一個高維加權(quán)幾何不等式

馬統(tǒng)一

(1. 河西學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 甘肅 張掖 734000; 2. 西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 蘭州 730070)

一個高維加權(quán)幾何不等式

馬統(tǒng)一

(1. 河西學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 甘肅 張掖 734000; 2. 西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 蘭州 730070)

利用距離幾何理論與嚴格的分析方法證明了一個高維加權(quán)幾何不等式, 推廣了文[1]建立的一個結(jié)果.

Euclidean空間; 質(zhì)點集; 單形; 體積; 幾何不等式

引言

本文建立如下結(jié)果:

定理1 對于中的質(zhì)點集設(shè)它的占有空間維數(shù)為則有

等式成立的充分必要條件為P是的重心.

推論1 若的占有空間為則有

等式成立的充分必要條件為P是的重心.

推論2 對于中的點集設(shè)它的占有空間維數(shù)為則

等式成立的充分必要條件為P是的重心.

推論3 對于歐氏空間中的質(zhì)點集是一賦予質(zhì)量的動點, 則

等式成立的充分必要條件為P是的重心.

等式成立的充分必要條件為P是單形的重心.

1 幾個引理

定義1中向量(0,…,0,1,0,…,0)稱為單位坐標向量, 記為中任取個k擴張成的維線性子空間稱為的k維坐標子空間.

引理1[1]設(shè)個點, 由它們構(gòu)成單形的維體積的平方等于它們在維坐kk標子空間的正投影所構(gòu)成單形的體積平方之和.

引理2 設(shè)中的質(zhì)點集占有的空間維數(shù)為的自變量P有唯一駐點.

證明設(shè)的坐標為由單形體積公式, 有

對其行列式用第一行減去第二行, 再按第一行展開, 得

2 定理的證明

再由(11)式即知推論1成立.

定理1及其推論有許多精彩的應(yīng)用, 限于篇幅, 將另撰文介紹.

[1] 劉 立, 周加農(nóng). 一個經(jīng)典不等式的高維推廣[J]. 數(shù)學(xué)季刊, 1988, 3(2): 99～103

[2] 張景中, 楊 路. 關(guān)于質(zhì)點組的一類幾何不等式[J]. 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報, 1981, 11(2): 1～8

[3] 馬統(tǒng)一. Veljan-Korchmaros型不等式的穩(wěn)定性[J]. 數(shù)學(xué)年刊, 2008, 29A(3): 399～412

[4] 蘇化明. 一類涉及兩個單形的不等式及應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)研究與評論, 1995, 15(3): 429～435

[5] 王衛(wèi)東. 單形內(nèi)任一點的一個含參不等式[J]. 數(shù)學(xué)雜志, 1999, 19(4): 391～396

[6] 馬統(tǒng)一. 關(guān)于高維單形的一個不等式及應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認識, 2000, 30(4): 508～512

[7] 冷崗松. 關(guān)于Gerber不等式的一個猜想[J]. 數(shù)學(xué)研究與評論, 1996, 16(4): 561～564

A Weighted High-Dimensional Geometric Inequality

MA Tong-yi
(1. Department of Mathematics, Hexi Institute, Zhangye 734000; 2. College of Mathematics and Information Technology, Northwest Normal University, Lanzhou 730070, China)

We use the distance geometric theory and rigorous analysis method to prove a weighted high-dimensional geometric inequality, which extends a known result in[1].

Euclidean space; set of particles; simplex; volume, geometric inequalities

O178

A

1672-5298(2010)03-0001-05

2010-05-29

國家自然科學(xué)基金資助項目(10971128); 甘肅省教育廳研究生導(dǎo)師基金資助項目( 0709-03)

馬統(tǒng)一(1959 - ), 男, 甘肅會寧人, 甘肅河西學(xué)院數(shù)學(xué)系教授. 主要研究方向: 凸幾何分析、距離幾何和離散幾何