一類非齊次微分方程解的增長性

呂巍然,王君苓,陳院生,李曉靜

(中國石油大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,山東東營 257061)

一類非齊次微分方程解的增長性

呂巍然,王君苓,陳院生,李曉靜

(中國石油大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,山東東營 257061)

研究一類非齊次線性微分方程 f(k)+ak-1f(k-1)+…+a1f′-(eQ(z)-h0)f=1(k≥1)解的增長性,其中 aj(j=1,2,…,k-1)為常數(shù),Q(z)為非常數(shù)多項式,h0為超越慢增長整函數(shù)。利用所得結(jié)果,還可以給出有關(guān)亞純函數(shù)唯一性的結(jié)果。

微分方程;整函數(shù);增長級;超級

1 問題的提出

本文中使用值分布理論的基本概念和標(biāo)準(zhǔn)記號[1-4]:用 T(r,f)表示亞純函數(shù) f(z)的特征函數(shù),用m(r,f)表示 f(z)的均值函數(shù)等。特別地,用記號σ(f)和σ2(f)分別表示亞純函數(shù) f(z)的增長級和超級[4,5]。假設(shè) f(z)和 g(z)是非常數(shù)亞純函數(shù),a為任意復(fù)數(shù)。如果 f(z)-a與 g(z)-a的零點(diǎn)相同,而且每個零點(diǎn)的重級也相同,則稱 a為 f(z)與 g (z)的 CM公共值[4-6]。

對于集合 E?R+,用λ(E)表示 E的對數(shù)測度,用χE(t)表示集合 E在 R+上的特征函數(shù),則可以定義集合 E的上對數(shù)密度和下對數(shù)密度如下:

考慮微分方程

的增長級問題,其中Q(z)是非常數(shù)多項式。

楊連中教授[7]證明了定理A。

定理 A 非齊次微分方程(1)的任意解必為無窮級整函數(shù)。

考察微分方程

不難發(fā)現(xiàn)方程(1)是方程(2)的特殊情況,本文中將繼續(xù)研究方程(2)的解具有怎樣的增長性。

對于 h0為常數(shù)的特殊情況,王珺曾給出有關(guān)方程解的增長性及其應(yīng)用[6],并證明了如下結(jié)果:

定理 B 如果 h0為常數(shù),則微分方程 (2)的任意非零解 f(z)滿足σ(f)=1或σ(f)=∞,且任意具有無窮級的解其超級為不大于 degQ的正整數(shù);

定理 1 如果 h0為超越慢增長整函數(shù),則微分方程 (2)的任意非零解 f(z)滿足σ(f)=∞。

把函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來研究函數(shù)的唯一性,也是亞純函數(shù)值分布論中一個重要的研究方向,且大多數(shù)僅僅涉及一階導(dǎo)數(shù)或者 k階導(dǎo)數(shù)[4]。本文中把相關(guān)結(jié)果推廣到亞純函數(shù) f的線性微分多項式。

2 主要引理

引理 1[9]假設(shè) g(z)是整函數(shù),且級σ(g)= σ,vg(r)是 g的中心指標(biāo),那么

(i)如果δ(P,θ)>0,則

(ii)如果δ(P,θ)<0,則

3 定理 1的證明

由線性微分方程的復(fù)振蕩基本理論可知,方程(2)的所有解為增長級不小于 degQ的超越整函數(shù)。事實上,設(shè) f(z)為方程 (2)的解,顯然 f(z)為整函數(shù),并且根據(jù)函數(shù)級的性質(zhì)知道σ(f)≥σ(eQ)= degQ。對于方程 (2)的增長級不小于 1的解 f(z),下面將用反證法證明 f具有無窮增長級。首先假設(shè)σ(f)<∞。

改寫(2)為

根據(jù)W iman-Valiron理論[9,12-13],可知

其中κ>0為常數(shù)。

由上極限和下極限的基本性質(zhì),有

由此和式(9)可知,下式成立:

因為 f是超越整函數(shù),易知M(r,f)→∞(r→∞).由此,將式 (9),(10)和 (13)代入式 (8),故可知當(dāng) n充分大時,有

這與 h0超越矛盾。從而可知存在 j0(1≤j0≤m),使得δj0(Q,θ0)≠0?？烧业?j0使得滿足 j>j0的 j,有δj(Q,θ0)≠0。那么存在兩種情形:(i)δj0(Q,θ0)< 0;(ii)δj0(Q,θ0)>0。

這與 h0超越矛盾。

根據(jù)引理 2,式(17)顯然與σ(f)<∞矛盾。

定理1證畢。

4 定理 2的證明

首先根據(jù) CM公共值的定義和 Hadamard分解定理,有

其中Q(z)為多項式。假設(shè) Q(z)不為常數(shù),可將式(18)展開為式 (2),利用定理 1的結(jié)果得到σ(f)=∞與條件σ(f)<∞矛盾,所以Q(z)只可能為常數(shù)b。令 c=eb,定理 2證畢。

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(編輯 修榮榮)

Growth of solutions of some non-homogeneous differential equations

LüWei-ran,WANG Jun-ling,CHEN Yuan-sheng,L IXiao-jing
(College of M athem atics and Com putational Science in China University of Petroleum,Dongying257061,China)

The growth of solutions off(k)+ak-1f(k-1)+…+a1f′-(eQ(z)-h0)f=1(k≥1)withaj(j=1,2,…,k-1)constants is studied,whereQ(z)is a non-constant polynomial andh0is transcendental slowly growth entire function.The uniqueness ofmeromorphic functionswas obtained on basis of this.

differential equation;entire function;order;hyper order

O 174.5

A

10.3969/j.issn.1673-5005.2010.02.034

1673-5005(2010)02-0166-03

2009-02-10

呂巍然(1962-),男(漢族),山東沾化人,教授,博士,研究方向為復(fù)分析。