基于概率和引力優(yōu)化模型的醫(yī)學(xué)圖像配準(zhǔn)

裘意娜 李均利金林鵬

(寧波大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，寧波 315211)

基于概率和引力優(yōu)化模型的醫(yī)學(xué)圖像配準(zhǔn)

裘意娜 李均利*金林鵬

(寧波大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，寧波 315211)

基于互信息的配準(zhǔn)方法，其目標(biāo)函數(shù)經(jīng)常存在許多局部極值，給配準(zhǔn)的優(yōu)化過程帶來很大困難。提出一種基于概率模型的引力優(yōu)化算法，在空間中隨機構(gòu)造參考物體與浮動物體，根據(jù)牛頓萬有引力定律，搜索空間中質(zhì)量最大的物體。利用該算法，實現(xiàn)以歸一化互信息為相似性測度的醫(yī)學(xué)圖像配準(zhǔn)實驗。實驗結(jié)果表明，這種方法能夠有效地克服互信息的局部極值，在配準(zhǔn)精度、配準(zhǔn)時間和抗噪性方面都有較好的性能。

概率和引力優(yōu)化算法;醫(yī)學(xué)圖像配準(zhǔn);互信息

Abstract:There are lots of local maximums in image registration based on mutual information，which obstruct optimization in registration process.In this paper，a new optimization algorithm，called probability and gravity optimization，was proposed.We constructed reference objects and floating objects in space，each object was located randomly，then searched the object whose quality was the heaviest according to Newton′s law of universal gravitation in the whole space.The new method was applied to medical image registration based on normalized mutual information.Experimental results showed that this registration method could efficiently restrain local maxima of mutual information function and had better performance at registration accuracy，registration rate and noise immunity.

Key words:probability and gravity optimization;medical image registration;mutual information

引言

隨著醫(yī)學(xué)影像學(xué)的飛速發(fā)展，CT、MR、PET等多種模態(tài)的圖像已經(jīng)廣泛應(yīng)用于臨床。多模態(tài)醫(yī)學(xué)圖像配準(zhǔn)在臨床診斷、放療定位、手術(shù)導(dǎo)航等方面有著重要的應(yīng)用。當(dāng)一種模態(tài)的醫(yī)學(xué)圖像所提供的信息不能滿足需要時，可以把多種模態(tài)醫(yī)學(xué)圖像融合起來，提供互補的信息。最大互信息配準(zhǔn)是目前研究較多、應(yīng)用較廣的一種基于像素灰度的配準(zhǔn)方法。在 1995年被 Collignon等［1］和 Viola等［2］應(yīng)用到醫(yī)學(xué)圖像配準(zhǔn)后，其有效性得到廣泛認(rèn)可［3-6］。但是，這種方法運算量大、配準(zhǔn)時間長，所以尋求高效的優(yōu)化算法是提高配準(zhǔn)質(zhì)量、使其有效應(yīng)用于醫(yī)學(xué)圖像配準(zhǔn)的關(guān)鍵。

一些學(xué)者在優(yōu)化算法方面提出了許多可行的方法。Collignon等和Fei等采用了Powell多參數(shù)優(yōu)化方法，也是基于互信息的圖像配準(zhǔn)中最常用的優(yōu)化算法，由于無需計算梯度，因此配準(zhǔn)時間短，但其優(yōu)化結(jié)果的好壞與初始點密切相關(guān)［7-8］;Slomka等和Radau等采用了單純形法，是一種多維直接搜索的局部優(yōu)化方法，其缺點是收斂速度過慢［9-10］;Matsopoulos等在視網(wǎng)膜圖像的配準(zhǔn)實驗中，分別采用了模擬退火算法、遺傳算法和單純形法進(jìn)行優(yōu)化［11］。Wu等在配準(zhǔn)中采用的是簡單遺傳算法［12］，而Silva等和Gefen等采用的是改進(jìn)后的遺傳算法［13-14］。Wachowiak 等提出了采用粒子群優(yōu)化算法的配準(zhǔn)方法［15］和采用禁忌搜索優(yōu)化算法的配準(zhǔn)方法［16］。這些算法各有優(yōu)點，但同時也存在著容易受到局部極值干擾或“過早收斂”等不足之處，導(dǎo)致錯誤的配準(zhǔn)結(jié)果。此外，很多學(xué)者將多種優(yōu)化策略結(jié)合起來，Xu和Dony把進(jìn)化策略引入到 Powell法的優(yōu)化中［17］，葛培明等將 Wells提出的快速梯度計算法融入遺傳算法中［18］，楊帆等人將蟻群算法和Powell法結(jié)合起來對三維圖像進(jìn)行了配準(zhǔn)［19］，馮林等將粒子群算法和Powell法結(jié)合起來應(yīng)用于單模和多模圖像配準(zhǔn)［20］。因而，在整個配準(zhǔn)過程中，如何減少計算量、如何高效準(zhǔn)確地得到配準(zhǔn)結(jié)果，是目前研究的重點。

