小麥面粉指標(biāo)關(guān)系中的 Fuzzy非線性回歸問題

史本廣,許小艷,程 濤,匡國光

(河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,河南鄭州 450052)

小麥面粉指標(biāo)關(guān)系中的 Fuzzy非線性回歸問題

史本廣,許小艷,程 濤,匡國光

(河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,河南鄭州 450052)

小麥面粉指標(biāo)關(guān)系大都呈現(xiàn)一定的模糊性.利用 Fuzzy結(jié)構(gòu)元理論對小麥面粉指標(biāo)中的模糊關(guān)系進(jìn)行了分析,給出了一種處理模糊非線性關(guān)系的 Fuzzy非線性回歸模型,實(shí)例表明模型適用,既為處理模糊關(guān)系提供了一種新方法,也為小麥面粉的綜合研究提供參考.

面粉指標(biāo);模糊回歸;模糊數(shù);參數(shù)估計

0 前言

小麥面粉的質(zhì)量直接涉及國計民生,因此對小麥面粉的研究一直是有關(guān)部門所關(guān)心的問題.為便于小麥面粉的綜合利用,應(yīng)首先對小麥面粉各指標(biāo)間關(guān)系進(jìn)行分析,找出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.但小麥面粉各指標(biāo)間的數(shù)據(jù)或結(jié)論的來源帶有不確定性,有的還帶有人為因素,換句話說帶有模糊性,有學(xué)者對小麥面粉各指標(biāo)間的關(guān)系應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、方法去處理[1,2,6],給出了各指標(biāo)間關(guān)系的 Fuzzy線性回歸模型[3],但誤差過大,也就是模糊度過大,為此,筆者利用 Fuzzy結(jié)構(gòu)元理論對小麥面粉指標(biāo)關(guān)系進(jìn)行討論,得出關(guān)于小麥面粉指標(biāo)間的模糊非線性回歸關(guān)系.這不但擴(kuò)大了模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域,而且對于小麥面粉各指標(biāo)間的關(guān)系提出了一種新的、可行的應(yīng)用模型,在小麥面粉的綜合研究方面具有一定的參考價值.

1 預(yù)備知識

定義 1[4]設(shè) E是實(shí)數(shù)集 R上的 Fuzzy集,隸屬函數(shù)記為 E(x),x∈R.如果 E(x)滿足:

(1)E(0)=1,E(1+0)=E(-1-0)=0;

(2)E(x)在區(qū)間[-1,0)上是單調(diào)右連續(xù)函數(shù),在區(qū)間(0,1]上是單降左連續(xù)函數(shù);

(3)當(dāng) -∞＜x＜-1或1＜x＜+∞時,E(x) =0.

則稱模糊集 E是 R上的 Fuzzy結(jié)構(gòu)元.

定義 2[4]若 Fuzzy結(jié)構(gòu)元的隸屬函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上有 E(x)＞0,且在 (-1,0)內(nèi)是連續(xù)嚴(yán)格單增函數(shù),在區(qū)間 (0,1]上是連續(xù)嚴(yán)格單降函數(shù),則稱 E是正則的 Fuzzy結(jié)構(gòu)元.

定理 1[5]設(shè)θ是有限模糊數(shù),則存在一個模糊結(jié)構(gòu)元 E和有限實(shí)數(shù) a和 c,使得θ=a+cE (c＞0).θ的隸屬函數(shù)為:μ(θ)=E[(x-a)/c].

定義 3[5]設(shè) g(x,y)=f(x)+w(x)y.其中f(x)和 w(x)在 X上有界、且 w(x)非負(fù).易知g(x,y)是關(guān)于 y在 [-1,1]上的單調(diào)有界函數(shù),則(x)=f(x)+w(x)E是 X上的一個模糊值函數(shù),稱為由模糊結(jié)構(gòu)元 E線性生成的模糊值函數(shù).的隸屬函數(shù)為

2 模糊回歸模型

設(shè) g為 Rm→R的函數(shù)

式中:x1、x2、…、xm為自變量,θ1、θ2、…、θn為實(shí)值參數(shù),對固定的 x1、x2、…、xm視θ1、θ2、…、θn為實(shí)參數(shù),并假設(shè)函數(shù) g關(guān)于自變量及實(shí)值參數(shù)是連續(xù)可微的,則函數(shù) g可視為 Rn→R的函數(shù),對此應(yīng)用 Zadeh多元函數(shù)擴(kuò)展原理有

顯然 (3)式可作為研究 X與 y之間的模糊回歸模型,當(dāng) f(X,A)為 X的非線性函數(shù)時,也稱(3)為非線性回歸模型,其中 A,C可作為待估計的參數(shù).的隸屬函數(shù)為

若對 (1)式有觀測值 Xi=(x1i,x2i,…,xmi),對應(yīng)的 y可能有一組值 yi=(yi1,yi2,…,yis(i)),則對應(yīng)于(3)式有

式中:i=1,2,…,k.取 yi的隸屬函數(shù)為如下三角結(jié)構(gòu)元:

則有 D=(yi-f(Xi,A))/w(Xi,C).

顯然 (3)式作為回歸模型,應(yīng)考慮 w(Xi,C)＞0且越小越好,同時要求 yi屬于程度越大越好,一般若控制在 h∈(0,1]的水平下,即

從而可得如下的規(guī)劃問題:

求出參數(shù)A,C,即得實(shí)自變量 X與模糊變量y之間的模糊回歸模型(2).

