特定數(shù)字集的非譜問(wèn)題

仲 明

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710062)

1 簡(jiǎn) 介

設(shè)M∈Mn(Z)是一個(gè)擴(kuò)張整矩陣(即M所有特征值的絕對(duì)值都大于1),D?Zn是基數(shù)為|D|的有限數(shù)字集.聯(lián)系到自仿迭代函數(shù)系(IFS){Φd(x)=M-1(x+d)}d∈D,則存在唯一的概率測(cè)度μ:=μM,D滿足等式

(1)

設(shè)S?Zn是和D具有相同基數(shù)的有限子集,聯(lián)系到它的對(duì)偶迭代函數(shù)系(IFS){Ψs(x)=M*(x)+s}s∈S.令ΛM,S表示0關(guān)于迭代函數(shù)系{Ψs(x)}s∈S的軌道,即

(2)

其中M*是M的共軛轉(zhuǎn)置.

回憶緊支撐在Rn上的自仿測(cè)度μ,如果存在一個(gè)離散的集合Λ使得EΛ:={e2πi〈λ,x〉:λ∈Λ}是L2(μ)空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基,則稱μ為譜測(cè)度,Λ稱為譜測(cè)度μ的譜,(μ,Λ)為譜對(duì).譜測(cè)度是由Fuglede[1]的一個(gè)著名猜測(cè)所引起的譜集的自然推廣.

假設(shè)存在集合ΛM,S?Rn,ΛM,S-ΛM,S?Rn使得EΛM,S在L2(μM,D)空間中正交,則對(duì)任意λ1≠λ2∈ΛM,S,

(3)

(4)

將式(3)和(4)結(jié)合,則存在一個(gè)正整數(shù)k=k(λ1-λ2)使得mD(M*-kλ)=0,其中

λ=λ1-λ2∈Zn{0}.

目前,譜自仿測(cè)度問(wèn)題的研究主要是兩個(gè)方面:一方面,在什么條件下μM,D是一個(gè)譜測(cè)度,相關(guān)的結(jié)果見(jiàn)[2,3];另一方面是關(guān)于μM,D不是譜測(cè)度的條件的研究,相關(guān)內(nèi)容見(jiàn)[4-5].前輩們的研究得到了許多結(jié)果[1-5].這些結(jié)果中數(shù)字集D中的向量大多是線性無(wú)關(guān)的,但是如果數(shù)字集中的向量發(fā)生變化,如線性相關(guān),那么又會(huì)出現(xiàn)什么樣的結(jié)論?這問(wèn)題來(lái)自文獻(xiàn)[5]的一個(gè)猜測(cè)(Conjecture 1),但其只說(shuō)明了數(shù)字集的個(gè)數(shù),并沒(méi)有要求數(shù)字集的具體形式.事實(shí)上,可以證明下面兩個(gè)定理.

定理1若|pi|>1,pi∈2Z+1(i=1,2,3).聯(lián)系到整數(shù)矩陣和數(shù)字集

(5)

的自仿測(cè)度μM,D是非譜測(cè)度.則在L2(μM,D)空間中至多存在4個(gè)相互正交指數(shù)函數(shù)且4是最好估計(jì).

定理2若|pi|>1(i=1,2),p1,p2,p∈Z,p1p2?3Z,l∈Z{0,1}.聯(lián)系到整數(shù)矩陣和數(shù)字集

(6)

的自仿測(cè)度μM,D是非譜測(cè)度.則如果l∈3Z+2,則在L2(μM,D)空間中至多存在3個(gè)相互正交指數(shù)函數(shù)且3是最好估計(jì);如果l?3Z+2,則在L2(μM,D)空間中至多存在1個(gè)μM,D-正交指數(shù)函數(shù).

2 定理1的證明

證明如果在L2(μM,D)空間中存在5個(gè)正交指數(shù)函數(shù),設(shè)它們是e2πi〈λ1,x〉,e2πi〈λ2,x〉,e2πi〈λ3,x〉,e2πi〈λ4,x〉,e2πi〈λ5,x〉，其中λi=(λi1,λi2,λi3)T(i=1,2,3,4,5)∈R3.那么,

(7)

首先,對(duì)于在式(5)中給定的D有：

Θ0:={t∈R3:mD(t)=0}=A1∪A2,

其中

(8)

式中

引理1上面所給的集合Z1,Z2,Z3有如下的性質(zhì):

(a)Z1,Z2,Z3互不相交的;

(c)Zj=-Zj,j=1,2,3;

由式(7)和式(8),有

屬于這3個(gè)集合(Z1,Z2,Z3)的并.特別的,

λ1-λ2,λ1-λ3,λ1-λ4,λ1-λ5∈Z1∪Z2∪Z3.

(9)

情況1集合Z2包含式(9)中一個(gè)差式.不妨設(shè)λ1-λ2∈Z2,故

λ1-λ3,λ1-λ4,λ1-λ5∈Z1∪Z3.

(10)

于是又可以將證明分為兩種情況.

1) (3-0)(或者0-3)形式.即式(10)中的3個(gè)差式或者屬于Z1或者屬于Z3.

