是光學(xué)系統(tǒng)自成像的周期與原光柵的周期是不同的，而單光柵在平行光照射下的自成像的周期與原光柵的周期是相同的。

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[編輯] 洪云飛

2010-06-28

上海市教委科技創(chuàng)新資助項(xiàng)目(08LZ143)。

王淮生(1966-)，男, 1984年大學(xué)畢業(yè)，博士，教授，現(xiàn)主要從事光學(xué)信息處理和大學(xué)物理方面的教學(xué)與研究工作。

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