具有轉(zhuǎn)向點(diǎn)的奇攝動(dòng)二階擬線性邊值問(wèn)題

許國(guó)安，余贊平

（1.華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建泉州362021；2.福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350007）

具有轉(zhuǎn)向點(diǎn)的奇攝動(dòng)二階擬線性邊值問(wèn)題

許國(guó)安1，余贊平2

（1.華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建泉州362021；2.福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350007）

研究具有轉(zhuǎn)向點(diǎn)的奇攝動(dòng)二階擬線性邊值問(wèn)題.在缺乏弱穩(wěn)定的條件下，考慮具有轉(zhuǎn)向點(diǎn)的二階擬線性邊值問(wèn)題，利用經(jīng)典的上、下解方法，證明邊值問(wèn)題解的存在性，并給出了解的一致有效估計(jì).

轉(zhuǎn)向點(diǎn)；邊值問(wèn)題；奇攝動(dòng)；二階擬線性

轉(zhuǎn)向點(diǎn)問(wèn)題是奇攝動(dòng)理論的重要內(nèi)容，在量子力學(xué)、流體力學(xué)、光的傳播，以及化學(xué)反應(yīng)等物理、化學(xué)現(xiàn)象中廣泛出現(xiàn)［1-2］.許多學(xué)者對(duì)此問(wèn)題做了大量研究［3-7］，而這些工作都是在假設(shè)弱穩(wěn)定條件下完成的.本文在缺乏弱穩(wěn)定的條件下，考慮了具有轉(zhuǎn)向點(diǎn)的二階擬線性邊值問(wèn)題.

1 基本假設(shè)

主要考慮的邊值問(wèn)題為

對(duì)于邊值問(wèn)題（1），（2），作如下3點(diǎn)假設(shè).

（H1）退化問(wèn)題

分別存在解u1=u1（t）∈C2［a，t0］與u2=u2（t）∈C2［t0，b］，t0∈（a，b）.

假設(shè)，有

然后，再預(yù)設(shè)區(qū)域有

其中：d1（t），d2（t）為正的連續(xù)函數(shù)；δ≤d1（t），d2（t）≤|u2（t0）-u1（t0）|+δ，并且有

其中：δ為適當(dāng)小的正數(shù).

（H2）設(shè)f（t，y），g（t，y）在D1∪D2上充分光滑.

（H3）設(shè)t=t0為邊值問(wèn)題（1），（2）的m階轉(zhuǎn)向點(diǎn)，有

可以對(duì)轉(zhuǎn)向點(diǎn)的階數(shù)作拓廣，即

在拓廣意義下，研究轉(zhuǎn)向點(diǎn)問(wèn)題.為了描述的方便，作如下定義.

定義1 函數(shù)u（t）在［a，b］中是（Ⅰq）穩(wěn)定的，如果存在正常數(shù)k，使得h（t，u（t））≡0，a≤t≤b，0≤j≤2q，且在D1∪D2上h（t，y）≥k＞0.其中：當(dāng)t∈［a，t0］，h（t，y）=f（t，y）u′1（t）+g（t，y），當(dāng)t∈［t0，b］，h（t，y）=f（t，y）u′2（t）+g（t，y）.

定義2 函數(shù)u（t）在［a，b］中是（Ⅱn）穩(wěn)定的，若u（a）≤A，u（b）≤B，且存在一個(gè)正數(shù)k，使得h（t，u（t））≥0.當(dāng)a≤t≤b，1≤j≤n-1，且在中，h（t，y）≥k＞0.其中：=｛（t，y）|a≤t≤b，0≤y-u（t）≤δ｝.

定義3 函數(shù)u（t）在［a，b］中是（Ⅲn）穩(wěn)定的，如果u（a）≥A，u（b）≥B，而且存在一個(gè)正數(shù)k，使得（je）h（t，u（t））≥0（≤0）.當(dāng)a≤t≤b，1≤j0，je≤n-1，且在中，h（t，y）≤-k＜0（≥k＞0）.其中：j0（je）表示一個(gè)奇（偶）整數(shù).若n是偶（奇）整數(shù)，=｛（t，y）|a≤t≤b，-δ≤y-u（t）≤0｝.

2 主要結(jié)果

引理1 如果假設(shè)H1，H2成立，而且退化軌道u（t）在［a，b］中是（Ⅰq）或（Ⅱn），（Ⅲn）穩(wěn)定的，則有u1（t0）=u2（t0）.

證明 不妨設(shè)退化軌道是（Ⅱn）穩(wěn)定的（另兩種穩(wěn)定情形的證明類(lèi)似）.

令h（t，y）=f（t，y）u′（t）+g（t，y）.假設(shè)u1（t0）≠u(mài)2（t0），u1（t0）＜u2（t0），則有

這與f（t0，u1（t0））u′1（t0）+g（t0，u1（t0））-f（t0，u2（t0）u′2（t0））-g（t0，u2（t0））=0矛盾.

同理可證，當(dāng)u1（t0）＞u2（t0）時(shí)，也存在矛盾，故假設(shè)不成立.即u1（t0）=u2（t0）.

