構(gòu)架式可展開(kāi)天線工作表面母線擬合方法

田大可，劉榮強(qiáng)，鄧宗全，郭宏偉

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150001)

可展開(kāi)衛(wèi)星天線是進(jìn)行移動(dòng)通信、深空探測(cè)和射電天文等空間科學(xué)任務(wù)必備的物理手段［1-2］.隨著人們對(duì)信息多樣化、復(fù)雜化的需求變得越來(lái)越迫切，可展開(kāi)衛(wèi)星天線正向著大型化、高精度化、輕量化方向發(fā)展，并且已經(jīng)成為空間可展開(kāi)結(jié)構(gòu)中最活躍的一個(gè)分支.

按照天線工作表面的組成介質(zhì)可將可展開(kāi)衛(wèi)星天線分為3類:固體反射面可展開(kāi)天線、充氣式反射面可展開(kāi)天線、網(wǎng)面可展開(kāi)天線［3］.其中，網(wǎng)面可展開(kāi)天線由于其展開(kāi)精度高、可實(shí)現(xiàn)較大的展開(kāi)口徑、技術(shù)相對(duì)成熟等優(yōu)點(diǎn)正成為研究的熱點(diǎn).由六棱柱單元組成的構(gòu)架式可展開(kāi)天線除具有網(wǎng)面可展開(kāi)天線共有的優(yōu)點(diǎn)，還具有很高的靈活性，天線采用模塊化思想設(shè)計(jì)，桿件類型大大減少，通過(guò)改變模塊的尺寸或數(shù)量可以適應(yīng)通信中對(duì)口徑大小的要求，結(jié)構(gòu)拓?fù)淙菀?并且由于天線由若干個(gè)相同的模塊組成，可以在完成每個(gè)模塊的測(cè)試后再進(jìn)行總的裝配.因此，大大降低了安裝和調(diào)試的難度，縮短了安裝時(shí)間，加工成本也大大降低［4］.

2006年底，日本國(guó)家空間發(fā)展局(NASDA)發(fā)射的工程試驗(yàn)衛(wèi)星 ETS-Ⅷ上攜帶了2架19 m×17 m的構(gòu)架式可展開(kāi)天線，該天線能夠與手機(jī)大小的地面移動(dòng)終端進(jìn)行衛(wèi)星通信.構(gòu)架式天線由若干個(gè)相同的模塊組成.每個(gè)模塊包括背部支撐桁架(背架)和金屬反射網(wǎng)2個(gè)部分［5］.由于反射器表面必須是拋物面形狀，相同的背架組成一個(gè)球面，因而兩者之間存在形狀的差異.目前的文獻(xiàn)一般只指出解決此問(wèn)題需要通過(guò)擬合方法，并沒(méi)有給出其采用的方法和分析過(guò)程［6-8］.本文根據(jù)構(gòu)架式可展開(kāi)天線的特點(diǎn)，基于微分幾何及最小二乘法，提出一種工作表面母線的擬合方法.

1 模塊的結(jié)構(gòu)與球面天線背架

1.1 模塊的結(jié)構(gòu)及其展開(kāi)原理

構(gòu)架式可展開(kāi)天線模塊的結(jié)構(gòu)如圖1所示，金屬反射網(wǎng)是天線的工作部分，它下面的張緊索網(wǎng)將金屬反射網(wǎng)張緊成工作所需的狀態(tài).金屬反射網(wǎng)的形面精度的高低直接影響天線工作的好壞.背架是模塊的骨架，背架的形狀類似于一個(gè)截頂?shù)牧忮F，它可以提供高的剛度，展開(kāi)呈六棱柱狀態(tài)，每個(gè)模塊的背架由從中心桿發(fā)散出的6個(gè)相同的基本單元組成，具體如圖2.

背架的展開(kāi)原理與傘的張開(kāi)原理類似［1］.背架由鉸鏈、彈簧、電機(jī)和各種桿件組成.伸展力由位于每個(gè)模塊中心桿上的彈簧來(lái)提供［7］，滑塊與彈簧相連，能在中心桿上上下移動(dòng).展開(kāi)的速度由電機(jī)釋放繩索來(lái)控制.模塊在收攏狀態(tài)時(shí)，彈簧呈完全伸展?fàn)顟B(tài)，它將滑塊推至頂端，同時(shí)滑塊帶動(dòng)斜腹桿，使桿件向中心桿聚攏，實(shí)現(xiàn)收攏.當(dāng)天線展開(kāi)時(shí)，電機(jī)將與滑塊相連的繩索拉緊，滑塊移動(dòng)到下端，天線完成展開(kāi).

