極值理論高頻VaR區(qū)間估計(jì)模型的構(gòu)建

趙 息，劉崢然，張亞楠

(天津大學(xué)管理學(xué)院，天津 300072)

極值理論高頻VaR區(qū)間估計(jì)模型的構(gòu)建

趙 息，劉崢然，張亞楠

(天津大學(xué)管理學(xué)院，天津 300072)

為了對(duì)在險(xiǎn)值的估計(jì)精度進(jìn)行度量，更為精確和有效地衡量極值VaR(value at risk)的估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)，基于廣義極值理論構(gòu)建了極值VaR的區(qū)間估計(jì)模型，并進(jìn)一步利用高頻數(shù)據(jù)重點(diǎn)考察了不同置信水平和不同樣本容量分塊下的極值VaR區(qū)間估計(jì)結(jié)果的精度和模型的有效性。結(jié)果表明，極值VaR的動(dòng)態(tài)區(qū)間估計(jì)模型與參數(shù)法和非參數(shù)法區(qū)間估計(jì)模型相比，不僅能夠更為有效地捕獲極端條件下收益率時(shí)間序列的動(dòng)態(tài)特征，而且具有很好的估計(jì)精度，VaR估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)的精確度更高。

置信區(qū)間;極值VaR;廣義極值分布;高頻數(shù)據(jù)

近年來(lái)，金融市場(chǎng)自由化使得全球金融環(huán)境更加具有風(fēng)險(xiǎn)，作為風(fēng)險(xiǎn)管理國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)的VaR是金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量的主流模型，巴塞爾協(xié)議和歐盟資本充足率指導(dǎo)都已使用VaR作為監(jiān)督標(biāo)準(zhǔn)。金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)管理主要是關(guān)注收益率分布的左尾，它反映了潛在發(fā)生概率極小但卻蘊(yùn)含巨大風(fēng)險(xiǎn)損失或者災(zāi)難性后果的極端事件，目前正嚴(yán)重沖擊著全球金融市場(chǎng)的次貸危機(jī)也暴露了金融機(jī)構(gòu)在防范蘊(yùn)含巨大損失的極端事件方面的缺陷，因此對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)極值理論的研究是非常必要的。

Danielsson等［1］指出，一個(gè)好的 VaR模型應(yīng)該能夠基于歷史樣本提供更為平滑的尾部估計(jì)和正確的表示出極端事件發(fā)生的可能性。在過(guò)去幾年中，各種各樣的金融極端事件使得金融機(jī)構(gòu)不得不通過(guò)識(shí)別與防范這類(lèi)事件而重新對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行建模，從而達(dá)到優(yōu)化風(fēng)險(xiǎn)管理系統(tǒng)的目的。因此，最近對(duì)于VaR的研究關(guān)注于收益分布的尾部特征，基于風(fēng)險(xiǎn)極值理論的VaR建模研究為構(gòu)建更為精確的VaR點(diǎn)估計(jì)方法提供了新思路，Bystrom［2］和 Fernandez［3］實(shí)證分析結(jié)果也表明了對(duì)于厚尾分布極值理論估計(jì)VaR比其他估計(jì)方法更精確。

但是，更為完善的金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)管理不僅僅需要VaR的點(diǎn)估計(jì)方法，還需要對(duì)VaR的估計(jì)精度進(jìn)行度量。VaR點(diǎn)估計(jì)本身存在的風(fēng)險(xiǎn)主要來(lái)源于樣本的波動(dòng)或者模型本身參數(shù)設(shè)定的不適用性。Jorion［4］首次利用置信區(qū)間的概念探討VaR估計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題，并在一些簡(jiǎn)單的收益率分布模型假設(shè)下，推導(dǎo)出VaR的近似置信區(qū)間。隨后，Huschens［5］也有一些相關(guān)研究結(jié)果。在其他風(fēng)險(xiǎn)值估計(jì)方法方面，一些學(xué)者研究了使用次序統(tǒng)計(jì)量理論，如Dowd［6］等計(jì)量方法對(duì)VaR置信區(qū)間進(jìn)行估計(jì)建模。國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)于VaR區(qū)間估計(jì)的評(píng)判研究才剛剛起步，還有待進(jìn)一步深入。馬玉林［7］使用滬市周、月收益率利用不同分布來(lái)估計(jì)VaR的置信區(qū)間。通過(guò)以上文獻(xiàn)分析可以看到，在國(guó)外發(fā)展迅速的極值VaR理論在點(diǎn)估計(jì)研究方面的優(yōu)勢(shì)已得到了學(xué)術(shù)界的普遍認(rèn)同，但是對(duì)于極值VaR置信區(qū)間的研究還鮮有涉及。