萬有引力是自然界中最普遍的自然現(xiàn)象，存在于一切物體之中。最近已有一些學(xué)者把萬有引力定律應(yīng)用于經(jīng)濟、管理領(lǐng)域，取得了很好的效果［21-22］。筆者建立了基于概率和引力優(yōu)化模型的算法，并將其應(yīng)用到醫(yī)學(xué)圖像配準(zhǔn)中，通過尋找最優(yōu)的圖像平移和旋轉(zhuǎn)變換參數(shù)來配準(zhǔn)兩幅圖像。

1 基于互信息的圖像配準(zhǔn)原理

對于圖像配準(zhǔn)，如何確定圖像間的配準(zhǔn)程度是一個很重要的問題。互信息是醫(yī)學(xué)圖像配準(zhǔn)中常用的相似性測度，是信息論中的一個基本概念，用來描述兩個隨機變量間的統(tǒng)計相關(guān)性，是一個變量包含另一個變量的信息度量，用熵描述為

式中，H(A)和 H(B)分別為圖像 A和 B的熵，H(A，B)為二者的聯(lián)合熵。

如果兩幅圖像完全配準(zhǔn)，那么互信息從理論上就會取得最大值。由于互信息對重疊區(qū)域的變化比較敏感，容易產(chǎn)生誤配準(zhǔn)，所以Studholme等人建議用歸一化的互信息［23］。本研究采用如下定義的歸一化互信息作為相似性測度，有

基于互信息的配準(zhǔn)過程是一個多參數(shù)的優(yōu)化過程，即搜索使兩幅圖像間的互信息最大的空間變換的過程，找到最優(yōu)的參數(shù)。

2 配準(zhǔn)變換模型

2.1 2D剛體變換

對待配準(zhǔn)的兩幅圖像，選擇一幅作為參考圖像，另一幅為浮動圖像。從浮動圖像的空間坐標(biāo)到參考圖像的空間坐標(biāo)，變換公式如下:式中，X=(x，y)是像素的空間位置，A是2×2的旋轉(zhuǎn)矩陣，b是2×1的平移向量。在2D剛體變換中，一般包含3個變換參數(shù)，即沿 x軸，沿 y軸的平移量和繞圖像中心的旋轉(zhuǎn)角度。

2.2 3D剛體變換

從浮動圖像的空間坐標(biāo)PF到參考圖像的空間坐標(biāo)RF的剛體變換，用下式描述為

式中:VF、VR為3×3的對角陣，分別代表參考圖像和浮動圖像3個軸向上的像素大小;CF、CR分別是兩圖像的中心坐標(biāo);Rx、Ry、Rz是3×3的旋轉(zhuǎn)矩陣，分別表示繞3個軸的旋轉(zhuǎn)量，t是平移向量。

3 驗證方法

采用的圖像數(shù)據(jù)來源于美國Vanderbilt大學(xué)的Retrospective Registration Evaluation Project(RREP)項目，其中有一套用于研究人員進(jìn)行算法初步評估的病人數(shù)據(jù)Practice組，包括一個病人的1套CT數(shù)據(jù)、6套MR數(shù)據(jù)(依次為PD、T1、T2和分別進(jìn)行了幾何失真校正的 PD_rectified、T1_rectified、T2_rectified)和1套PET數(shù)據(jù)。

