碳納米管中晶格波的研究

孫曉霞, 王春華

(合肥工業(yè)大學電子科學與應用物理學院,安徽合肥 230009)

自1991年碳納米管在實驗室首次合成以來[1],由于其特有的電學性質(zhì)和力學性質(zhì)而受到廣泛關注。通過對碳納米管中的集體激發(fā)模式(高頻電子波和低頻離子波)的研究可以揭示碳納米管的相關結(jié)構(gòu)和電學性質(zhì)[2-6]。

由于碳納米管的電學性質(zhì)手征特性不同,它既可以顯金屬性,也可以顯半導體性[7]。但金屬和半導體性質(zhì)的碳納米管結(jié)構(gòu)都可以當作等離子體來處理。文獻[2]采取“隨機相位近似”的方法對碳納米管中的波進行了研究,發(fā)現(xiàn)既有光學支波模,又有聲學支波模 。文獻[3,4]采用流體力學模型研究了單壁碳納米管中的等離子體波。

碳納米管是一個微納米結(jié)構(gòu)系統(tǒng)[1],當其中荷電粒子的德布羅意波長和粒子間距可比擬時,粒子的量子效應將不可忽略。文獻[8]建立了量子等離子體流體力學模型。文獻[5]采用量子等離子體流體力學模型分析了單壁碳納米管中的離子聲波的色散關系,并發(fā)現(xiàn)離子聲波的頻率在長波段對碳納米管的半徑有很強的依賴關系。文獻[6]采用量子等離子體流體力學模型對金屬性碳納米管中更低頻的靜電振蕩模式進行了研究。

定義系統(tǒng)中粒子之間相互作用的平均勢能與平均動能的比值為耦合參數(shù)。系統(tǒng)若為弱耦合系統(tǒng),表現(xiàn)為氣態(tài)或液態(tài);強耦合系統(tǒng),則表現(xiàn)為固態(tài)。文獻[9]在實驗室中成功地分離出單根管壁為正六邊形格子的單壁碳納米管晶體,說明碳納米管是一個強耦合系統(tǒng)。這樣,把碳納米管當作弱耦合系統(tǒng)采用流體模型是不準確的。本文考慮量子效應,采用強耦合量子等離子體晶格模型,對碳納米管中的晶格波進行研究,給出并討論晶格波的色散關系,然后對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析。

1 模型的建立和色散關系的推導

當研究的空間尺度相對較大時,假設碳納米管是一維無限長的,管壁的半徑足夠小。這樣可以把碳納米管等效成一維晶格鏈,粒子均勻分布在晶格鏈上,且一維晶格鏈存在于真實的三維空間。規(guī)定碳納米管是沿著x方向,晶格點上粒子(離子)所帶電荷為Q、質(zhì)量為M,粒子之間的距離為a?？紤]量子效應,引入庫侖屏蔽勢,位于(x,y,z)的粒子在空間中任一點(x0,y0,z0)處產(chǎn)生的電勢為[10]:

在晶格鏈中,位于(X0,0,0)處的粒子滿足的運動方程為:

采用經(jīng)典等離子體晶格中晶格波的處理方法[11,12],取擾動(ξ,η,ζ)=(ξ0,η0,ζ0)exp(ikX-iω t),對(2)式進行線性化和傅立葉變換,并且歸一化:(x,y,z,r)/a→(X,Y,Z,R),(ω,Ω)/ω0→(ω,Ω),其中 ω0=Q/(Ma3)1/2,得到碳納米管中晶格波色散關系的一般表達式為:

其中 ,F(X,Y,Z)=R-5e-κR{3X2[1+κ R(1+tanh κ R)]-R2[1+κ R(1+tanh κ R)-2κ2X2×tanh κ R]}cos κ R;R=(X2+Y2)1/2;κ=a/λ為屏蔽參數(shù)。

2 討 論

2.1 色散關系分析

為方便分析,只考慮自激發(fā)模式,即晶格波是由于系統(tǒng)本身微小擾動如密度梯度、溫度梯度等引起的。因此,波數(shù)k是實數(shù)。這樣,色散關系(3)式、(4)式進一步化簡為:

根據(jù)(5)式、(6)式,給出色散關系如圖1所示。從圖1可見,縱波具有聲學波的性質(zhì),而橫波具有高頻光學波的性質(zhì)。在長波段區(qū)域(k→0),橫波呈負色散關系,即隨著波數(shù)增加,頻率減小。

在屏蔽參數(shù)κ取值一定的情況下,當外界約束不夠強的時候,縱波和橫波是耦合在一起的,如圖1a、圖1b所示;當約束強度達到一定程度以后,便會出現(xiàn)能隙結(jié)構(gòu),如圖1c、圖1d所示。并且能隙的大小和約束強度成正比。

2.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

從晶格波色散關系的角度出發(fā)對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析。對自激發(fā)情形,如果頻率 ω是虛數(shù),即ω2＜0,系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定性。對比縱波與橫波會發(fā)現(xiàn),在外界約束下,橫波將很難出現(xiàn)不穩(wěn)定性。因此,只對縱波進行穩(wěn)定性分析。將縱波的色散關系(5)式改寫為:考慮到帶電粒子在空間產(chǎn)生的電勢隨距離衰減較快,只需考慮相鄰粒子之間的相互作用即可。對(7)式,只要為負時即出現(xiàn)不穩(wěn)定性,而它的值依賴于屏蔽參數(shù)κ,-κ的關系如圖2所示。

在剩下的2個穩(wěn)定的區(qū)域,即 0＜κ＜2.80和κ＞6.12,的變化趨勢都是相同的,先是增大,然后經(jīng)過一個最高點后一直減小到0,2個最高點對應的κ值分別為:0.79(圖2中 A點)和7.07(圖2中D點)。晶格波色散關系將依賴屏蔽參數(shù)κ值的大小,如圖3所示。由圖3可見,隨著屏蔽參數(shù)κ的增大縱波的頻率減小,橫波的頻率增加。

圖1 κ=1.0,不同共振頻率Ω下縱波(實線)和橫波(虛線)的ω-k色散關系

圖2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

圖3 縱波和橫波的色散關系,Ω=3.5

3 結(jié)束語

本文采用強耦合量子等離子體晶格鏈模型研究了一維碳納米管中的晶格波,可得如下結(jié)論:

(1)通過色散關系分析,發(fā)現(xiàn)碳納米管中縱波具有聲學波性質(zhì),橫波具有高頻光學波性質(zhì)。

(2)橫波的色散關系依賴外界的約束,弱約束時,縱波和橫波是耦合在一起的;約束足夠強時,2種波的色散關系曲線分離產(chǎn)生能隙,且能隙的大小與外界的約束強度成正比。

(3)討論了碳納米管系統(tǒng)的穩(wěn)定性,發(fā)現(xiàn)在特定的屏蔽參數(shù)區(qū)內(nèi),縱波不再穩(wěn)定,系統(tǒng)將發(fā)生相變而融化,即由固態(tài)變?yōu)橐簯B(tài),在穩(wěn)定的屏蔽參數(shù)區(qū)內(nèi),晶格波的色散關系依賴于屏蔽參數(shù)的大小。

本文的理論結(jié)果對實驗室中碳納米管的制備有一定的參考價值和理論指導意義。而且,通過對比色散關系和實驗數(shù)據(jù),可以間接測量碳納米管的系統(tǒng)參數(shù)。

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