在上述研究的基礎(chǔ)上，基于包含更多信息的高頻數(shù)據(jù)，在極值分布基礎(chǔ)上建立極值VaR的置信區(qū)間的估計(jì)模型，并利用這一解析解對(duì)不同置信水平及不同分塊標(biāo)準(zhǔn)下的極值VaR的置信區(qū)間進(jìn)行實(shí)證估計(jì)，以期在捕獲極端條件下收益率時(shí)間序列動(dòng)態(tài)特征的基礎(chǔ)上，更為精確和有效地衡量極值VaR的估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)。

一、極值VaR置信區(qū)間模型構(gòu)建

1．極值VaR的點(diǎn)估計(jì)

若假定一個(gè)隨機(jī)變量X，其分布函數(shù)為F，代表在一定時(shí)期內(nèi)某項(xiàng)金融資產(chǎn)的損益，則VaR可表示為分位數(shù)的形式，即VaR=F－1(1－p)。其中p為置信水平;F－1(1－p)為F的反函數(shù)，即p分位數(shù)。因此，只要得到一定時(shí)期內(nèi)的分布函數(shù)，就可以計(jì)算相應(yīng)VaR的值。

當(dāng)研究金融資產(chǎn)極端情況下的VaR時(shí)，假設(shè)Pt表示資產(chǎn)在時(shí)間t時(shí)的價(jià)格，R(q)，t表示一天內(nèi)等間隔的q個(gè)收益，即

且極值變量m分別服從廣義極值分布(GEV)，即

式中ξ、μ、σ分別為形狀參數(shù)、位置參數(shù)和尺度參數(shù)。

m的廣義極值分布的概率密度分布為

記其中待估參數(shù) θ=(μ，σ，ξ)T，使用極大似然估計(jì)可以得到^θ=(^μ，^σ，^ξ)T，其中似然函數(shù)表達(dá)式為

在以上極值分布的基礎(chǔ)上可以得到極值VaR為

2．VaR置信區(qū)間的設(shè)定

進(jìn)一步根據(jù)極大似然估計(jì)的統(tǒng)計(jì)推斷理論，如果樣本量足夠大，最大似然估計(jì)^θ可由下式表示，即

二、實(shí)證分析

1．?dāng)?shù)據(jù)選取與基本統(tǒng)計(jì)描述

本文選用了上海證券交易所綜合指數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)，選取2005年1月 3日至 2007年12月 28日共34 722個(gè)5 min收益作為模型的估計(jì)樣本。由于廣義極值分布的分塊頻率選擇會(huì)對(duì)位置參數(shù)和尺度參數(shù)估計(jì)結(jié)果產(chǎn)成較大影響(Broussard和 Booth［9］)，并且最優(yōu)分塊標(biāo)準(zhǔn)也沒(méi)有統(tǒng)一結(jié)論，因此，選取 5 min、30 min、60 min和240 min作為分塊標(biāo)準(zhǔn)(見(jiàn)表1)。

表1 收益率統(tǒng)計(jì)描述

表1是對(duì)收益數(shù)據(jù)的基本統(tǒng)計(jì)，從不同分塊方法中可以看出，樣本的均值及標(biāo)準(zhǔn)差都有隨著時(shí)段的增加而明顯增加的趨勢(shì)，均值的增加和我國(guó)數(shù)據(jù)年度股票市場(chǎng)的整體上漲趨勢(shì)相一致，標(biāo)準(zhǔn)差的增大表明大塊樣本具有更加明顯的波動(dòng)。而且隨著時(shí)段的增加，偏度、峰度以及ADF統(tǒng)計(jì)量都有較明顯的下降趨勢(shì)，表明高頻數(shù)據(jù)，尤其是5 min數(shù)據(jù)表現(xiàn)出最明顯的尖峰厚尾特征。

2．廣義極值分布的置信區(qū)間估計(jì)