圖1 天線的整體與局部結(jié)構(gòu)Fig.1 The whole and part structure of antenna

圖2 基本單元的結(jié)構(gòu)組成Fig.2 Structure composition of basic frame

1.2 構(gòu)架式可展開(kāi)天線的類型

衛(wèi)星天線大多屬于拋物面型天線，按工作表面被截區(qū)域不同，拋物面天線分為正饋型和偏饋型［9］.旋轉(zhuǎn)拋物面被與其同軸的圓柱面所截而得到的那部分曲面是正饋拋物面天線;旋轉(zhuǎn)拋物面被與其旋轉(zhuǎn)軸平行但不同軸的圓柱面所截得的那部分曲面是偏饋型天線，如圖3所示.由于偏饋天線的工作表面沒(méi)有被饋源遮擋，在天線口徑、制造精度、工作頻率相同的前提下，偏饋天線的效率要優(yōu)于正饋天線.正是由于偏饋天線的這一優(yōu)點(diǎn)，構(gòu)架式等很多星載天線都采用這種類型.

圖3 拋物面天線類型Fig.3 Type of parabolic antenna

1.3 可展開(kāi)球面天線背架與工作表面關(guān)系

背架位于金屬反射網(wǎng)的背部，是金屬反射網(wǎng)重要的支撐結(jié)構(gòu).圖4為構(gòu)架式可展開(kāi)天線的剖面示意圖.由于構(gòu)架式天線采用模塊化思想，各模塊具有幾乎相同的結(jié)構(gòu)參數(shù)，因此背架與支撐桿連接的點(diǎn)位于同一個(gè)球面上.而作為天線工作表面的金屬反射網(wǎng)必須是拋物面形狀，這就導(dǎo)致球面背架的節(jié)點(diǎn)與工作表面存在誤差，兩者的差異通過(guò)支撐桿來(lái)調(diào)節(jié)，誤差越大，需要的支撐桿越長(zhǎng).

考慮到天線整體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，支撐桿不易過(guò)長(zhǎng)，根據(jù)文獻(xiàn)［6，10］，模塊邊長(zhǎng)、模塊高度、支撐桿長(zhǎng)度的比值為20∶5∶1.因此需要保證上弦桿上的節(jié)點(diǎn)所在的球面盡可能與天線工作表面相接近.這就需要尋找一種合適的擬合方法來(lái)縮小兩者的差異，并且保證2個(gè)曲面間最大的誤差小于支撐桿的長(zhǎng)度.在對(duì)工作表面進(jìn)行擬合時(shí)，首先要求出工作表面的方程，再通過(guò)擬合的方法，求出背架節(jié)點(diǎn)所在球面的球心坐標(biāo)及半徑.這些數(shù)據(jù)可為天線背架的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ).

圖4 背架與工作表面關(guān)系Fig.4 Relationshipbetween truss structure and working surface

2 天線工作表面的擬合方法

2.1 母拋物面母線方程的確定

天線工作表面為旋轉(zhuǎn)拋物面，天線具有對(duì)稱性，可以將問(wèn)題簡(jiǎn)化為對(duì)拋物線的圓弧曲線擬合.由于工作表面是從母拋物面上切割的一部分，因此需先求出母拋物面的母線方程.如圖5所示為母拋物面母線為工作表面母線.母拋物面母線的焦距與天線的有效口徑的比值通常取f/D＞0.25，在這種情況下饋源位于口徑面外側(cè)，照射更加均勻.根據(jù)文獻(xiàn)［7，11-12］，構(gòu)架式可展開(kāi)天線通常取f/D=0.8.

圖5 偏饋天線示意圖Fig.5 Schematic diagramof offset antenna

天線工作表面是一個(gè)空間曲面，可以認(rèn)為它是一個(gè)由以包絡(luò)矩形［13］的長(zhǎng)邊為母線繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的曲面，同時(shí)母線應(yīng)滿足拋物線方程.即存在一個(gè)由二維平面到三維曲面的變化，反之亦成立.構(gòu)架式可展開(kāi)天線組成模塊的數(shù)量通常為3、7、14等［1］.以7個(gè)模塊組成的構(gòu)架式天線為例，如圖6所示.

圖6 天線平面與空間狀態(tài)Fig.6 Plane state and space state of antenna

圖6中，A和B分別為包絡(luò)矩形的長(zhǎng)邊和短邊，模塊的邊長(zhǎng)為l，D1表示天線展成平面時(shí)的有效口徑，可見(jiàn)天線繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)后的尺寸比平面狀態(tài)時(shí)要小，根據(jù)文獻(xiàn)［4，12］，取天線有效口徑 D=(0.87 ～0.97)D1.

由于天線以長(zhǎng)邊作為母線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，因此，只要保證對(duì)長(zhǎng)邊的擬合精度即可保證對(duì)天線的擬合精度.圖7給出了3種組合的平面矩形包絡(luò)圖.

