基于HPM的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐探究

●劉 超 (新疆石河子大學(xué)師范學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆石河子 832003)

引言

HPM(History and Pedagogy of Mathematics)意指數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的聯(lián)系，它作為一個學(xué)術(shù)領(lǐng)域出現(xiàn)，始于1972年.HPM研究的目標(biāo)是通過數(shù)學(xué)歷史的運(yùn)用，提高數(shù)學(xué)教育的水平.HPM關(guān)注的內(nèi)容包括：數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系、多元文化的數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)史與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展、發(fā)生教學(xué)法、數(shù)學(xué)史與學(xué)生的困難、數(shù)學(xué)原始文本在教學(xué)中的應(yīng)用等.

截至目前，數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)教育的重要價值已在國內(nèi)得到廣泛重視.數(shù)學(xué)大師吳文俊先生說數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)史是分不開的.數(shù)學(xué)方法論專家徐利治先生認(rèn)為數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的結(jié)合是數(shù)學(xué)教育改革的一個重要方向.數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生稱數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)教育的有機(jī)組成部分.數(shù)學(xué)教學(xué)論專家宋乃慶教授則提出數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育相互需要、相互依存、不可分割.截至目前，國內(nèi)共召開了3屆數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育會議.分別是2005年5月在西北大學(xué)召開的“第一屆全國數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育會議”;2007年4月在河北師范大學(xué)召開的“第二屆全國數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研討會暨第七屆全國數(shù)學(xué)史會議”;2009年5月在北京師范大學(xué)召開的“第三屆全國數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育國際研討會暨白尚恕教授文集首發(fā)式”.3屆HPM會議共有來自全國30多個省、市以及國際上的有關(guān)專家、學(xué)者500余人參加，共收到論文260余篇，安排40余場大會報告，200多個分組報告.會議代表有高等院校、研究機(jī)構(gòu)的專家、教師，也有來自中小學(xué)一線的數(shù)學(xué)教師;有德高望重的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史家、數(shù)學(xué)教育家，也有初窺門庭的相關(guān)專業(yè)研究生.3屆HPM會議的主題均涉及數(shù)學(xué)史的教育價值、數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中應(yīng)用的實(shí)踐開發(fā);數(shù)學(xué)史與新課程的整合、HPM案例的研制開發(fā)、數(shù)學(xué)史研究進(jìn)展、數(shù)學(xué)文化與素質(zhì)教育、數(shù)學(xué)教育中數(shù)學(xué)史的運(yùn)用、數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)史課程研究、HPM相關(guān)理論與案例研究、外國數(shù)學(xué)史(包括比較數(shù)學(xué)史)、中國數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的國際比較研究等［1-3］.此外，國內(nèi)各類期刊中的HPM文章也逐漸增多，表現(xiàn)出HPM研究的良好前景.

但是，作為一個研究領(lǐng)域，大家對HPM的功能與作用的認(rèn)識顯得比較混亂，有些內(nèi)容顯然偏離了HPM作為數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教學(xué)中介的研究領(lǐng)域.例如國內(nèi)許多HPM方面的學(xué)術(shù)論文主要探討在數(shù)學(xué)課程中添加數(shù)學(xué)史料，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)行愛國主義教育等.這些論述大都停留在表面上，沒有起到數(shù)學(xué)史應(yīng)有的作用和育人功能.實(shí)際上，作為數(shù)學(xué)走向數(shù)學(xué)教學(xué)的中介，HPM的功能在于通過數(shù)學(xué)史尋找數(shù)學(xué)教育的規(guī)律和經(jīng)驗(yàn)，把數(shù)學(xué)知識的歷史形態(tài)加工整理成教師和學(xué)生能夠方便使用的教育形態(tài)，使數(shù)學(xué)史為生動活潑的數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù).隨著HPM研究的深入開展，數(shù)學(xué)史為數(shù)學(xué)教育服務(wù)需要從理論走向?qū)嵺`，學(xué)術(shù)界也日益注重數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的可操作性具體方法的探討［4］.本文擬給出以下幾種具體的操作方法，旨在拋磚引玉，以期有更多的、更有效的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育整合方式的產(chǎn)生.同時，不容忽視的是，一線教師是HPM理念付諸實(shí)施的最佳人選，加強(qiáng)教師的數(shù)學(xué)史修養(yǎng)必須提到議事日程上來.

