非負Ricci曲率緊致帶邊流行的剛性

吳筱怡,徐慧群

(杭州師范大學 理學院，浙江 杭州 310036)

0 引 言

在文獻[1]中，作者研究了非負Ricci曲率緊致帶邊流形的剛性，得到如下結(jié)果：

定理A設Ω是(n+1)維具有非負Ricci曲率下界k≥0的緊致帶邊黎曼流形，非空邊界M=?Ω上有Ω的誘導度量，假設M的主曲率≥c>0，則λ1(M)≥nc2．

筆者改進了上述結(jié)果，得到如下結(jié)論：

1 預備知識

設Ω是帶邊界M=?Ω的n+1維黎曼流形，f是定義在Ω上光滑到邊界M上的函數(shù)．記

(1)

設{e1,…,en-1,en}是局部幺正標架，q∈?Ω，e1,…,en-1切于?Ω，en是外法向量．記

(2)

定義第二基本形式

(3)

平均曲率

(4)

文獻[2]中有下列Reilly公式：

(5)

其中Ric(,)是Ω的Ricci張量．

2 定理的證明

定理的證明

設z是M上對應于特征值λ1的第一特征函數(shù)，即

Δz=-λ1z，

(6)

其中λ1=λ1(M)．

令f是下面Dirichlet問題的解：

(7)

由式(5)得到

(8)

則有

(9)

由式(6)，得到

(10)

所以有

(11)

再由于

(12)

則有

(13)

從而

(14)

即

定理得證．

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