3.1 二維圖像

分別選取Practice病人3D斷層圖像進(jìn)行2D配準(zhǔn)實驗，人為地平移旋轉(zhuǎn)變換(沿x軸平移-5個像素，y軸平移4個像素，繞圖像中心旋轉(zhuǎn)3°)。各類醫(yī)學(xué)圖像成像設(shè)備原理不同，圖像形成過程也不同，因此引入噪聲的統(tǒng)計特性也不同。CT圖像噪聲服從高斯(Gaussian)分布，MR圖像噪聲服從萊斯(Rician)分布［25］。因此，在配準(zhǔn)中給 CT圖像加均值方差為(0.08，0.08)的高斯噪聲，給 MR(6種)圖像加了均值方差為(0.1，0.003)的萊斯噪聲，如圖1所示。把變化后的圖像作為參考圖像、源圖像作為浮動圖像進(jìn)行2D剛體配準(zhǔn)實驗，分別顯示了高斯噪聲圖像和萊斯噪聲圖像。

圖2中的曲線表示在歸一化互信息為測度的情況下，不同空間變換下的配準(zhǔn)函數(shù)曲線圖(Tx，Ty，Rotate分別表示沿x軸平移，沿 y軸平移，和繞圖像中心旋轉(zhuǎn)，歸一化互信息值無單位)，根據(jù)平移旋轉(zhuǎn)變換參數(shù)，測度最大值應(yīng)該分別出現(xiàn)在-5，4，3。顯然，該函數(shù)具有恒正、具有全局最大值，故引力優(yōu)化中的質(zhì)量可直接用互信息函數(shù)目標(biāo)值表示。

圖1 圖像及其變換后圖像。(a)原圖像;(b)變換后的圖像;(c)加高斯噪聲的原圖像;(d)變換后的高斯噪聲圖像;(e)加萊斯噪聲的原圖像;(f)變換后的萊斯噪聲圖像Fig.1 The original image and transformed image.(a)originalimage;(b)transformed image;(c)originalimagecontaminated with Gaussian noise;(d)transformed Gaussian noised image;(e)original image contaminated with Rician noise;(f)transformed Rician noised image.

3.2 三維圖像配準(zhǔn)

選取Practice病人3D斷層CT圖像和MR圖像進(jìn)行配準(zhǔn)實驗，RREP項目中通過基于標(biāo)準(zhǔn)點的配準(zhǔn)方法已經(jīng)得到一個近似的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果，通常把該結(jié)果作為評估的“金標(biāo)準(zhǔn)”，依據(jù)這個配準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行誤差統(tǒng)計。以MR圖像為配準(zhǔn)參考圖像、CT圖像為配準(zhǔn)浮動圖像，同時采用粒子群算法、遺傳算法和Powell算法對這些圖像進(jìn)行配準(zhǔn)，圖3顯示了三維圖像在6個參數(shù)變換下的歸一化互信息值。

4 實驗結(jié)果分析

4.1 配準(zhǔn)精度和配準(zhǔn)時間

在醫(yī)學(xué)圖像配準(zhǔn)中，準(zhǔn)確性是關(guān)注的重點。由于互信息測度函數(shù)計算的復(fù)雜性，使得如何提高算法的效率、盡可能快地得到配準(zhǔn)結(jié)果也成為研究的一個重點。

本研究選用粒子群算法(PSO)［20］、遺傳算法(GA)［19］、Powell算法與本研究提出的算法進(jìn)行比較。文獻(xiàn)［19］和［20］均采用的是混合算法，而本研究提出的是單一的優(yōu)化算法，為公平起見，采用文獻(xiàn)［19］和［20］中去除 Powell算法的粒子群算法和遺傳算法，并且迭代次數(shù)都設(shè)為100。每個算法分別做出15組CT圖、90組MR圖和15組PET圖，總共進(jìn)行480次實驗。

對沿x軸、y軸平移、繞中心旋轉(zhuǎn)的配準(zhǔn)誤差和運行時間進(jìn)行比較，如圖4所示。為了方便，配準(zhǔn)誤差采用像素距離，距離單位為像素。配準(zhǔn)誤差小于一個像素，即達(dá)到亞像素級，被認(rèn)為是配準(zhǔn)成功;否則，成為誤配準(zhǔn)。