圖7 不同數(shù)量模塊的矩形包絡(luò)圖Fig.7 Rectangular envelope diagramof different amount ofmodules

根據(jù)三角函數(shù)，可求得3種模塊組合時(shí)包絡(luò)矩形的長(zhǎng)邊、短邊及平面時(shí)的有效口徑，如表1.

表1 包絡(luò)矩形及平面時(shí)有效口徑參數(shù)Table 1 Parameters of enclosure rectangle and effective aperture in plane state

母拋物面母線方程的求解過(guò)程如圖8所示，其方程可表示為

圖8 母拋物面母線方程求解框圖Fig.8 Solving steps ofmother paraboloid＇s generatrix equation

2.2 工作表面母線端點(diǎn)的確定

在母拋物面母線上取弧長(zhǎng)為A的一段曲線，曲線的2個(gè)端點(diǎn)分別為P1和P2，假定天線的偏距為y0，則工作表面母線起點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x0，y0)為已知，因此只要求得終點(diǎn)P1的坐標(biāo)(x1，y1)即可確定工作表面的母線方程，如圖9所示.

由y2=4fx可知:

由式(3)即可求出另一個(gè)端點(diǎn)(x1，y1).天線的物理口徑為

天線的利用率為

圖9 工作表面母線參數(shù)Fig.9 Parameters ofworking surface generatrix

2.3 天線拋物線的擬合方法

圓弧擬合的一般方法有三點(diǎn)共圓法、雙圓弧法等.三點(diǎn)共圓法是圓弧擬合最初始的方法，簡(jiǎn)單而快捷，但曲線上3個(gè)節(jié)點(diǎn)位置的選取對(duì)擬合精度的影響很大，由于擬合出的圓弧通過(guò)給定點(diǎn)，在未給定點(diǎn)處誤差較大，實(shí)際上應(yīng)用很少.雙圓弧法雖然精度較高，但計(jì)算參數(shù)多，計(jì)算量大，擬合效率低，實(shí)際中也很少應(yīng)用［14-15］.利用最小二乘法對(duì)天線拋物線進(jìn)行擬合，擬合的曲線不需要通過(guò)所有的離散點(diǎn)，它能夠很好地反應(yīng)離散點(diǎn)的變化趨勢(shì)，并且可以保證擬合誤差的平方和達(dá)到最小.同時(shí)，擬合出的曲線在拋物線的后部，符合構(gòu)架式天線對(duì)背架位置的要求.因而，本文采用最小二乘法對(duì)天線拋物線進(jìn)行擬合.

在進(jìn)行圓弧擬合時(shí)，最終要得到的是擬合圓弧的圓心坐標(biāo)、圓弧半徑以及擬合誤差.如圖10所示，設(shè)待擬合拋物線方程為y2=4fx，x0≤x≤x1，沿x軸方向，將該拋物線離散成步長(zhǎng)相等的若干個(gè)離散點(diǎn)，設(shè)任意離散點(diǎn)坐標(biāo)為(xi，yi)，i=1，2，…，n.擬合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

式中:(a，b)為圓心坐標(biāo)，r為圓弧半徑.

設(shè)c=a2+b2-r2，將式(6)展開(kāi)并整理得

拋物線上某點(diǎn)到擬合圓弧中心的距離ri與擬合圓弧半徑r之差即為擬合誤差，則離散點(diǎn)i對(duì)最小二乘圓弧的誤差為

圖10 拋物線的圓弧擬合Fig.10 Parabolic fitting with arc

根據(jù)最小二乘法的計(jì)算原則，使擬合誤差的平方和為最小，由求多元函數(shù)極值的必要條件有

由此建立的是非線性方程組，直接求解比較困難.經(jīng)過(guò)分析，ri和 r很接近［15-16］，所以 r2i-r2=(ri+r)(ri-r)≈2rδi，可以看出徑向平方差(r2i-r2)與δi次數(shù)相同，只是相差一個(gè)系數(shù)，可以認(rèn)為兩者相等價(jià)，以(r2i-r2)代替δi可以解決上述問(wèn)題，令

同理，再對(duì) a、b、c求偏導(dǎo)并整理得

通過(guò)式(11)即可求出a、b、c這3個(gè)參數(shù)的值，這樣就可以求得擬合圓弧的圓心坐標(biāo)及圓弧半徑.

