淺論Riemann積分和Lebesque積分

郝江鋒

（1安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230039）

（2巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽巢湖238000）

淺論Riemann積分和Lebesque積分

郝江鋒1，2

（1安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230039）

（2巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽巢湖238000）

本文以Riemann積分理論的狹隘性展開，介紹了Lebesque積分和Riemann積分的區(qū)別與聯(lián)系。在介紹中盡量結(jié)合積分論思想的發(fā)展歷史，而不是只對二者一些關(guān)系作一個定理式的羅列，這是本文的主要特色。結(jié)合實例來立論是本文另一個特點，本文最后部分作者列舉出了許多精彩的實例，它們是二者關(guān)系的最好說明。

Cauchy；Riemann積分；Lebesque積分；可測函數(shù)；Fourier函數(shù)

一般微積分教材談?wù)摰氖荝iemann積分，而一些進階課程如概率論和實變函數(shù)中，又會涉及到Lebesque積分。本文將結(jié)合積分學(xué)發(fā)展歷史，介紹Riemann積分與Lebesque積分的比較，以及Lebesque積分對Riemann積分的改進。

1 Riemann與Lebesque積分思想簡介

1.1 Riemann的積分思想[1，2，3，4]

微積分創(chuàng)始人之一Newton的著作表明面積可以通過把微分法反過來求得，另一創(chuàng)始人Leibniz的想法是把面積或體積看作是諸如矩形或柱體微元的“和”。在18世紀(jì)，當(dāng)微元“和”的概念多多少少被采納時，使用這些感念也是很不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹.Cauchy（1789-1857）在他的《概論》（1823）中對定積分作了最系統(tǒng)的開創(chuàng)性工作，在書中他指出在人們能夠使用定積分、原函數(shù)之前，必須確定定積分的存在，以及間接地確定反函數(shù)或原函數(shù)的存在。在數(shù)學(xué)史上，第一個提出用分割區(qū)間作和式的極限來明確的定義積分的要推Cauchy了。他考察的積分對象是在[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并用連續(xù)函數(shù)的中值性質(zhì)來推導(dǎo)積分的存在性。然而Cauchy所作的積分存在性的證明只適用于函數(shù)至多有有限個不連續(xù)點的情形。Riemann從J.Fourier（1768-1830）關(guān)于三角函數(shù)的工作中得到啟發(fā)，他不先假設(shè)函數(shù)是連續(xù)的，而去探求一個函數(shù)可積與否是什么性態(tài)。

Riemann把積分推廣到在區(qū)間[a，b]有定義且有界的函數(shù)f（x）上去，他把[a，b]分割成子區(qū)間△x1，△x2，…，△xn，，并把f（x）在△xi上的最大值和最小值之差定義為f（x）在△xi上的振幅。然后他證明了，當(dāng)最大的△xi趨于零時，和式（ 其中ξi是△xi中x的任一值）趨于一個唯一的極限（和式存在）的一個充分必要條件是：區(qū)間△xi（在其中f（x）的振幅大于給定的數(shù)λ）的總長度必須隨著各區(qū)間長度趨于零而趨于零。Riemann指出，關(guān)于振幅的這一條件使他可以用具有孤立間斷點的函數(shù)及具有處處稠密的間斷點的函數(shù)來代替連續(xù)函數(shù)。事實上，Riemann所給出的在每個任意小區(qū)間上有無窮多個間斷點的可積函數(shù)的例子，說明了他的積分概念的一般性。這樣，Riemann就在積分的定義中去掉了連續(xù)和分段連續(xù)的要求。

Riemann積分的重要性是不言而喻，它對于處理諸如逐段連續(xù)的函數(shù)以及一致收斂的級數(shù)來說是足夠的，并且至今仍然是積分課程的主要內(nèi)容之一。然而，隨著點集理論工作的深入，人們越來越多地接觸到具有各種“奇特”現(xiàn)象的函數(shù)，對此，在研究函數(shù)的可積性的積分理論的處理上，Riemann積分發(fā)生了困難。