如果兩幅圖像完全配準(zhǔn)，那么從理論上講互信息就會取得最大值。從圖4(a)～(c)中可以看出，x軸和y軸的配準(zhǔn)誤差均在1個像素之內(nèi)，旋轉(zhuǎn)角度在1°內(nèi)，說明以上4種算法都成功配準(zhǔn)圖像，并且本研究提出的算法在配準(zhǔn)精度方面優(yōu)于遺傳算法和粒子群算法，與Powell算法沒有明顯區(qū)別。圖4(d)顯示了運行時間的比較，Powell算法的執(zhí)行時間最短，其次是本算法，平均在10 s左右，遺傳算法對單模配準(zhǔn)的時間性能很差。

4.2 抗噪性

在醫(yī)學(xué)成像的特定條件下，考慮到放射線、示蹤劑和強磁場等對人體的影響，加上成像模式本身的一些物理限制，常導(dǎo)致圖像不清晰，并伴有噪聲，所以研究算法對噪聲的魯棒性也是算法性能的重要方面。

圖2(d)～(i)分別顯示了高斯噪聲圖像和萊斯噪聲圖像在3種變換下的歸一化互信息值，可見對加噪圖像的配準(zhǔn)是一個存在多峰值的函數(shù)優(yōu)化過程，對配準(zhǔn)算法的健壯性是一個很大的考驗。分別使用本算法、PSO算法、Powell算法和GA算法進(jìn)行基于歸一化互信息的配準(zhǔn)。結(jié)果如圖5所示。

圖2 不同類型圖像在3種變換下的配準(zhǔn)函數(shù)圖(每行從左至右分別為沿x軸作平移變換、沿y軸作平移變換和繞圖像中心作旋轉(zhuǎn)變化)。(a)～(c)原圖像;(d)～(f)高斯噪聲圖像;(g)～(i)萊斯噪聲圖像Fig.2 The registration function image by three kinds of transformation(In each line from left to right is translation along x-axis，y-axis and rotation around the center of image respectively).(a)～ (c)original image;(d)～(f)Gaussian noised image;(g)～(i)Rician noised image

圖3 三維圖像的配準(zhǔn)函數(shù)圖。(a)～(c)沿x軸、y軸和z軸作平移變換;(d)～(f)繞x軸、y軸和z軸旋轉(zhuǎn)Fig.3 The registration function in aligning image with 3D image.(a)～ (c)translation along x-axis，y-axis and z-axis，respectively;(d)～ (f)rotation around x-axis，y-axis and z-axis，respectively

由于函數(shù)的多極性，雖然Powell算法所使用的時間均少于其他兩種算法，但計算結(jié)果的準(zhǔn)確性極差，本算法的準(zhǔn)確性較PSO算法、遺傳算法和Powell算法均有明顯的提高。為了更直觀地比較各算法的配準(zhǔn)情況，驗證算法的有效性，給每種圖像做15個配準(zhǔn)實驗，共做了420個配準(zhǔn)實驗。圖6給出了各算法誤配準(zhǔn)率的柱形圖?？梢园l(fā)現(xiàn)本算法的誤配準(zhǔn)率比其他3種算法都少，其中Powell算法在對于噪聲圖像配準(zhǔn)中的性能極差，其誤配準(zhǔn)率都是100%。實驗證明，所提出的算法在克服局部極值方面有較大的優(yōu)勢。

圖4 二維圖像配準(zhǔn)結(jié)果。(a)x軸平移誤差的絕對值;(b)y軸平移誤差的絕對值;(c)繞中心旋轉(zhuǎn)角度誤差的絕對值;(d)配準(zhǔn)運行時間Fig.4 The results of 2D image registration:(a)the absolute value of error by along x-axis translation;(b)the absolute value of error by along y-axis translation;(c)the absolute value of error by around the center of image rotation;(d)the running time of registration

圖5 不同算法配準(zhǔn)噪聲圖像的誤配準(zhǔn)率Fig.5 The rate of mistake in noised image registration by different algorithms

4.3 3D圖像的配準(zhǔn)

把配準(zhǔn)后浮動圖像的8個頂點qi和標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果的8個頂點pi按下面的方法對結(jié)果的準(zhǔn)確性進(jìn)行評估，有

