教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力

侯衛(wèi)民

數(shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)邏輯性的特點(diǎn),邏輯推理能力應(yīng)該是學(xué)生必須具有的基本數(shù)學(xué)能力之一。數(shù)學(xué)中的邏輯推理能力是指正確地運(yùn)用思維規(guī)律和形式對數(shù)學(xué)對象的屬性或數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析綜合、推理證明的能力。那教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力呢?

一、重視基本概念和基本原理的教學(xué)

數(shù)學(xué)知識中的基本概念、基本原理和基本方法是數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心內(nèi)容?；靖拍?、基本原理一旦為學(xué)生所掌握,就成為進(jìn)一步認(rèn)識新對象,解決新問題的邏輯思維工具。如果沒有系統(tǒng)的科學(xué)概念和原理的掌握作為前提,要進(jìn)行分析、判斷、推理等思維活動是困難的。

二、結(jié)合具體數(shù)學(xué)內(nèi)容講授一些必要的邏輯知識

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,結(jié)合具體數(shù)學(xué)內(nèi)容講授一些必要的邏輯知識,是學(xué)生能運(yùn)用它們來進(jìn)行推理和證明。培養(yǎng)學(xué)生的推理能力,必須掌握邏輯的同一律、矛盾律、排中律和充足理由律等基本規(guī)律。教師應(yīng)該結(jié)合數(shù)學(xué)的具體教學(xué)幫助學(xué)生掌握這些基本規(guī)律,使他們明了不能偷換概念和論題。要使學(xué)生懂得論斷不能自相矛盾,在同一關(guān)系下對同一對象的互相矛盾的判斷至少有一個是錯誤的;論斷不得含糊其詞,模棱兩可,在同一關(guān)系下,對同一對象的判斷或者肯定或者否定,不能有第三種情況成立。在數(shù)學(xué)證明過程中,必須步步有根據(jù),每得到一個結(jié)論必須有充足的理由。

三、有計(jì)劃、有步驟地進(jìn)行邏輯推理的訓(xùn)練

數(shù)學(xué)推理既具有推理的一般性,又具有其特殊性。其特殊性主要表現(xiàn)在兩方面。其一,數(shù)學(xué)推理的對象是數(shù)學(xué)表達(dá)式、圖形中的元素符號、邏輯符號等抽象事物,而不是日常生活經(jīng)驗(yàn);其二,數(shù)學(xué)推理過程是連貫的,前一個推理的結(jié)論可能是下一個推理的前提,并且推理的依據(jù)必須從眾多的公理、定理、條件、已證結(jié)論中提取出來。數(shù)學(xué)推理的這些特性會給學(xué)生在推理論證的學(xué)習(xí)中帶來困難。有關(guān)心理實(shí)驗(yàn)表明;初一學(xué)生已初步掌握了普通邏輯的基本規(guī)律和某些推理形式,但必須依賴于生活經(jīng)驗(yàn)的支撐。例如他們從“爸爸比媽媽高,媽媽比我高”的前提很容易推出“我比爸爸矮”的結(jié)論,但有些剛學(xué)習(xí)不等式的學(xué)生從“∠A>∠B, ∠B>∠C”的前提推得“∠C<∠A”的結(jié)論卻感到困難。由此可以看到,他們雖已初步掌握了普通邏輯基本規(guī)律和某些推理形式,但對于數(shù)學(xué)推理,如果不經(jīng)過有計(jì)劃、有步驟的訓(xùn)練和培養(yǎng),學(xué)生是難以掌握這種新的嚴(yán)密的推理方法的。

1.在代數(shù)學(xué)習(xí)中,重視說理性練習(xí)。教師在教學(xué)中要注意把運(yùn)算步驟和理論依據(jù)結(jié)合起來,是學(xué)生不僅知其然,而且知其所以然。同時可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼f理性訓(xùn)練,這樣做可以使學(xué)生在說理的過程中養(yǎng)成尋找理由、言必有據(jù)的習(xí)慣。