Riemann積分的狹隘性涉及到：（1）可積函數(shù)的連續(xù)性限制：Riemann積分要求可積函數(shù)必須是“差不多連續(xù)”的。Riemann積分的理論是以“基本上”連續(xù)的函數(shù)為研究對象的，忽略了許多人們關(guān)心的函數(shù)。（2）極限與積分次序交換的問題：在一般的數(shù)學(xué)分析教科中，都是用函數(shù)列的一致性斂的條件來保證極限運算與積分運算的次序可以交換，不過，這一要求過分強了。（3）微積分基本定理成立受限制：Riemann積分中，微積分基本定理要求函數(shù)f（x）在[a，b]可積。然而，早在1881年，Volterra就作出了一個可微函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)是有界的，但導(dǎo)數(shù)不是Riemann可積的。這就大大限制了微積分基本定理的應(yīng)用范圍。（4）Riemann可積函數(shù)空間不具完備性。

1.2 Lebesgue的積分思想[1，3，4，5]

鑒于以上各種缺陷以及隨著人們對微積分各種課題的深入討論，積分理論的研究工作也進一步展開，并認(rèn)識到積分問題與函數(shù)的下方圖形——點集的面積界定和度量有關(guān)。隨后各種測度概念相繼提出。Lebesgue在他的論文《積分、長度和面積》里，第一次敘述了他關(guān)于測度和積分的思想。Lebesgue積分理論不僅蘊涵了Riemann積分所達到的結(jié)果，而且在較大程度上克服了它的局限性。

Lebesgue的積分論是建立在他關(guān)于點集的測度的概念之上的。設(shè)E是a≤x≤b的一個點集。E的點可以被[a，b]中一族有限個或可數(shù)無限個區(qū)間集d1，d2，…所包圍而成為內(nèi)點。能夠證明區(qū)間集合di{}，可以被互不重疊的區(qū)間集合δ1，δ2，…所代替，使得E的每一個點是其中某一個區(qū)間的內(nèi)點或是兩個相鄰區(qū)間的公共端點。令Σδn表示長度δi之和，所有可能集合δi{}的Σδn（最大）下界稱為E的外測度，記作me（E）。E的內(nèi)測度mi（E）定義為集合C（E）的外測度的補測度[b-a]-meC（E），這里集合meC（E）是E在[a，b]中的補集，也就是a≤x≤b中不在E內(nèi)的點所成的集合。如果meE=miE，那么集合E就定義為可測的，而測度m（E）就是這個公共值。Lebesgue證明，可數(shù)個兩兩不相交的可測集的并集的測度，等于這些集合的側(cè)度的總和。

Lebesgue的另一個重要概念是可測函數(shù)。設(shè)E是x軸上的一個有界可測集，在E的一切點上定義的函數(shù)f（x）稱為在E上是可測的，如果對任意常數(shù)A，E中使得f（x）＞A的點所成的集合是可測的。

2 Riemann積分與Lebesque積分的比較

由前所述知，Lebesgue積分是以測度論為工具，借鑒Riemann積分的思想用出的，它的許多性質(zhì)都與Riemann積分相似。如二者都具有有限可加性，線性，單調(diào)性等（見文獻[5]）。下面將著重介紹Lebesgue積分較Riemann積分的改進之處[1，5]。

2.1 Lebesque積分較Riemann積分具有更大的普遍性

這可以從下關(guān)于Lebesgue積分理論如何克服Riemann積分的狹隘性上看出。例如：在區(qū)間[a，b]上的Dirichlet函數(shù)，在有理數(shù)x處取值為1，在無理數(shù)x處取值為0，處處不連續(xù)，從而不Riemann（原義和廣義）可積，但卻是Lebesgue可積的，這時而且進一步地，Lebesgue積分概念可以推廣到更普遍的函數(shù)，例如無界函數(shù)。如果f（x）在積分區(qū)間上Lebesgue可積，但不Riemann可積，反之亦然。這部分的反例在后面將一并例出。

