Ginzburg-Landau方程的隨機(jī)攝動(dòng)

包立平,鄭 薇

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院,浙江杭州310018)

0 引 言

具有白噪聲干擾的金茨堡-朗道方程問(wèn)題,是十分有意義的問(wèn)題。其在物理學(xué)和統(tǒng)計(jì)力學(xué)方面有著廣泛的應(yīng)用,尤其在超導(dǎo)理論方面有著重要的作用,因而引起了人們的廣泛關(guān)注[1-3]。到目前為止,對(duì)于一維的金茨堡-朗道方程的隨機(jī)攝動(dòng)問(wèn)題的研究相對(duì)比較深入,國(guó)外的大量文獻(xiàn)用數(shù)值解的方法和幾何流形,測(cè)度論方面研究了金茨堡-朗道方程的隨機(jī)攝動(dòng)問(wèn)題及該方程自被控項(xiàng)鏈環(huán)孤立子和三維高次的穩(wěn)定耗散光學(xué)孤立子問(wèn)題[2-5];國(guó)內(nèi)的文獻(xiàn)主要研究了該方程的格子玻爾茲曼數(shù)值解[1,6]。對(duì)于二維的金茨堡-朗道方程的隨機(jī)攝動(dòng)問(wèn)題的研究相對(duì)較少。本文主要研究平面上具白噪聲干擾的金茨堡-朗道方程的隨機(jī)攝動(dòng)問(wèn)題并將其結(jié)果推廣到了n維空間。通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)母窳趾瘮?shù),給出了該方程解的隨機(jī)微分表達(dá)式,得到了其形式漸近展開(kāi)式,并分析了該方程解的期望與方差,從而在方差的意義下,得到了解的余項(xiàng)估計(jì)。

1 解的漸近展開(kāi)

本文討論如下的具有白噪聲干擾的Ginzburg-Landau方程問(wèn)題:

式中,Ω=BR(0)?R2,σ(x,t)∈C(R2),u為實(shí)函數(shù) t＞0,u0(x,0)=1,{W(x,t)}是標(biāo)準(zhǔn)兩參數(shù)Wiener過(guò) ,且 W(x,t)=Ωw(y,s)dyds,這里w是高斯白噪聲,Ew(y,t)=0,且 E[w(x,t)w(y,s)]=δ(x-y)δ(t-s)。

設(shè):

先作形式漸近展開(kāi),其首項(xiàng)滿(mǎn)足如下問(wèn)題:

引理1 式3的解 u0=1。

證1,▽u0=0。由式4可知,Ω(u0t)2dx=0,所以 u0t=0,即 u0為常數(shù)。又因?yàn)?u0(x,0)=1,所以 u0=1,證畢。

由式2可得,其 u1,uk(k≥2)滿(mǎn)足如下問(wèn)題:

因此:

2 Green函數(shù)

在討論式1的期望與方差分析前,考慮如下的問(wèn)題:

令x1=rcosθ,x2=rsinθ,0≤r≤R,0≤θ≤2π,則可得 :

利用分離變量法可得其格林函數(shù)為:

式中,Jn(x)為Bessel函數(shù),αmnR是 Jn(x)的零點(diǎn)

證 由式5知:

同理由式6可得:

證畢。

3 期望、方差與余項(xiàng)估計(jì)

定理1 式1的解 u=1+εu1+ε2u2+…εkuk+εk+1R,|E R|≤c,|V ar R|≤c這里c是與ε無(wú)關(guān)的常數(shù)。

證 由引理2可知E u1=ΩG(x,y,t)dy,由 Ito積分可得Var u1=dyds,由漸近展開(kāi)式 u=1+εu1+ε2u2+…εkuk+εk+1R代入式1得:

因此:

則ER=ΩG(x,y,t)dy-

由遞推可得:|E R|≤c,

因此可得:|Var R|≤c,即在方差意義下:

證畢。

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