3 小麥面粉指標(biāo)關(guān)系中的 Fuzzy非線性回歸問題

3.1 小麥面粉指標(biāo)

小麥粉的粉質(zhì)曲線特性及小麥麩皮戊聚糖組分對面團(tuán)粉質(zhì)特性指標(biāo)見表 1[7]及表 2[7].

表 2 小麥麩皮戊聚糖組分對面團(tuán)粉質(zhì)特性指標(biāo)的影響

表 1和表 2均為人為的觀察值,由于人的心理測量因素的影響,這些觀察值之間存在誤差,所以這些觀察值應(yīng)該都是模糊的,因此用模糊回歸模型解決小麥面粉各指標(biāo)之間關(guān)系會比經(jīng)典回歸更為有效.

3.2 小麥面粉指標(biāo)中的模糊回歸

利用表 2中的數(shù)據(jù),以添加比例 x1和弱化度x2為相關(guān)變量,以穩(wěn)定時間 y為因變量,建立Fuzzy回歸模型.由 (3)式,根據(jù)經(jīng)典數(shù)學(xué)的方法用Mathematica可擬合出函數(shù)

若令 x3=,則 f(X,A) =14.8156+ 2.21487x1-0.12987x2-1.29818x3,從而可取w(X,C) =c0+c1|x1|+c2|x2|+c3|x3|.由(5)式即得添加比例 x1和弱化度 x2與穩(wěn)定時間 y為因變量的值滿足如下的規(guī)劃模型

根據(jù)表 2所給數(shù)據(jù),運(yùn)用 EXCEL可求得

從而可得添加比例x1和弱化度x2為相關(guān)變量,以穩(wěn)定時間 y為因變量的非線性模糊回歸模型為

則當(dāng) x1=1.5,x2=60時,有=7.4248+ 0.2838E.而表 2中的實(shí)際觀察值為 7.5,恰好落在區(qū)間 [7.4248,7.7086]內(nèi),且結(jié)果優(yōu)于文獻(xiàn)[3],這說明模糊非線性回歸模型更能反映實(shí)際,并表明模糊非線性回歸模型應(yīng)用于小麥面粉指標(biāo)間關(guān)系的研究是可行的.

4 結(jié)論

(1)作者利用 Fuzzy結(jié)構(gòu)元理論討論了模糊回歸模型的模糊參數(shù)的估計,并把 Fuzzy結(jié)構(gòu)元理論應(yīng)用到小麥面粉指標(biāo)的研究中,得出了小麥面粉指標(biāo)間的模糊關(guān)系,其結(jié)果更能反映實(shí)際.

(2)首次把模糊非線性回歸模型應(yīng)用到小麥面粉指標(biāo)間關(guān)系的研究,既開拓了模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域,也為模糊數(shù)學(xué)應(yīng)用于糧油食品提供了一種方法.

(3)通過計算結(jié)果的比較,說明模糊非線性回歸模型更能反映實(shí)際,并表明模糊非線性回歸模型應(yīng)用于小麥面粉指標(biāo)間關(guān)系的研究是可行的,對小麥面粉的綜合研究具有一定的參考價值.

[1] 曹炳元,朱章遐.含三角模糊參數(shù)的線性回歸模型的新解法[J].汕頭大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2004,19(4):1-7.

[2] 謝季堅,劉承平.模糊數(shù)學(xué)方法及其應(yīng)用[M].第2版.武漢:華中科技大學(xué)出版社, 2000:259-286.

[3] 史本廣,林恒強(qiáng),史磊.小麥面粉指標(biāo)關(guān)系中的 Fuzzy回歸分析[J].河南工業(yè)大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2009,30(4):81-83.

[4] 曾繁慧.模糊線性回歸分析的結(jié)構(gòu)元理輪[J].科學(xué)技術(shù)與工程,2005,5(10): 635-639.

[5] 趙宏霞,楊皎平,郭嗣琮.基于模糊結(jié)構(gòu)元方法的模糊線性回歸模型[J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報,2004,23(3):418-420.

[6] 肖辭源.工程模糊系統(tǒng)[M].北京:科學(xué)技術(shù)出版社,2004:259-263.

[7] 王金水,張麗萍,卞科,等.利用 HMW麥谷蛋白亞基組成建立小麥品質(zhì)鑒評程序[J].鄭州工程學(xué)院學(xué)報,2003,24(4):1-4.

FUZZY NONL INEAR REGRESSION ON THE INDEX RELATION OFWHEAT FLOUR

SH IBen-guang,XU Xiao-yan,CHENG Tao,KUANG Guo-guang
(School of Science,Hennan University of Technology,Zhengzhou450052,China)

The relationship among the indexes of wheat flourmostly shows fuzziness.The article analyzed the fuzzy relationship among the indexes of the wheat flour based on the Fuzzy structured element theory,and put for ward a Fuzzy nonlinear regression model for processing the fuzzy nonlinear relationship.The result shows that the model is feasible.Therefore,the article provides a novelmethod for processing the fuzzy relationship aswell as the references for comprehensive study ofwheat flour.

wheat flour index;fuzzy regression;Fuzzy number;parameter estimation

TS210

B

1673-2383(2010)03-0063-03

2010-04-12

河南省自然科學(xué)基金 (072300410100);河南工業(yè)大學(xué)自然科學(xué)基金(07XJC027)

史本廣(1954-),男,河南商丘人,教授,主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)及不確定性數(shù)學(xué)的研究.