關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量的全概公式及其應(yīng)用

陳敏瓊

(中山大學(xué) 新華學(xué)院，廣東 廣州 510520)

1 全概公式簡介

1.1 事件型全概公式

設(shè)A1,A2,…為概率空間(Ω,F,P)的一個(gè)劃分，則?B∈F，有全概公式：

(1)

該公式用于當(dāng)B的發(fā)生依賴于多個(gè)因素A1,A2,…，且在不同因素Ai下B發(fā)生的概率P(B|Ai)(i=1，2，…)易求時(shí)采用.

1.2 離散型隨機(jī)變量的全概公式

對于離散型隨機(jī)變量X,Y，設(shè)X的狀態(tài)空間為S1={x1,x2,…,xi,…}，Y的狀態(tài)空間為S2={y1,y2,…,yj,…}，由于?y∈S2，i=1,2,…,(Y=y),(X=xi)∈F,故有

(2)

稱式(2)為關(guān)于離散型隨機(jī)變量的全概公式.

1.3 連續(xù)型隨機(jī)變量的全概公式

為得到關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量的全概公式，先看條件數(shù)學(xué)期望的定義：

1)設(shè)X，Y為離散型隨機(jī)變量，狀態(tài)空間分別為S1={x1,x2,…,xi,…},S2={y1,y2,…,yj,…}，定義E(X|Y)為X關(guān)于Y的條件期望，滿足

i)E(X|Y)為Y的函數(shù)；

QPSO算法將三維平面通過坐標(biāo)投影轉(zhuǎn)化成二維平面坐標(biāo)來處理，其生成的路徑為二維平面上的路徑優(yōu)化問題求得的最優(yōu)解；而HBA算法可以直接在三維平面上尋求一條最優(yōu)路徑，不但能在二維平面上尋優(yōu)，而且能夠在三維上通過越過障礙物的上方來尋求最優(yōu)路徑。由圖6和圖7可以看出，QPSO算法所得的路徑比HBA所得的路徑要長，通過距離比較，HBA所得到的飛行路徑最短，故該仿真實(shí)驗(yàn)證實(shí)了UAV+RFID路徑規(guī)劃的有效性。

ii) 當(dāng)Y=y時(shí)，其取值為

2) 設(shè)X，Y為連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)，定義E(X|Y)為X關(guān)于Y的條件期望，滿足

i)E(X|Y)為Y的函數(shù)；

ii) 當(dāng)Y=y時(shí)，其取值為

無論X,Y是離散型還是連續(xù)型隨機(jī)變量，條件數(shù)學(xué)期望E(X|Y)都有一重要性質(zhì)：

E[E(X|Y)]=EX[1].

以連續(xù)型為例，事實(shí)上由于E(X|Y)為隨機(jī)變量Y的函數(shù)，故有

(3)

故?D?R，有公式

(4)

成立，稱式(4)為關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量的全概公式.

2 全概公式應(yīng)用舉例

下面舉例說明關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量的全概公式在概率求解中的簡便應(yīng)用.

例1[2]19設(shè)X,Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布函數(shù)分別為FX(x)、FY(y)，設(shè)Z=X+Y，試求Z的分布.

解設(shè)Z的分布函數(shù)為FZ(z)，則?z∈R有

即X+Y的分布函數(shù)為X的分布函數(shù)與Y的分布函數(shù)的卷積.

例2[2]42設(shè)X,Y為連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率密度為f(x,y)，邊緣概率密度分別為fX(x),fY(y)(fX(x),fY(y)>0)，分布函數(shù)分別為FX(x)、FY(y)，證明：

f(x,y)=fX(x)·fY(y)??x,y∈R,P(Y≤y|X=x)=F(y)(F(y)為關(guān)于y的單調(diào)不減函數(shù))．

析在概率論里面，定義兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量X,Y的獨(dú)立性，是通過當(dāng)聯(lián)合概率密度f(x,y)滿足條件

f(x,y)=fX(x)·fY(y)

(①)

來定義，該定義形式上與兩事件A,B相互獨(dú)立條件P(AB)=P(A)P(B)相似，但事件相互獨(dú)立的條件P(AB)=P(A)P(B)易知與P(B|A)=P(B)條件等價(jià)，該等價(jià)條件符合筆者對“獨(dú)立性”的直觀理解即事件A的發(fā)生對事件B的發(fā)生不產(chǎn)生任何影響.在此直觀意義下，希望兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量X,Y的獨(dú)立性條件亦符合直觀意義上理解的“獨(dú)立性”，即Y的分布與X取值無關(guān)，寫成式子即要求

?x,y∈R,P(Y≤y|X=x)=F(y)(F(y)為關(guān)于y的單調(diào)不減函數(shù)).

(②)

下證明條件(①)與(②)等價(jià).

②?①：由于?x,y∈R,P(Y≤y|X=x)=F(y)，故由式(4)得

例3(浦豐Buffon問題)[3]在平面上畫有平行線束，兩條相鄰的平行線間的距離均為a，向此平面隨機(jī)投擲一枚長度為l(l>a)的針，試求此針與某一平行線相交的概率.

解設(shè)X為此針下端與其下面最近的平行線之間的距離，則顯然X～U(0,a)；又設(shè)α為此針與平行線之間的夾角(見圖1)，則易知α～U(0,π)，且由于投擲的隨機(jī)性知X,α相互獨(dú)立，記事件D={此針與某一平行線相交}，則由式(4)得

圖1 浦豐問題示意圖

P(D)=P(lsinα>a-X)=

[1] 林元烈．應(yīng)用隨機(jī)過程[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2008：15-23.

[2] 張波，商豪．應(yīng)用隨機(jī)過程[M]．2版.北京：中國人民大學(xué)出版社，2009．

[3] 汪仁官．概率論引論[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2000：10-11．