就實用目的而言，Riemann積分已經(jīng)夠用了。Lebesgue積分證明了，為使一個有界函數(shù)是Riemann可積的，必須且僅須它的不連續(xù)點集是一個零測度。這就是Lebesgue對Riemann可積條件推廣的一大貢獻。但對理論工作來說，Lebesgue積分提供了簡化的便利。

2.2 Lebesgue 積分給某些定理的成立條件帶來了簡化

Lebesgue在他的論文里有這樣一個結(jié)果：設(shè)u1（x），u2（x），…是可測集合E上的可測函數(shù)，并Σun收斂到f（x），那么f（x）是可測的。又若是是一致有界的（對可測集E中的一切x和一切則有所謂的控制收斂定理：f（x）在E上的Lebesgue可積，且有如果我們研究的是Riemann積分，則還要加上這個級數(shù)的和是可測的這一假設(shè)。這使Lebesgue積分在極限與積分交換次序問題上較Riemann積分有了突破。

Lebesgue積分在Fourier級數(shù)理論中特別有用。這方面的許多重要的貢獻也是Lebesgue本人作出的。Riemann指出，一個有界的Riemann可積的函數(shù)的Fourier系數(shù)an，bn當(dāng)n趨向于無窮時，必趨向于0。Lebesgue的推廣說：

其中f（x）是一個Lebesgue可積的函數(shù)，不管它是否有界。這個定理被稱為Riemann—Lebesgue引理。Lebesgue還證明了一個Fourier級數(shù)之所以可以逐項積分，并不依賴于這級數(shù)對f（x）本身的一致收斂性，對任意一個Lebesgue可積函數(shù)f（x），不管f（x）的原始級數(shù)是否收斂于它，都有：

其中x是[-π，π]內(nèi)的任一點。而且這新級數(shù)在區(qū)間[-π，π]上總有一致收斂到這等式的左邊。由上可見，Lebesgue積分理論，較好的克服了Riemann積分的第二個狹隘性。

2.3 Lebesgue積分理論也推進了多重積分的理論

在Riemann積分理論中，如果f（x，y）在I=[a，b]×[c，d]上連續(xù)，那么下列等式成立：

它要求函數(shù)f（x，y）連續(xù)，似乎太苛刻了。在Lebesgue二重積分的定義下，能用累次積分來計算二重積分的函數(shù)的范圍擴大了。Fubini對Lebesgue的初始創(chuàng)造性工作作了推廣后提出了如下的被稱為Fubini定理的結(jié)論[6]：

如果f（x，y）在可測集G上可測，則，

（a）對幾乎所有的y和x，f（x，y）分別作為x，y的函數(shù)都是可測的；

（b）使得f（x，y0）或f（x0，y）不可測的點（x0，y0）的集合的測度為0；

其中外層的積分是在x的函數(shù)（或y的函數(shù)）f（x，y）是可測的那些y（或x）的點集上取的?？梢姡灰胤e分有限，它就和兩個累次積分相等，這個條件相比于Riemann積分少了不少的限制，這就是Lebesgue積分成功之處之一。

2.4 “完備性”上的貢獻

由前面的討論已經(jīng)發(fā)現(xiàn)：連續(xù)（或幾乎處處連續(xù)）函數(shù)及其相應(yīng)的Riemann積分理論的地位和作用，在一定意義上已被可測函數(shù)及其Lebesgue積分理論所代替。新的積分理論不僅擴大了積分的對象，而且新的可積函數(shù)類的全體還呈現(xiàn)出與歐氏空間有及其類似的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，從而為在其上建立分析學(xué)奠定了基礎(chǔ)。Lebesgue積分理論建立后，Lp（1≤p＜∞）空間的重要性立即被人們所認(rèn)識，它的完備性是這一理論早期成功的典范。這一“完美”的性質(zhì)是Riemann可積函數(shù)類所沒有的，可以認(rèn)為這又是Lebesgue積分理論的一個成功之處。

