再析彎折離散傅里葉變換全通函數(shù)

羅小東， 舒 勤

0 引言

文獻(xiàn)[1]詳盡分析了彎折離散傅里葉變換在彎折參數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí)的全通系統(tǒng)函數(shù)，論證了在實(shí)數(shù)情況下，無法實(shí)現(xiàn)采樣點(diǎn)隨彎折參數(shù)而改變。本文承接其后，運(yùn)用零極點(diǎn)分解法具體分析了彎折參數(shù)為復(fù)數(shù)情況下的全通函數(shù)。

1 彎折離散傅里葉變換基本原理

WDFT[2]實(shí)質(zhì)上是一類特殊的非均勻離散傅里葉變換NDFT（Nonuniform Discrete Fourier Transform），它是利用全通彎折函數(shù)AWF(Allpass Warping Function)將單位圓上均勻分布的采樣點(diǎn)，變換成非均勻分布的采樣點(diǎn)，通過選擇適當(dāng)階次的全通函數(shù)[3-4]AWF（Allpass Warping Function）及其彎折參數(shù)來達(dá)到所希望的非均勻采樣，從而使所選定的重要的頻率范圍內(nèi)精度提高，不重要的頻率范圍內(nèi)精度降低，達(dá)到不增加采樣數(shù)目N便可提高系統(tǒng)分析精度的目的。系統(tǒng)的理論框圖見圖1。

設(shè)序列 []xn的長(zhǎng)度為N，其Z變換和DFT變換分別為：

圖1 WDFT系統(tǒng)的理論框圖

比較上面二式可得關(guān)系式：

考慮M階AWF的形式：

其中 A (z?)是關(guān)于 z?-1的M階多項(xiàng)式，A(z?-1)是關(guān)于z?的M階多項(xiàng)式。

在z?平面單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣得到WDFT變換：

Xω(z? )在z?平面單位圓上均勻采樣，由于通過全通濾波器所以在z平面單位圓上成為非均勻采樣[5]。

從而全通映射函數(shù)為：

當(dāng)2M=，兩極點(diǎn)12,ρρ互為共軛時(shí)，此映射函數(shù)與文獻(xiàn)[3]中所提及的實(shí)數(shù)彎折參數(shù)映射函數(shù)是一致的。

2 全通函數(shù)分析

通過這種全通變換可以將頻率坐標(biāo)彎折，在?z平面單位圓上均勻分布的點(diǎn)被映射到 z平面單位圓上的非均勻分布點(diǎn)。記。則：

兩邊同取對(duì)數(shù)有：

從而：

此式表明了頻率彎折前后的角頻率關(guān)系。取單極點(diǎn)和多極點(diǎn)分別仿真，結(jié)果如圖2、圖3所示（其中單極點(diǎn)為多極點(diǎn)分別為。后文仿真條件相同）。

由仿真圖可以看出：在彎折參數(shù)幅角處，彎折曲線斜率較大，表明頻率變化較快。

對(duì)式（10）進(jìn)一步分析有兩邊同微分化簡(jiǎn)既得：

對(duì)上式進(jìn)行化簡(jiǎn)處理有：因?yàn)閞i＜1且 ri→1可記為ri=1-εi其中εi＞0且εi→0，則:

故（11）式可化簡(jiǎn)為：

圖2 單極點(diǎn)頻率彎折關(guān)系圖

圖3 多極點(diǎn)頻率彎折關(guān)系圖

對(duì)上式單極點(diǎn)和多極點(diǎn)分別仿真有：

對(duì)χ進(jìn)行數(shù)學(xué)分析有：

① 比較圖4、下頁(yè)圖5可得出：對(duì)于不同的極點(diǎn)，其采樣間距相互間影響較小，可忽略不計(jì)。故在每個(gè)極點(diǎn)的幅角處，頻率彎折前后比值最大，表明二者采樣距離差距最大，頻率彎折最為明顯；

③ 有仿真圖6可得出：當(dāng)極點(diǎn)幅值相同時(shí)，在每一個(gè)極點(diǎn)幅角處=χ的值基本相同。而在兩個(gè)周期內(nèi)（甚至更多周期），其他頻點(diǎn)處，=χ都沒有達(dá)到峰值。表明彎折點(diǎn)?只和各階極點(diǎn)幅角有關(guān)，而與他們的組合疊加沒有關(guān)系。

圖4 頻率彎折前后采樣距離比（單極點(diǎn)情況）

圖5 頻率彎折前后采樣距離比（多極點(diǎn)情況）

圖6 頻率彎折前后采樣距離比（多極點(diǎn)多周期情況）

3 結(jié)語(yǔ)

通過對(duì)WDFT全通函數(shù)零極點(diǎn)分析，發(fā)現(xiàn)對(duì)于WDFT全通函數(shù)，在每一個(gè)極點(diǎn)幅角處，頻率彎折前后，采樣間距比值最大，表明頻率彎折最為明顯，可以實(shí)現(xiàn)通過調(diào)節(jié)彎折參數(shù)來改變彎折點(diǎn)的功能。對(duì)于高階系統(tǒng)，每一階彎折參數(shù)均可實(shí)現(xiàn)對(duì)彎折點(diǎn)的調(diào)節(jié)。

[1] 羅小東,舒勤,李廣悅.彎折離散傅里葉變換的全通系統(tǒng)函數(shù)分析[J].通信技術(shù),2009,42(07)：290-292.

[2] Cho N 1,Mitra S K. Warped Discrete Cosine Transform and Its Application in Image Compression[J]. IEEE Trans. Circuits Syst. Video Technol, 2000,10(08)：1364-1373.

[3] Markur A, Mitra S K. Warped Discrete Fourier Transform： Theory and Applications[J]. IEEE Trans.2001,48(09)：1086-1093.

[4] Franz S, Mitra S K, Schmidt J C. Warped Discrete Fourier Transform： A New Concept in Digital Signal Processing[C].USA：IEEE, 2002：1205-1208.

[5] Venkataramanan,Prabhu K. Estimation of Frequency Offset Using Warped Discrete-Fourier Transform[J]. Signal Processing,2006(07)：250-256.

[6] 馬晴,舒勤.彎折離散傅里葉變換的研究和應(yīng)用[D]. 四川：四川大學(xué),2008.