本文首先使用全樣本在不同的分塊標(biāo)準(zhǔn)下通過(guò)極大似然估計(jì)得到廣義極值分布的位置參數(shù)、尺度參數(shù)以及形狀參數(shù)，不同分塊標(biāo)準(zhǔn)的估計(jì)結(jié)果(見(jiàn)表2)。

表2 不同分塊方法廣義極值分布的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

如表2所示，廣義極值分布估計(jì)的大部分參數(shù)結(jié)果在5%置信度下顯著，其中μ、σ在1%置信水平下均顯著。μ的估計(jì)結(jié)果具有減小的趨勢(shì)，這也同分塊時(shí)段增加時(shí)其極小值一般會(huì)大于分塊時(shí)段減小時(shí)的極小值相一致。σ的增大也表明隨著時(shí)段增大樣本的波動(dòng)加劇。因此，從參數(shù)估計(jì)結(jié)果可以看出，這種方法可以更好地描述高頻數(shù)據(jù)極值具的尖峰厚尾特征。

為了比較不同置信水平和不同分塊標(biāo)準(zhǔn)下極值VaR估計(jì)值之間的區(qū)別，我們先用23 022個(gè)觀(guān)測(cè)值作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)模型的各個(gè)參數(shù)，然后作5次一步預(yù)測(cè)計(jì)算VaR值。接著估計(jì)窗口向前滾動(dòng)，得到一組新的參數(shù)值，進(jìn)而對(duì)接下來(lái)的5個(gè)交易日作一步預(yù)測(cè)計(jì)算極值VaR，這一過(guò)程持續(xù)到預(yù)測(cè)區(qū)間的最后一天，即2007年12月28日。

使用圖1來(lái)比較在5 min分塊條件下置信水平分別為95%和99%時(shí)極值VaR與日收益的走勢(shì)，圖2為置信水平為95%時(shí)3種不同分塊條件下VaR與日收益的比較圖。

從圖1可以看出，極值VaR值在收益波動(dòng)加劇時(shí)明顯增大，且99%較95%變化更為明顯，從圖2可以看出，極值VaR估計(jì)值隨著分塊時(shí)段的增加波動(dòng)更加劇烈，這表明極值VaR能夠考慮到當(dāng)前的預(yù)期和波動(dòng)性，能夠較為敏感地捕捉到收益的動(dòng)態(tài)性。

圖1 5 min分塊條件下極值VaR與日收益

圖2 3種不同分塊條件下極值VaR與日收益

廣義極值VaR的點(diǎn)估計(jì)只能根據(jù)收益波動(dòng)的變化來(lái)調(diào)整VaR的估計(jì)值，當(dāng)市場(chǎng)產(chǎn)生較大波動(dòng)的情況下，并不能探討估計(jì)值的誤差風(fēng)險(xiǎn)，置信區(qū)間為探討VaR值的風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題提供可能。仍然采用上述極值VaR的預(yù)測(cè)區(qū)間進(jìn)行滾動(dòng)置信區(qū)間估計(jì)，表3為不同置信水平下不同分塊標(biāo)準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的VaR估計(jì)的置信區(qū)間的下界、上界及區(qū)間寬度值的均值描述。

表3 不同置信水平下不同分塊標(biāo)準(zhǔn)置信區(qū)間的均值描述

從表3可以發(fā)現(xiàn)不同置信水平下不同分塊標(biāo)準(zhǔn)置信區(qū)間寬度的數(shù)量級(jí)均在10－3，較短的區(qū)間寬度表明模型具有很好的估計(jì)精度且估計(jì)值具有較小的方差。99%的置信水平下的區(qū)間寬度要明顯大于95%的置信水平下的區(qū)間寬度，而且隨著分塊時(shí)段的增加，區(qū)間寬度逐漸變大，這表明當(dāng)取較大的分塊時(shí)，分塊觀(guān)測(cè)值得減少降低了參數(shù)估計(jì)的有效性，而且這也同圖2所示極值VaR估計(jì)值隨著分塊時(shí)段的增加波動(dòng)更加劇烈相一致，隨著波動(dòng)的加大，極值VaR估計(jì)的精確度下降，區(qū)間寬度的增大就表明估計(jì)值的方差的變動(dòng)。因此，極值VaR的置信區(qū)間的估計(jì)模型可以很好地度量極值VaR在點(diǎn)估計(jì)過(guò)程中的誤差風(fēng)險(xiǎn)，在市場(chǎng)波動(dòng)加大時(shí)更好地綜合評(píng)價(jià)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值。這也表明對(duì)于較大的市場(chǎng)波動(dòng)，風(fēng)險(xiǎn)管理者要更謹(jǐn)慎地對(duì)待已估計(jì)的VaR值，綜合考慮VaR的估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)以提高和完善金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)管理水平。