將上述4種方法得到的配準(zhǔn)誤差對比顯示在圖8中。從圖6中可以看出，本算法、PSO算法、遺傳算法和 Powell算法的配準(zhǔn)成功率分別為100%，80%，60%，20%。本算法的配準(zhǔn)結(jié)果都達(dá)到了亞像素精度的要求，并且配準(zhǔn)結(jié)果的精度普遍優(yōu)于PSO算法和Powell算法。同時，比較上述3個算法的配準(zhǔn)時間，GA算法配準(zhǔn)時間最長，平均在10 000 s左右，其次是PSO算法，運行時間在4 000 s左右，而本算法的運行時間在2 000 s左右，比PSO算法少了近一半。雖然Powell算法在時間方面均少于其他兩個算法，但結(jié)合配準(zhǔn)精度，其成功率遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于引力算法和PSO算法，因此，從配準(zhǔn)時間和配準(zhǔn)精度兩方面綜合比較，所提出的優(yōu)化算法更勝一籌。

圖6 圖6 三維配準(zhǔn)結(jié)果。(a)配準(zhǔn)誤差;(b)配準(zhǔn)運行時間Fig.6 Results of 3D registration:(a)registration error;(b)the running time of registration

5 結(jié)論

對基于互信息的醫(yī)學(xué)圖像配準(zhǔn)中的配準(zhǔn)算法進(jìn)行實驗研究，分別進(jìn)行了圖像配準(zhǔn)、加噪圖像配準(zhǔn)和三維圖像配準(zhǔn)的實驗。結(jié)果顯示，本算法獲得了很好的效果，配準(zhǔn)結(jié)果精度達(dá)到了亞像素級水平，普遍優(yōu)于PSO算法、遺傳算法和 Powell算法，具有精度高、魯棒性強的優(yōu)點，并且其配準(zhǔn)時間大大縮短，同時又能使算法收斂到全局極小。由于本算法有很好的全局優(yōu)化性能和時間性能，因此可用于二維、三維的醫(yī)學(xué)圖像配準(zhǔn)。

附錄:基于概率和引力模型的優(yōu)化算法及收斂性證明

算法描述

經(jīng)典物理學(xué)中的萬有引力定律認(rèn)為:宇宙中任何兩物體之間都存在著相互吸引力，其中任一物體所受的引力大小與兩物體質(zhì)量的乘積成正比，而與兩物間距離的平方成反比，用公式表示為

式中:G為萬有引力常數(shù);M1、M2分別為兩物體的質(zhì)量;d為它們之間的距離。

將萬有引力定律應(yīng)用到優(yōu)化算法，假設(shè)優(yōu)化的問題為

式中:g(X)代表目標(biāo)函數(shù)，X=(x1，x2，…，xn)T∈Rn，D={X|Ii≤xi≤Ui，i=1，2，…，n}。定義 D 為搜索空間，在搜索空間中把每一個點看成是一個物體，X表示物體的坐標(biāo)，m=F′(g(X))代表物體的質(zhì)量，其中F′(X)是一維尺度變換函數(shù)，嚴(yán)格單調(diào)遞增，并且對 ?X∈ D，F(xiàn)′(X)＞0。

基于概率和引力優(yōu)化模型中定義n維解空間中有兩類物體，它們分別是參考物體群G—={Gi，1≤i≤n1}和浮動物體群 N—={Ni，1≤i≤n2}，并且 n1＜n2，定義 Gi(m)和 Gki(p)分別為參考物體Gi的質(zhì)量和在第k維的位置，Ni(m)和Nki(p)分別為浮動物體Ni的質(zhì)量和在第k維的位置，這里1≤k≤n。基于概率和引力優(yōu)化算法的計算步驟如下:

步驟1:隨機產(chǎn)生參考物體群G—和浮動物體群N—，令iter=0;比較所有物體的質(zhì)量(歸一化互信息值)，將質(zhì)量較大的n1個物體保存到參考物體群中，并保持如下關(guān)系:

步驟2:參考物體Gi與Gj之間在搜索空間內(nèi)按照下式構(gòu)造新物體new，即

式中，C為常數(shù)，rand表示在(0，1)區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生的一個隨機數(shù)。求出新物體的質(zhì)量，然后淘汰參考物體群和新物體中質(zhì)量最小的物體。