在這種情況下,若λ1-λ3,λ1-λ4,λ1-λ5∈Z1,那么,

λ4-λ3=(λ1-λ3)-(λ1-λ4)∈Z1-Z1;
λ5-λ3=(λ1-λ3)-(λ1-λ5)∈Z1-Z1;
λ5-λ4=(λ1-λ4)-(λ1-λ5)∈Z1-Z1.

由式(7)和引理1(d)知

λ4-λ3,λ5-λ3,λ5-λ4∈Z3.

由上式知

λ5-λ4=(λ5-λ3)-(λ4-λ3)∈Z3-Z3.

由式(7)和引理1(d)知,λ5-λ4∈Z1,這是一個(gè)矛盾.故這是不可能的.

若λ1-λ3,λ1-λ4,λ1-λ5∈Z3.同理可以得到矛盾.所以1)是不可能的.

2) (2-1)(或者1-2)形式.即Z1或Z3包含了式(10)中的任意兩個(gè)差式,另外一個(gè)則包含了剩下的一個(gè)差式.

在這種情況下,如果λ1-λ3,λ1-λ4∈Z1,λ1-λ5∈Z3，那么,

λ4-λ3=(λ1-λ3)-(λ1-λ4)∈Z1-Z1;
λ2-λ3=(λ1-λ3)-(λ1-λ2)∈Z1-Z2;
λ2-λ4=(λ1-λ4)-(λ1-λ2)∈Z1-Z2.

由式(7)和引理1(d)知

λ4-λ3,λ2-λ3,λ2-λ4∈Z3.

由上式知

λ4-λ3=(λ2-λ3)-(λ2-λ4)∈Z3-Z3.

由式(7)和引理1(d)知λ4-λ3∈Z1,這是一個(gè)矛盾.故這是不可能的.其它情況可以類似得到矛盾.所以2)是不可能的.因此情況1是不可能的.

情況2集合Z2不包含式(9)中任意一個(gè)差式.即

λ1-λ2,λ1-λ3,λ1-λ4,λ1-λ5∈Z1∪Z3.

(11)

于是證明可以分為以下3種情況.

3) (4-0)(或者0-4)形式.這與情況1中1)類似.

4) (3-1)(或者1-3)形式.這也與情況1中1)類似.

5) (2-2)形式.即集合Z1和Z3都包含了式(11)中的任意兩個(gè)差式.

在這種情形下,假設(shè)λ1-λ2,λ1-λ3∈Z1,λ1-λ4,λ1-λ5∈Z3,于是有

由式(7)和引理1(d)知

所以μM,D正交指數(shù)函數(shù)構(gòu)成的任意集合最多有4個(gè)元素.進(jìn)一步地,可以得到許多包含4個(gè)正交指數(shù)函數(shù)的集合.如指數(shù)函數(shù)系EΛ就是在L2(μM,D)空間中含有4個(gè)相互正交的指數(shù)函數(shù)集,其中

這就證明了4是最好估計(jì).定理證畢.

3 定理2的證明

證明若l∈3Z+2.如果在L2(μM,D)空間中存在4個(gè)正交指數(shù)函數(shù),設(shè)它們是e2πi〈λ1,x〉,e2πi〈λ2,x〉,e2πi〈λ3,x〉,e2πi〈λ4,x〉,其中λi=(λi1,λi2)T(i=1,2,3,4)∈R2.那么,

(12)

首先,對(duì)于在式(6)中給定的D有:

Θ0:={t∈R2:mD(t)=0}=A1∪A2,

其中

可以證明下式對(duì)于j=1,2,…都成立：M*j(Ai)?M*(Ai),i=1,2.所以,

(13)

式中

其中a∈R,k∈Z.顯然,

(14)

于是,由式(12)和(13),有

屬于集合(Z1,Z2)的并.特別地,

λ1-λ2,λ1-λ3,λ1-λ4∈Z1∪Z2.

(15)

由式(14)知,這是不可能的.所以在L2(μM,D)空間中至多存在3個(gè)相互正交指數(shù)函數(shù).進(jìn)一步地,可以得到許多包含4個(gè)正交指數(shù)函數(shù)的集合.如指數(shù)函數(shù)系EΛ就是在L2(μM,D)空間中含有3個(gè)相互正交的指數(shù)函數(shù)集,其中

這就證明了3是最好估計(jì).

若l?3Z+2，則對(duì)于任意的ξ∈R2,有mD(ξ)≠0.這就證明了對(duì)于任意的擴(kuò)張矩陣M∈Mn(R),μM,D是非譜測(cè)度,且在L2(μM,D)空間中至多存在1個(gè)μM,D正交指數(shù)函數(shù).定理證畢.

[1] Fuglede B. Commuting self-adjoint partial differential operators and a group theoretic problem[J]. J Funct Anal,1974,16:101-121.

[2] Jorgensen P E T, Pedersen S. Dense analytic subspaces in fractalL2-spaces[J]. J Anal Math,1998,75(1):185-228.

[3] Laba I, Wang Yang. On spectral Cantor measures[J]. J Funct Anal,2002,193:409-420.

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