1 “數(shù)學(xué)史—?dú)w納”方式

教學(xué)流程 提出問題→回顧歷史→重演歷史(過程呈現(xiàn)→歸納總結(jié))→形成定理、公式、方法→定理、公式、方法的運(yùn)用.

具體操作 第1步，在教學(xué)開始時先設(shè)置問題情境，經(jīng)過學(xué)生分析和推敲，教師提出或?qū)W生自己得出這節(jié)課所要面對的和要解決的問題;第2步，教師向?qū)W生介紹與這個問題相關(guān)的歷史背景;第3步，呈現(xiàn)歷史上對這個問題的思考、解決方法，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行總結(jié);第4步，形成對這個問題的正確認(rèn)識，形成定理、公式、方法;第5步，在歸納出概念、定理、方法的基礎(chǔ)上，運(yùn)用其解決問題，以加深理解.

教學(xué)實(shí)例 二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)求根公式的推導(dǎo).

教科書中是利用配方法給出ax2+bx+c=0(a≠0)求根公式的：

然而在代數(shù)學(xué)發(fā)展的初期，許多代數(shù)問題是利用幾何知識解決的.下面重現(xiàn)古埃及推導(dǎo)二次方程求根公式的方法.先提出如下問題：一正方形與一以此正方形邊為寬的長方形(長為b)面積之和為c，求正方形的邊長.

由于尼羅河的定期泛濫，土地測量人員不得不多次丈量土地，久而久之，即形成了利用“出入相補(bǔ)”原理推導(dǎo)二次方程求根公式的方法［5］.

進(jìn)行如圖1所示的操作，將長方形分割為2個相等的小長方形，把其中一個小長方形放到正方形

圖1

如何解ax2+bx=c(a≠0)?不難發(fā)現(xiàn)，若將

特點(diǎn)分析 “數(shù)學(xué)史—?dú)w納”方式是以歷史為背景，以大量比較一致的史料為題材，對教學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行分析、概括和提煉，歸納抽取出定理、公式、方法.這是數(shù)學(xué)史教學(xué)的常用方式，它比較簡單、便捷.上課時，教師娓娓道來，學(xué)生的思維強(qiáng)度較低，有很好的故事性和情趣性.學(xué)生學(xué)習(xí)時能獲得良好的心理感受，在故事中略作思考，通過歸納，便可得出結(jié)論.這一方式比較適合于低年級學(xué)生，或者作為理性抽象的數(shù)學(xué)課堂的一種調(diào)節(jié)，其簡單的操作方式完全符合全民普及性教育、科學(xué)素養(yǎng)提升、人文和科學(xué)結(jié)合的時代要求.

2 “數(shù)學(xué)史—沖突會話”方式

教學(xué)流程 提出問題→回顧歷史→重演歷史(呈現(xiàn)觀點(diǎn)→形成沖突→會話辨析)→建立概念、定理、方法→概念、定理、方法的運(yùn)用.

具體操作 第1步、第2步同上.第3步，提供歷史上對這個問題的思考、相矛盾的觀點(diǎn)，并提供相關(guān)的原始文獻(xiàn)，讓學(xué)生形成強(qiáng)烈的思維沖突.靜心思考后，學(xué)生分成兩派進(jìn)行對話、辯論.根據(jù)實(shí)際情況，教師可以作為思維的引導(dǎo)點(diǎn)撥者、輔助者，也可以是弱派的支持者，并可變換立場，使辯論均衡，也可以成為老觀念的衛(wèi)道者.所謂真理越辯越明，最后慢慢讓全班的學(xué)生立場都站到正確的或更具優(yōu)勢的認(rèn)識上.第4步，表達(dá)出正確的觀念，讓學(xué)生在會話辨析中建構(gòu)新的概念、規(guī)律.第5步，同上.

