利用向量方法探求“線性回歸方程”新路，并用“Scilab”新工具驗(yàn)證

蘇艷華，史秀英

（1.沈陽(yáng)大學(xué)理學(xué)院，遼寧沈陽(yáng)110044；2.赤峰學(xué)院繼續(xù)教育部，內(nèi)蒙古赤峰024000）

利用向量方法探求“線性回歸方程”新路，并用“Scilab”新工具驗(yàn)證

蘇艷華1，史秀英2

（1.沈陽(yáng)大學(xué)理學(xué)院，遼寧沈陽(yáng)110044；2.赤峰學(xué)院繼續(xù)教育部，內(nèi)蒙古赤峰024000）

本文把高中課本中向量的有關(guān)概念作了推廣，利用向量方法探求“線性回歸方程”新路，并用“Scilab”新工具驗(yàn)證.

向量方法；線性回歸方程；Scilab

本文推廣了高中課本中向量有關(guān)概念，然后利用向量方法探求“線性回歸方程”新路，并用“Scilab”新工具給予驗(yàn)證.

1 向量有關(guān)概念的推廣

在平面解析幾何中，兩個(gè)點(diǎn)A和B間的距離等于以點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)向量O!"A，O!"B的端點(diǎn)之間的距離，這個(gè)長(zhǎng)度就是兩個(gè)向量O!"A，O!"B的差O!"A-O!"B的模，它也可以理解為兩個(gè)向量O!"A，O!"B的距離.那么在空間兩個(gè)向量的距離不妨也可以類似定義：

定義1設(shè)α與β是空間任意兩個(gè)向量，|α-β|稱為向量α和β的距離，記為d(α,β).

在平面向量中我們學(xué)過平行（共線）向量的概念，對(duì)于空間向量，不難理解任何兩個(gè)向量都是共面的，共面向量我們不妨這樣定義：

定義2在空間中存在一個(gè)向量β若與一個(gè)向量集合W中的每一個(gè)向量都垂直，則稱向量集合W中的向量共面.

定義3上面集合W中的每一個(gè)向量經(jīng)過平移后都能平移到某一個(gè)平面α中，平面α與向量集合W的并集稱為向量平面L，在滿足定義2的條件下，稱向量β垂直于向量平面.

在立體幾何中，平面外一點(diǎn)到平面內(nèi)一點(diǎn)的距離，連接兩點(diǎn)的線段與該平面垂直時(shí)距離最短，由此不難想到：

結(jié)論在空間向量中的一個(gè)向量β到一個(gè)向量平面L中一向量α的距離，當(dāng)向量α-β與向量平面L垂直時(shí)最短.

先設(shè)向量平面為L(zhǎng)，它是由若干向量α1,α2,…,αk所生成，表示為

L（α1,α2,…,αk），設(shè)α是L中的向量，如圖1.

分析可知：若向量α-β垂直于向量α，則有|α-β|≤|αi-β|.

圖1

在人教版B版第二冊(cè)教材“閱讀材料”第51頁(yè)“向量概念的推廣”中，將向量空間擴(kuò)充到了n維，因此猜想有以下結(jié)論成立.

結(jié)論1在n維空間中上面的三個(gè)定義仍然成立，且在n維空間中兩個(gè)向量垂直，則有這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0.

結(jié)論2在n維空間中的一個(gè)向量β到一個(gè)向量平面L中一向量α的距離，當(dāng)向量α-β與該向量平面L垂直時(shí)最短.

2探求“線性回歸方程”新路

下面分析人教版第一章第六節(jié)“線性回歸”中的例題：一個(gè)工廠在某年里每月產(chǎn)品的總成本y（萬元）與該月產(chǎn)量x（萬元）之間有如下一組數(shù)據(jù)(如表1)：

表1

（1）畫出散點(diǎn)圖（2）求月總成本與月產(chǎn)量之間的回歸方程.

通過圖形分析可以看出兩個(gè)數(shù)量關(guān)系接近直線關(guān)系，下面用向量的方法求解

解：設(shè)求出的方程為y=bx+a，即a+bx-y=0

列出表2：

i由此根據(jù)以上給出的數(shù)據(jù)可以構(gòu)造以下方程組

下面求a，b使最小即可.

表2

由以上的猜想，構(gòu)造向量β=（y1,y2,y3,……，y12），可以設(shè)一個(gè)向量集合W，構(gòu)造向量α=（a+bx1,a+bx2,a+bx3,……a+bx12）∈W.

向量集W中的向量是否共面，還不知道，若不共面就不能用以上的結(jié)論處理，在這里可以先做一個(gè)假設(shè)，設(shè)W中的向量共面，它們的向量平面為L(zhǎng)，這樣要使（1）式最小只要使|β-α|2取最小值即可，即在共面向量W中找一個(gè)向量α0=（a0+b0x1,a0b0x2,……,a0b0x12），使得向量β-α0與平面向量L中的任何一個(gè)向量都垂直，即（β-α0）·W=0.

所以每月的總成本與該月產(chǎn)量的關(guān)系近似方程可為: 0.9583+1.2283x-y=0，在這里因?yàn)檎业搅艘粋€(gè)向量與向量空間W中的任何向量都垂直，也間接證明了向量集合W共面.

3 “Scilab”新工具驗(yàn)證

Scilab是一個(gè)科學(xué)計(jì)算軟件，它主要有兩個(gè)功能：數(shù)值計(jì)算和計(jì)算結(jié)果可視化.在高中數(shù)學(xué)人教新教材B版的教材中，在算法的學(xué)習(xí)與算法思想的滲透等很多方面使用Scilab來體現(xiàn).下面就上面的問題在“Scilab”環(huán)境下通過算法的思想給予驗(yàn)證.

根據(jù)給出的數(shù)據(jù)可以在“Scilab”的“編輯”視窗下編寫以下的程序：

而后再到主窗口下運(yùn)行（將以上程序復(fù)制到主窗口）：并輸入輸入以下數(shù)據(jù)（x,

x1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.871.982.07 y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.263.363.50

〔1〕人民教育出版社課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)2（必修B版）.人民教育出版社，2007.

〔2〕人民教育出版社課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)2（選修Ⅱ）.人民教育出版社，2007.

〔3〕馬現(xiàn)嶺.讓scilab走進(jìn)高中數(shù)學(xué)教學(xué).人教網(wǎng)，2009-2-27.

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