3 Lebesgue積分與Riemann積分的例證比較[5，7，8]

本節(jié)給出一些著名例子，用來加深對Lebesgue積分和Riemann積分的區(qū)別和聯(lián)系的理解，它們是以上陳述的補充。

3.1 有限閉區(qū)間上Lebesgue可積未必能推出Riemann可積，但有限閉區(qū)間上Riemann可積必能推出Lebesgue可積

例1[0，1]上的Dirichlet函數(shù)

是非負簡單函數(shù)，當(dāng)然Lebesgue可積。但D（x）在[0，1]上處處不連續(xù)，故Riemann不可積。

3.2 Lebesgue積分是Riemann積分的推廣，卻非廣義Riemann積分的推廣；Lebesgue積分指的是絕對收斂的積分

（1）廣義Riemann可積而不Lebesgue可積的函數(shù)

小學(xué)語文教學(xué)不應(yīng)該只局限于課本上幾篇簡單的文章和詩歌，老師應(yīng)該多鼓勵學(xué)生們進行課外的閱讀來輔助語文學(xué)習(xí)，只要是文字優(yōu)美的符合小學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和能力都可以鼓勵學(xué)生進行廣泛閱讀，通過課外閱讀他們也可以體會到文字的魅力也可以有效地提升學(xué)生們的語感，間接性的提高學(xué)生們的口語表達能力，同時也能為以后學(xué)生的寫作打下堅實的閱讀和寫作基礎(chǔ)。

（2）Lebesgue可積而不廣義Riemann可積的非負函數(shù)

（3）可用廣義Riemann積分來求Lebesgue積分

解：因為x-a＞0（x∈E），且（R）

3.3 從某些極限過程來看，Lebesgue積分較Riemann積分優(yōu)越性，對積分列求極限問題，Lebesgue并沒有要求函數(shù)序列一致收斂

例5設(shè)fn（x）=xn（0≤x≤1）它是點收斂而不是一致收斂于的，但仍有

3.4 有限閉區(qū)間上Riemann可積函數(shù)空間的不完備性

例6證：R[0，1]為[0，1]上Riemann可積函數(shù)的全體，引入距離

其中認(rèn)定當(dāng)d（f，g）＝0時，f和g是同一元。我們說R[0，1]不是完備的意思是指當(dāng)fn∈R[0，1]（n=1， 2，…）且滿足時，并不一定存在fn∈R[0，1]，使得

現(xiàn)在，令{rn}是（0，1）中有理數(shù)的全體，設(shè)In是[0，1]中的開區(qū)間并作函數(shù)

則fn∈R（[0，1]）（n=1，2…），且有＝0，以及fn（x）→f（x）（n→∞）。故R（[0，1]）按上述距離d是不完備的。

[1]周民強.實變函數(shù)論[M].北京:北京大學(xué)出版社，2001.

[2]莫里斯·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（第四冊）[M].上海:上海科技大學(xué)出版社，2002.

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[8]汪林.實分析中的反例[M].北京：高等教育出版社，1989.

Abstract:The relationship of the Lebesque integral and Riemann integral is presented.This paper is expanded from how Lebesgue theory overcomes the shortcoming of the Riemann’s theory.Instead of accumulating related theorems,we try to combine with the history of the integral theory when describing the arguments.In the end of the paper,some wonderful examples are listed,which are the best expound of the relationship between the Lebesque integral and Riemann integral.

Key words:Cauchy；Lebesque integral；Riemann integral；measurable function；Fourier series

責(zé)任編輯：宏彬

SHALLOWLY DISCUSSION ON THE LEBESQUE INTEGRAL AND RIEMANN INTEGRAL

HAO Jiang-Feng1,2
（1School of Mathematical Sciences,Anhui University,Hefei Anhui 230039）
（2Department of Mathemalics，Chaohu University，Chaohu Anhui 238000）

O177.8

A

1672－2868（2010）03－0011－05

2010－03-20

郝江鋒（1981－），安徽潛山人。安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院在讀碩士，研究方向：函數(shù)論，運籌學(xué)。