教學(xué)實(shí)例 負(fù)數(shù)教學(xué)

盡管負(fù)數(shù)及其運(yùn)算法則在16世紀(jì)就已經(jīng)產(chǎn)生，但直到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家仍然不用負(fù)數(shù).在他們看來負(fù)數(shù)是荒謬的，負(fù)數(shù)是否是“數(shù)量”?一個小于0的“數(shù)量”表示什么?歷史上的數(shù)學(xué)家因?yàn)檎也坏截?fù)數(shù)的對應(yīng)物，而不能理解它，甚至拒絕接受它，但他們又無法否認(rèn)負(fù)數(shù)在形式推導(dǎo)上是正確的.因此，有的數(shù)學(xué)家雖在思想上不承認(rèn)它，但仍然讓它參與數(shù)量運(yùn)算.數(shù)學(xué)家之所以遲遲不能接受負(fù)數(shù)，是因?yàn)樵跀?shù)軸上表示數(shù)時，僅僅認(rèn)為數(shù)具有大小的特征，而沒有看到它們在數(shù)軸上又表現(xiàn)為一種順序關(guān)系;不僅在數(shù)軸的正向有順序關(guān)系，在數(shù)軸的反向也具有順序關(guān)系.數(shù)學(xué)家只有在用負(fù)數(shù)來表示虧損或負(fù)債的時候，才能理解負(fù)數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義，才認(rèn)識到數(shù)在另一個方向上也有大小和順序，才承認(rèn)負(fù)數(shù)是客觀實(shí)在的數(shù).這也是學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)必然要克服的“認(rèn)識論障礙”.

特點(diǎn)分析會話是協(xié)作過程中不可缺少的環(huán)節(jié)，是達(dá)到意義建構(gòu)的重要手段之一.采用“數(shù)學(xué)史—沖突會話”的教學(xué)方式，逐步養(yǎng)成學(xué)生敢于質(zhì)疑、善于交流、樂于合作的科學(xué)態(tài)度.同時，針對一些抽象的概念、規(guī)律設(shè)計一些討論題，可以使學(xué)生對問題的認(rèn)識更為清晰，從而使知識成為思維的必然結(jié)果.事實(shí)上，這種教學(xué)模式對師生的要求都很高.它要求教師深刻領(lǐng)會先哲的觀點(diǎn)，特別是“錯誤觀點(diǎn)”;要求學(xué)生具有較好的科學(xué)理性和思辨能力，讓學(xué)生認(rèn)識到：錯誤也有合理性，正確只是更具優(yōu)越性，理論是不斷發(fā)展的和沒有終結(jié)的.

3 “數(shù)學(xué)史—探究”方式

教學(xué)流程 提出問題→回顧歷史→重演歷史(猜想與假設(shè)→設(shè)計實(shí)驗(yàn)→進(jìn)行實(shí)驗(yàn)→分析與論證)→“創(chuàng)造公式、方法”→公式、方法的運(yùn)用.

具體操作第1步、第2步同上.第3步，提供歷史上對這個問題的思考、實(shí)例以及歷史上對這個問題提出的猜想或假說.根據(jù)這個猜想與假說提出方案，設(shè)計實(shí)驗(yàn)，并進(jìn)行實(shí)際操作，記錄數(shù)據(jù)，分析論證結(jié)果.第4步，引導(dǎo)學(xué)生建立和創(chuàng)造公式、方法.第5步，同上.

教學(xué)實(shí)例勾股定理

教師首先引入勾股定理，介紹數(shù)學(xué)史上是如何發(fā)現(xiàn)勾股定理的.設(shè)計實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)勾股定理.為使實(shí)驗(yàn)便于操作，可以工作單的形式給出具體的操作流程.

工作單1在方格紙內(nèi)斜放一個正方形，正方形的4個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，每個小方格的邊長為1個單位長度，怎樣計算正方形的面積?

工作單2直角三角形的2條直角邊和斜邊之間有什么關(guān)系?用前面的方法進(jìn)行試驗(yàn)，分別計算2條直角邊的平方與斜邊的平方.將得到的數(shù)據(jù)列表，猜測2條直角邊與斜邊之間可能的關(guān)系.

