分形的意義及應(yīng)用

李雙雙，李 探

中國礦業(yè)大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，江蘇徐州 221116

1 分形的介紹

1.1 定義

分形(Fractal)是指具有自相似特性的現(xiàn)象、圖像或者物理過程等。分形學(xué)誕生于1970年代中期，屬于現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一個(gè)分支。分形一般有以下特質(zhì)：

1）分形有無限精細(xì)的結(jié)構(gòu)，即有任意小比例的細(xì)節(jié)；

2）分形從傳統(tǒng)的幾何觀點(diǎn)看如此不規(guī)則，以至于難以用傳統(tǒng)的幾何語言來描述；

3）分形有統(tǒng)計(jì)的或近似的自相似的形式；

4）分形的維數(shù)(可以有多種定義)大于其拓?fù)渚S數(shù)；

5）分形可以由簡單的方法定義，例如迭代。

1.2 來源

fractal一詞源于拉丁文形容詞fractus，對應(yīng)的拉丁文動詞是frangere（“破碎”、“產(chǎn)生無規(guī)碎片”）。此外，與英文的fraction（“碎片”、“分?jǐn)?shù)”）及fragment（“碎片”）具有相同的詞根。在70年代中期以前，曼德勃羅一直使用英文fractional一詞來表示他的分形思想。因此，取拉丁詞之頭，擷英文之尾的fractal，本意是不規(guī)則的、破碎的、分?jǐn)?shù)的。曼德勃羅是想用此詞來描述自然界中傳統(tǒng)歐幾里德幾何學(xué)所不能描述的一大類復(fù)雜無規(guī)的幾何對象。例如，彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無常的浮云，九曲回腸的河流，縱橫交錯(cuò)的血管，令人眼花僚亂的滿天繁星等。它們的特點(diǎn)是，極不規(guī)則或極不光滑。直觀而粗略地說，這些對象都是分形。

1.3 分形的種類

逃逸時(shí)間系統(tǒng)：復(fù)迭代的收斂限界。例如：Mandelbrot集合、Julia集合、Burning Ship

分形迭代函數(shù)系統(tǒng)：這些形狀一般可以用簡單的幾何“替換”來實(shí)現(xiàn)。例如：康托集合、Koch雪花、謝爾賓斯基三角形、Peano曲線等等。

吸引子：點(diǎn)在迭代的作用下得到的結(jié)構(gòu)。一般可以用微分方程確立。例如：Lorenz吸引子。

2 分形的意義

2.1 分形幾何的基本思想

1）客觀事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時(shí)間、空間等方面具有統(tǒng)計(jì)意義的相似性；

2）分?jǐn)?shù)維是刻劃分形的特征量。

2.2 分形幾何與歐氏幾何的比較

描述對象 特征長度 表達(dá)方式 維數(shù)分形幾何 大自然創(chuàng)造的復(fù)雜的真實(shí)物體 無 迭代語言 一般是分?jǐn)?shù)歐氏幾何學(xué) 人類創(chuàng)造的簡單的標(biāo)準(zhǔn)物體 有 數(shù)學(xué)公式 0或正整數(shù)

3 分形的應(yīng)用

3.1 運(yùn)用分形的方法研究金融市場

分形的理論和方法是用來研究復(fù)雜事物的，是目前為止人類所能找到的最新的和最好的方法，也是相對簡單的方法。而金融市場是人類經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域最為復(fù)雜的市場，在分形的觀念出現(xiàn)之前，所有的方法因?yàn)榫€性的致命局限而從未達(dá)到市場的實(shí)質(zhì)，人們只能在摸索中一步步探索市場的奧秘。分形的理論出現(xiàn)之后，人們終于可以向復(fù)雜事物的內(nèi)部前進(jìn)，可以更好地認(rèn)識金融市場。

3.2 將分形應(yīng)用與醫(yī)學(xué)

分形還能用于描述和預(yù)示不同生態(tài)系統(tǒng)的演化，有一些科學(xué)家認(rèn)為分形幾何有助于他們理解被觀察的正?；罴?xì)胞的結(jié)構(gòu)和組成癌組織的病細(xì)胞的結(jié)構(gòu)。所以通過建立與健康的或患病的組織相像的分形生長模型，科學(xué)家們也能夠了解存在于基因密碼的控制生長的信息，以及如果這種生長結(jié)果的信息被破壞時(shí)，癌組織是如何發(fā)展的。

3.3 研究分形建筑陶瓷紋樣、分形紡織紋樣設(shè)計(jì)及其印染工藝

長沙馬王堆漢墓出土的紡織品圖案紋樣很令人吃驚，圖案設(shè)計(jì)大膽豪邁、熱情奔放、生動流暢、不規(guī)則之中隱藏著高度的規(guī)則性、復(fù)雜的對稱代替了簡單的幾何對稱。這分明具有分形圖形的氣勢、風(fēng)格。

3.4 設(shè)計(jì)分形時(shí)裝

現(xiàn)代西方時(shí)裝重色彩、質(zhì)料而輕圖案裝點(diǎn)，而各國傳統(tǒng)民族服裝則正相反。對幾何紋樣的態(tài)度似乎是，西方重不規(guī)則、非對稱圖案，而各國傳統(tǒng)服裝重規(guī)則、對稱圖案(特別是伊斯蘭社會)。

4 結(jié)論

分形理論既是非線性科學(xué)的前沿和重要分支，又是一門新興的橫斷學(xué)科。作為一種方法論和認(rèn)識論，其啟示是多方面的：一是分形整體與局部形態(tài)的相似，啟發(fā)人們通過認(rèn)識部分來認(rèn)識整體，從有限中認(rèn)識無限；二是分形揭示了介于整體與部分、有序與無序、復(fù)雜與簡單之間的新形態(tài)、新秩序；三是分形從一特定層面揭示了世界普遍聯(lián)系和統(tǒng)一的圖景。它的應(yīng)用將越來越廣泛。

[1]李水根.分形.北京:高等教育出版社,2004.

[2]譚芳.分形幾何的價(jià)值與研究.

[3]Mandelbrot.B.B,1982,The Fractal Geometry of Nature,San Francisco,Freeman.