步驟3:計算每個參考物體Gi(1≤i≤n1)和浮動物體Nj(1≤j≤n2)之間的引力測度Fij和距離測度rij，即

對于每個浮動物體Nj(1≤j≤n2)選擇和其引力最大的參考物體Gsj，有

對于每個有浮動物體吸附的參考物體Gi(1≤i≤n1)，選擇對它吸引力最小的浮動物體Nwi，用變異算子在解空間內(nèi)進(jìn)行隨機賦值，有

對于未被淘汰掉的浮動物體Nj(1≤j≤ n2)，即j≠ wi，則 Nj和 Gsj在搜索空間內(nèi)構(gòu)造新物體new，構(gòu)造方法同步驟 2。用新物體替換 Nj，即。對于被淘汰的浮動物體Nwi，則用變異算子在解空間內(nèi)進(jìn)行隨機賦值。求出更新過后浮動物體的質(zhì)量，iter=iter+1。

步驟4:比較更新過后的參考物體群和浮動物體群的質(zhì)量，將質(zhì)量較大的n1個物體保存到參考物體中，此時亦滿足式(7)。

步驟5:若滿足終止條件則停機，否則轉(zhuǎn)步驟2。

收斂性證明

基于概率和引力的優(yōu)化算法是一種隨機優(yōu)化算法，關(guān)于隨機優(yōu)化算法以概率1收斂于全局最優(yōu)解的條件，Solis和 Wets對其進(jìn)行了證明［24］，其主要結(jié)論如下:

假設(shè) 1［24］若 f(D(z，ζ))≤ f(z)，ζ∈ S，則f(D(z，ζ))≤ f(ζ)

式中，D為產(chǎn)生問題解的函數(shù)，ζ為從概率空間(Rn，B，μk)產(chǎn)生的隨機向量，f為目標(biāo)函數(shù)，S為Rn的子集，表示問題的約束空間，μk為B上的概率度量，B為Rn子集的σ域。

假設(shè) 2［24］若對 S的任意 Borel子集 A，有ν(A)＞ 0，則

式中，ν(A)為子集A的n維閉包，μk(A)為由μk產(chǎn)生A的概率。

定理［24］設(shè)f為一可測函數(shù)，S為Rn的一可測子集，{zk}∞0為隨機算法產(chǎn)生的解序列，則當(dāng)滿足假設(shè)1和假設(shè)2時，有，其中 Rε為全局最優(yōu)點的集合。

收斂性證明

由上述結(jié)論可知:對于基于概率和引力優(yōu)化算法，只要能夠滿足假設(shè)1和假設(shè)2，根據(jù)定理就可保證其以概率1收斂于全局最優(yōu)解。下面是對該算法的尋優(yōu)分析。

在基于概率和引力優(yōu)化算法中，其返回的結(jié)果是第t次迭代前的參考物體XG1的位置，X(t)為第t次迭代的某個物體位置，f(X)是物體的適應(yīng)度函數(shù)。因此，令假設(shè)1中的函數(shù)D為

可以看出，假設(shè)1是滿足的。

對于假設(shè)2，只需證明規(guī)模為S的群體的樣本空間的并集包含S，即

式中，Mi，t是第i次迭代時物體樣本空間的支撐集。設(shè)迭代N次，其中第i次物體的范圍為Si，即其支撐集。所以，群體的空間并集為。由于物體的位置范圍是可以調(diào)節(jié)的，當(dāng)其覆蓋范圍是從其所在位置到問題域的邊界時，盡管邊界所在物體很少，但卻可以使得，即假設(shè)2成立。

綜上所述，由定理可以基于概率和引力優(yōu)化算法、以概率1收斂于全局最優(yōu)解。

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A Medical Image Registration Method Based on Probability and Gravity Optimization Model

QIU Yi-Na LI Jun-Li*JIN Lin-Peng
(School of Information Science and Engineering，Ningbo University，Ningbo 315211，China)

TP391

A

0258-8021(2010)03-0345-08

10.3969/j.issn.0258-8021.2010.03.005

2009-07-14，

2010-03-03

國家自然科學(xué)基金資助項目(60672072);浙江省自然科學(xué)基金(Y106505);寧波市自然科學(xué)基金(2009A610089);寧波大學(xué)王寬誠基金

*通訊作者。 E-mail:li.junli@vip.163.com