由引理1的結(jié)論可知，在假設(shè)穩(wěn)定的條件下，滿足左右邊界的退化解在轉(zhuǎn)向點(diǎn)處一定是相連的，即退化軌道是連續(xù)的.

定理1若假設(shè)H1，H2，H3成立，且退化軌道u（t）是（Ⅰ0）穩(wěn)定的.則存在ε0＞0，使得對(duì)于0＜ε≤ε0時(shí)，邊值問(wèn)題（1），（2）存在解y=y（t，ε），并滿足

|y（t，ε）-u（t）|≤v1（t，ε）+εcp.

證明 不妨假定u′1（t0）≤u′2（t0），對(duì)于t∈［a，b］和ε＞0，定義

其中：c1為某一充分大的正數(shù)；r≥|u″0|.

上式中：ξ介于u（t）與α（t，ε）之間；t∈［a，t0）∪（t0，b］.

至于β，注意到v1是εv″=kv在（a，t0）∪（t0，b）中的解，滿足

且

其中：K為某一適當(dāng)大的正數(shù).

α，β分別是邊值問(wèn)題（1），（2）的下解與上解.故由二階微分方程微分不等式理論［6］可知，邊值問(wèn)題（1），（2）存在解y=y（t，ε）滿足

|y（t，ε）-u（t）|≤v1（t，ε）+εcp.

當(dāng)0＜n＜2時(shí)，p=m/2；而當(dāng)m≥2時(shí)，p=1.

定理2 假設(shè)H1，H2，H3成立，且退化軌道u（t）是（Ⅰq）（q≥1）穩(wěn)定的.當(dāng)轉(zhuǎn)向點(diǎn)的階數(shù)m＞1+1/q時(shí)，存在ε0＞0，使得對(duì)于0＜ε≤ε0時(shí)，邊值問(wèn)題（1），（2）存在解y=y（t，ε），滿足

證明 類(lèi)似于定理1的證明.假定u′1（t0）≤u′2（t0）.對(duì)于t∈［a，b］和ε＞0，定義

類(lèi)似于定理1，α在t=t0點(diǎn)不一定可微，但有，且

且

因此，β在t0點(diǎn)可微，且有

α，β分別是邊值問(wèn)題（1），（2）的下、上解.由二階微分方程微分不等式理論［6］可知，邊值問(wèn)題（1），（2）存在解y=y（t，ε），滿足

若退化軌道u（t）是Ⅱn或Ⅲn穩(wěn)定時(shí).

以上討論，對(duì)Robin邊值問(wèn)題

同樣也是有效的，且可得到類(lèi)似的結(jié)論.

3 例子

如邊值問(wèn)題

易求得退化問(wèn)題

式（4），（5）分別存在解u1=-t與u2=t，且u1（0）=u2（0）=0，u′1（0-）=-1≠u(mài)′2（0+）=1.

|y（t，ε）-|t||≤v1（t，ε）+εcp.

［1］NAYFEH A H.Perturbation methods［M］.New York：Wiley，1973.

［2］O’MALL EY R E Jr.Introduction to singular perturbations［M］.New York：Academic Press，1974.

［3］周軟德.具有轉(zhuǎn)向點(diǎn)的奇攝動(dòng)邊值問(wèn)題［J］.東北數(shù)學(xué)，1986，2（1）：100-110.

［4］蔡建平，林宗池.具有轉(zhuǎn)向點(diǎn)的三階半線性奇攝動(dòng)邊值問(wèn)題解的存在性［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，1993，14（12）：1035-1039.

［5］吳欽寬，張祥.具有轉(zhuǎn)向點(diǎn)的奇攝動(dòng)非線性邊值問(wèn)題解的一致有效估計(jì)［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)，1995，8（2）：231-238.

［6］章國(guó)華，侯斯FA.非線性奇異攝動(dòng)現(xiàn)象：理論和應(yīng)用［M］.福州：福建科學(xué)技術(shù)出版社，1989：6-15，28-31.

［7］吳欽寬.一類(lèi)奇攝動(dòng)非線性邊值問(wèn)題激波解的間接匹配［J］.華僑大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，27（2）：123-125.

Singular Perturbation of Second Order Quasilinear Boundary Value Problem with Turning Point

XU Guo-an1，YU Zan-ping2
（1.School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China；2.School of Mathematics and Computer Science，F(xiàn)ujian Normal University，F(xiàn)uzhou 350007，China）

In this paper，we study the singularly perturbation of second order quasilinear boundary value problem with turning point.Under the lost of weakness stability，using the method of upper and lower solution，we prove the existence of solutions and get the uniformly valid asymptotic estimation of solutions.

turning point；boundary value problem；singular perturbation；seand order quasilinear

O 175.1

A

1000-5013（2010）03-0346-05

（責(zé)任編輯：陳志賢 英文審校：張金順，黃心中）

2009-05-19

許國(guó)安（1981-），男，講師，主要從事微分方程奇異攝動(dòng)理論的研究.E-mail：xga99163@163.com.

國(guó)務(wù)院僑辦科研基金資助項(xiàng)目（07QZR09，09QZR10）