對稱正則長波方程的廣義差分法

尹燕梅,謝樹森

(中國海洋大學數(shù)學科學學院,山東青島266100)

對稱正則長波方程的廣義差分法

尹燕梅,謝樹森

(中國海洋大學數(shù)學科學學院,山東青島266100)

本文考慮求解對稱正則長波方程初邊值問題的廣義差分法,通過對原始方程的等價變分形式進行廣義差分離散,給出全離散差分格式的誤差估計,證明了格式保持原始方程所具有的守恒律,并通過數(shù)值實驗,驗證方法的有效性。

對稱正則長波方程;廣義差分法;誤差估計;守恒律;數(shù)值實驗

0 引言

對稱正則長波(SRLW)方程

為正則長波(RLW)方程的一種對稱描述,用于描述弱非線性等離子聲波和空間電荷波的傳播[1],由(1)式消去ρ,得到一類正則長波方程:

關于SRLW方程的定解問題適定性及數(shù)值方法已有了一些相應的研究,文獻[2]為SRLW方程的擬緊致守恒差分逼近,文獻[3]運用Legendre和Chebyshev擬譜方法對SRLW方程進行了分析,文獻[4]給出了SRLW方程的顯式精確解析解,文獻[5]對SRLW方程提出了保持能量守恒的差分格式,另有文獻研究了RLW方程組整體解的存在性和爆破現(xiàn)象及SRLW方程孤立波的軌道穩(wěn)定性及不穩(wěn)定性等問題。

廣義差分法作為求解偏微分方程的新技術,自被提出以來日益受到重視。1978年,李榮華教授利用有限元空間和對偶單元上特征函數(shù),將積分插值法改寫成廣義Galerkin法形式,將規(guī)則網(wǎng)格差分法推廣為廣義差分法(Generalized Difference Methods)。在近幾十年里,李榮華教授和其他一些學者對廣義差分法的理論和應用作了廣泛而深入的研究工作,已建立了相當系統(tǒng)完整的理論。該方法是利用在對偶剖分體積單元上積分原始方程,并將近似解限制在某一有限元空間而得到的一種方程離散方法,由于它能夠很好地在局部區(qū)域上保持原始方程的物理守恒性和其它重要特性,從而被廣泛地應用于求解數(shù)學物理方程,文獻[5-6]對該方法有較為詳細的介紹。由于其與有限差分法和有限元法相比,既有前者的計算簡單性,又兼顧后者的精度,從而可以在保證精度的情況下,有效的減少計算量,廣義差分法的應用日益廣泛,如文獻[6-11]結(jié)果均體現(xiàn)出該方法的優(yōu)越性,但對于SRLW方程的研究尚不多見。

本文在空間區(qū)間I=[a,b]和時間域[0,T]上考慮SRLW方程的初邊值問題

1 廣義差分格式

用Hm表示I=[a,b]上的m階Sobelev空間, (·,·)表示L2上的內(nèi)積,‖·‖m表示Hm上相應范數(shù),記‖·‖0=‖·‖,U=H2∩H10(I),并假定問題(3)有唯一解。

對區(qū)間I=[a,b]進行剖分,定義原始剖分為Th,節(jié)點為

記hi=xi-xi-1,=(hi+hi+1)/2,h=max{hi; 1≤i≤J},并假定剖分是正則的,記Th={Ii;Ii= [xi-1,xi],1≤i≤J}。

定義相應的對偶剖分為Th＊,節(jié)點為

取試探函數(shù)空間Uh?H10(I)為定義在Th上的分片線性有限元空間,基函數(shù)記為φi(x),1≤i≤J-1。取檢驗函數(shù)空間Vh=span{ψi(x),1≤i≤J-1}?L2(I)為定義在T＊h上的分片常函數(shù)空間。顯然, dimUh=dimVh=J-1。

定義記號:a(u,v)=(ux,vx),b((u2)t,v)= ((u2)t,vx)。于是,問題(3)相應的弱形式為:求u(t): [0,T]→H10(I),?v∈H10(I),使

2 誤差估計

定義如下離散范數(shù):?uh∈Uh,

3 差分格式的守恒律

4 數(shù)值實驗

表1 數(shù)值解在T時刻的誤差(L∞-范數(shù))Table 1 Numerical errors at timeT(L∞-Norm)

表2 能量守恒律模擬Table 2Simulation of energy conservation laws

表1給出不同時刻,不同步長的誤差,可以看出誤差關于空間和時間步長是二階精度。

表2給出不同時刻的能量近似值,驗證了離散能量滿足守恒律。

數(shù)值實驗結(jié)果表明本文的格式是有效的,且保持能量守恒律,由于計算時只需要解3對角方程組,所用時間較少。

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Abstract: In this paper,we analyze the generalize difference method for the initial boundary value problems of the symmetric regularized long wave equations and derived the error estimate for the full discrete difference scheme.We prove that the scheme proposed in this paper is conservative and provide a numerical experiment to confirm our theoretical findings.

Key words: symmetric regularized long wave equations;generalized difference method;error estimate; conservation laws;numerical experiment

AMS Subject Classification: 65C20

責任編輯 朱寶象

The Generalized Difference Scheme for the Symmetric Regularized Long Wave Equations

YIN Yan-Mei,XIE Shu-Sen
(School of Mathematical Sciences,Ocean University of China,Qingdao 266100,China)

O241.82

A

1672-5174(2010)09Ⅱ-235-04

2010-04-20;

2010-05-24

尹燕梅(1984-),女,碩士生。E-mail:yinyanmei07@sina.com