例如,解方程(2x+1)-1=(5-x),并寫出解方程的步驟和每一步的依據(jù)。

解:去分母,2(2x+1)-6=3(5-x),(等式性質(zhì))

去括號,4x+2-6=3(5-x),(分配律)

移項(xiàng),4x+3x=15+6-2,(等式性質(zhì))

合并同類項(xiàng),7x=19,(分配律)

兩邊同除以x的系數(shù),x= (等式性質(zhì))

在每一步運(yùn)算中明確運(yùn)算依據(jù),這實(shí)際上是尋找三段論推理中的大前提。初一學(xué)生通過這類練習(xí),就會對了解他們具有了感性認(rèn)識和初步體驗(yàn)。

再如,某汽車公司的汽車票價為單程票票價4元,周票票價為36元,張老師每星期一三五要乘汽車上班,搭朋友的車回家。問張老師應(yīng)該買周票嗎?請說明理由。

評析:該題目的是希望學(xué)生能說明一個清晰的推理過程中的依據(jù)。按照常規(guī)算法,張老師一個星期乘8次,買單程票需32元,而周票需36元,因此她不應(yīng)買周票。但從另一個角度考慮,她也可以買周票。其理由是如果她周末外出乘車至少8元以上,那么買單程票總花費(fèi)就多于36元,所以買周票能省錢。

這種類型的訓(xùn)練,可以從代數(shù)的運(yùn)算過渡到幾何推理打下良好的基礎(chǔ)。

2.在平面幾何教學(xué)中有層次地進(jìn)行推理技能的訓(xùn)練。平面幾何教學(xué)的任務(wù)之一,就是要訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的推理技能,發(fā)展邏輯推理能力。對于推理論證技能的培養(yǎng),一般可分幾個階段有層次地進(jìn)行。

第一階段:通過直線、線段、角等基本概念的教學(xué),使學(xué)生能根據(jù)直觀圖形,言必有據(jù)地作出判斷。

第二階段:通過相交線與平行線以及三角形有關(guān)概念的數(shù)學(xué),使學(xué)生能根據(jù)條件推出結(jié)論,會說出每一步論證的理由和依據(jù),能用數(shù)學(xué)符號寫出一個命題的條件和結(jié)論,初步掌握證明的步驟和書寫格式。

第三階段:在“全等三角形”學(xué)習(xí)之后,學(xué)生已積累了較多的概念、性質(zhì)、定理,此時可以進(jìn)行完整的推理論證的訓(xùn)練。通過命題證明,要求學(xué)生根據(jù)題目中條件與待證結(jié)論進(jìn)行分析探索,建立一條連接條件與結(jié)論的邏輯通道,從而逐漸掌握推理技能。

第四階段:在學(xué)生已初步掌握技能技巧的基礎(chǔ)上,通過較復(fù)雜問題的求證,幫助學(xué)生掌握尋找證明途徑的各種方法,以發(fā)展邏輯推理能力。

四、教學(xué)中重視探究過程的揭示

許多數(shù)學(xué)真知是人類漫長歷史智慧結(jié)晶,其中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和思維方法。這些數(shù)學(xué)思想和方法常凝結(jié)在基本概念和基礎(chǔ)理論之內(nèi),蘊(yùn)含于解題過程之中,成為數(shù)學(xué)知識的一個重要組成部分。教師在講授這些概念和知識時,如果注意揭示其中的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思考方法,無疑會有助于學(xué)生正確的認(rèn)知方式的形成,有利于推理能力的培養(yǎng)。

總之,中學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)很重要,是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心能力之一。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,教師應(yīng)盡可能地將自己的思維活動過程清晰地呈現(xiàn)給學(xué)生,使他們在聽課的過程中能看到教師是怎樣地思考問題的。教師的這種示范作用對幫助學(xué)生形成正確的認(rèn)知方式和提高推理能力將會起到很好的影響。