3．廣義極值分布的置信區(qū)間估計(jì)有效性

現(xiàn)存的VaR模型主要可以分為參數(shù)模型(如正態(tài)分布模型、Risk-Metrics模型等)、非參數(shù)模型(如歷史模擬法和混合模型等)以及半?yún)?shù)模型(如極值理論等)這三類(lèi)，因此為了檢驗(yàn)廣義極值分布置信區(qū)間估計(jì)的有效性，進(jìn)一步使用正態(tài)分布模型和歷史模擬法對(duì)同一時(shí)間段上海證券交易所綜合指數(shù)的日收益進(jìn)行VaR的置信區(qū)間估計(jì)，估計(jì)結(jié)果見(jiàn)表4。

表4 正態(tài)分布模型和歷史模擬法的VaR置信區(qū)間估計(jì)結(jié)果

由表4可以看到正態(tài)分布模型和歷史模擬法的置信區(qū)間寬度的數(shù)量級(jí)普遍在10－2，均大于表3中我們使用基于廣義極值理論構(gòu)建的極值VaR的置信區(qū)間估計(jì)模型得到的區(qū)間寬度數(shù)量級(jí)為10－3的估計(jì)結(jié)果。而且可以注意到歷史模擬法在99%的置信水平下存在明顯的風(fēng)險(xiǎn)高估現(xiàn)象，預(yù)測(cè)結(jié)果很不穩(wěn)定。但是本文中所構(gòu)建的對(duì)極值VaR的置信區(qū)間的估計(jì)模型不僅是對(duì)極值VaR的動(dòng)態(tài)置信區(qū)間進(jìn)行估計(jì)，而且具有更好的估計(jì)精度，能考慮到當(dāng)前地預(yù)期和波動(dòng)性，能夠較為敏感地捕捉到收益的動(dòng)態(tài)性。

三、結(jié) 語(yǔ)

為了對(duì)在險(xiǎn)值的估計(jì)精度進(jìn)行度量，本文基于廣義極值理論建立了極值VaR的區(qū)間估計(jì)模型，得到了極值VaR置信區(qū)間的解析解的一般形式，更為精確和有效地衡量極值VaR的估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)。利用高頻數(shù)據(jù)重點(diǎn)考察了不同置信水平和不同樣本容量分塊下的極值VaR區(qū)間估計(jì)結(jié)果的精度和模型的有效性。結(jié)果表明，由于廣義極值分布的自身特征，不同的置信水平和分塊結(jié)果會(huì)對(duì)極值VaR的置信區(qū)間的估計(jì)結(jié)果產(chǎn)生明顯的影響;正態(tài)分布模型和歷史模擬法的置信區(qū)間寬度的數(shù)量級(jí)均大于使用基于廣義極值理論構(gòu)建的極值VaR的置信區(qū)間估計(jì)模型得到的估計(jì)結(jié)果。因此，本文中所構(gòu)建的對(duì)極值VaR的置信區(qū)間的估計(jì)模型不僅能夠更為有效地捕獲極端條件下收益率時(shí)間序列的特征，而且具有很好的估計(jì)精度，更為精確地描述VaR的估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)。

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Interval Model Estimation of VaR of High Frequency Extreme Value

ZHAO Xi，LIU Zheng-ran，ZHANG Ya-nan
(School of Management，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

In order to capture the character of return series in extreme condition and improve VaR(value at risk)precision，a model of extreme value VaR is established．Aolopting high frequency data，the result precision of confidence interval of extreme value VaR and the validity of model are mainly studied under different confidence levels and blocks．The empirical results show that comparing our model with parametric method and non-parametric method in estimation of the confidence interval of VaR，our model can not only captare the risk character of Chinese stock markets，but also achieve better estimation accuracy and describe the estimation risk of the VaR more accurately．

confidence interval;extreme value VaR;generalized extreme value distribution;high frequency data

F224.0

A

1008-4339(2010)-04-0308-05

2009-04-28．

趙 息(1955— )，女，教授．

劉崢然，elvtttca@yahoo．com．cn．