2.4 拋物線擬合的誤差修正

由于最后擬合出的圓弧與原拋物線之間的差異是由支撐桿來(lái)調(diào)節(jié)的，因此需要將得到的離散點(diǎn)的擬合誤差與許用的誤差［δ］即支撐桿的長(zhǎng)度進(jìn)行比較.由于支撐桁架在天線工作表面的背部，因此需要重點(diǎn)考慮 δi?(-δmax，0).如果|- δmax|≤［δ］，則擬合結(jié)果滿足精度要求.否則，需要對(duì)擬合曲線進(jìn)行修正.

圖11 誤差修正Fig.11 Error correction

如圖11所示，在擬合曲線段內(nèi)，計(jì)算所有點(diǎn)的誤差，在誤差最大點(diǎn)處，沿徑向移動(dòng)，滿足:

式中:-δmax表示拋物線背部的最大誤差，Δl表示移動(dòng)距離.

從式(12)及圖11可以看出移動(dòng)距離越大，需要的支撐桿長(zhǎng)度越短，結(jié)構(gòu)越穩(wěn)定，但球面背架位于工作表面后部的部分將減少，有效口徑會(huì)隨之減小，天線的工作效率會(huì)降低，所以保證在誤差最大點(diǎn)處移動(dòng)后的距離等于支撐桿長(zhǎng)度即可.

移動(dòng)的方向?yàn)?/p>

式中:θ為徑向與x軸的夾角，(xmax，ymax)為誤差最大點(diǎn)的坐標(biāo).

修正后，擬合圓弧的圓心坐標(biāo)為(a+Δl cosθ，b-Δl sin θ)，圓弧的半徑不變，仍為 r.

3 擬合方法算例

本文用3種不同數(shù)量的模塊組合對(duì)具有相同口徑要求的天線進(jìn)行了工作表面擬合.天線的參數(shù)見(jiàn)表2.

表2 天線參數(shù)Table 2 Parameters of antenna

根據(jù)上述方法，計(jì)算得到包絡(luò)矩形、母拋物面母線方程、起點(diǎn)、終點(diǎn)、擬合圓弧圓心、半徑等參數(shù)，見(jiàn)表3.并得到擬合曲線，如圖12所示.

表3 擬合后得到的天線參數(shù)Table 3 Antenna parameters after fitting

圖12 曲線擬合圖Fig.12 Curve fitting

圖13 擬合誤差曲線Fig.13 Curves of fitting error

表4 擬合誤差對(duì)比Table 4 Comparison of fitting error

從表3及圖12可以看出:3種擬合的曲線均能夠反映母線的變化趨勢(shì).在各自所擬合的母線段內(nèi)圓弧的中部均在母線的左側(cè)即背架在工作表面的后部，符合設(shè)計(jì)要求.設(shè)計(jì)一個(gè)相同口徑的天線時(shí)，7個(gè)模塊組成的天線所需的包絡(luò)矩形的面積最小，并且其利用率最高(81.0%)，其次為 14個(gè)模塊(74.4%)，3 個(gè)模塊的利用率最低(63.3%).分析誤差時(shí)，首先需要研究在母線中部誤差最大點(diǎn)的誤差值.得到3種組合的最大誤差，見(jiàn)表4，它們均小于各自的許用誤差，不需要修正.其次，考慮整個(gè)擬合段內(nèi)各點(diǎn)的誤差值，如圖13所示.

對(duì)圖13中的3條曲線進(jìn)行誤差分析，得到它們的均方根值分別為22.9、11.1、14.2 mm.可見(jiàn)，7 個(gè)模塊的均方根值最小，說(shuō)明它的誤差曲線離散性最小，曲線的擬合精度最高.

4 結(jié)論

本文針對(duì)構(gòu)架式可展開(kāi)天線拋物面形工作表面與球形支撐背架形狀差異的問(wèn)題進(jìn)行了研究，根據(jù)背架的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及展開(kāi)原理，分析了問(wèn)題產(chǎn)生的原因，提出了一種工作表面母線的擬合方法，并通過(guò)算例對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證，得到如下結(jié)論:

1)進(jìn)行誤差修正時(shí)，沿最大誤差點(diǎn)處法線方向移動(dòng)的距離越大，需要的支撐桿長(zhǎng)度越短，結(jié)構(gòu)越穩(wěn)定，但天線有效口徑越小，因此，移動(dòng)距離不宜過(guò)大，保證修正后的距離等于支撐桿長(zhǎng)度即可.

2)對(duì)同一口徑的天線進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，由7個(gè)模塊組成的天線所需包絡(luò)矩形的長(zhǎng)邊最短，天線的利用率最高，擬合誤差最小.

3)算例表明3種組合的最大的擬合誤差均小于各自的許用誤差，不需要進(jìn)行修正.本文方法能夠較好地實(shí)現(xiàn)對(duì)構(gòu)架式可展開(kāi)天線工作表面母線的擬合，可為構(gòu)架式可展開(kāi)天線背架的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ).

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