工作單3直角三角形2條直角邊的平方和等于斜邊的平方，這一命題是從以上幾個特殊例子中得出的.對于一般的直角三角形，它是否成立呢?請同學(xué)們選擇一般的直角三角形，仍用上面的方法加以驗(yàn)證.

工作單4請用直角邊長為a，b，斜邊長為c的4個直角三角形，拼成至少含有一個正方形的正方形，并比較不同拼圖之間的面積關(guān)系.此舉是啟發(fā)學(xué)生計算各種拼圖的面積，得到另一種關(guān)于勾股定理的確認(rèn).

工作單5變式練習(xí)，加強(qiáng)對勾股定理的掌握和靈活運(yùn)用.

特點(diǎn)分析“數(shù)學(xué)史—探究”方式是對歷史最具體的重演，是很好的過程體驗(yàn)教學(xué)方式.重演的過程中蘊(yùn)涵了大量的方法和哲學(xué)思想.這些深刻的數(shù)學(xué)思想會對學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的提高起到積極有效的作用.通過實(shí)驗(yàn)，用鐵的事實(shí)告訴學(xué)生正確的科學(xué)規(guī)律.整個過程能充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的學(xué)科特征，這也是“數(shù)學(xué)史—探究”方式最需要體現(xiàn)的過程和思想.“數(shù)學(xué)史—探究”方式的教學(xué)過程往往比較費(fèi)時、費(fèi)力，同時也要求對應(yīng)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容本身具有很深刻的方法和思想.教師要充分準(zhǔn)備，深入了解歷史事件，并在遵從歷史事實(shí)的基礎(chǔ)上，作出合理取舍，設(shè)計出符合中學(xué)生思維和認(rèn)識水平的教學(xué)方案，讓學(xué)生感受教學(xué)過程，對學(xué)生能力和素質(zhì)的提高具有積極意義.

4 教師的數(shù)學(xué)史修養(yǎng)是HPM理念付諸實(shí)施的必要前提

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育整合的理念對于數(shù)學(xué)教育有著重要的現(xiàn)實(shí)意義.數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)教學(xué)來說是一種十分有效、不可或缺的工具.歷史能夠幫助教師按自然的順序呈現(xiàn)各個數(shù)學(xué)概念，盡可能地減小各個知識點(diǎn)之間的跨越度，為開展課堂活動提供生動而有意義的資料.盡管數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)教育的作用已逐漸得到廣大數(shù)學(xué)教育工作者的肯定，但課堂教學(xué)的實(shí)踐卻多少有些讓人氣餒.研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的現(xiàn)狀不容樂觀.在中學(xué)，大部分教師都是按照課本的要求進(jìn)行教學(xué)的，很少有教師尋求各部分知識在歷史上是如何出現(xiàn)的，課本為什么以這種方式來呈現(xiàn)，怎么把課本上呈現(xiàn)的知識與歷史上知識產(chǎn)生的過程去結(jié)合?究其原因，在于在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史面臨諸多困難，而這些困難直接影響著HPM的理想的實(shí)現(xiàn).而在這諸多的困難中，首當(dāng)其沖地是中學(xué)一線教師缺乏必要的歷史知識.造成教師數(shù)學(xué)史知識缺乏的一個直接原因是缺少這方面的教育.盡管數(shù)學(xué)史已被公認(rèn)為師范教育以及大中學(xué)校學(xué)生自由教育中的重要學(xué)科，但從世界范圍看，在教師教育過程中數(shù)學(xué)史課程是普遍被忽視的，即便是開設(shè)了數(shù)學(xué)史課程，對數(shù)學(xué)史的教育也很少關(guān)注.

我們認(rèn)為，為了實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史與課堂教學(xué)的有效整合，首先，教師必須了解本學(xué)科的基本發(fā)展史.實(shí)際上，在教師教育的計劃中，開設(shè)數(shù)學(xué)史的課程應(yīng)該是教育取向的數(shù)學(xué)史課程.數(shù)學(xué)史教育者，尤其是教師教育者的一個重要任務(wù)就是精心選擇那些和教師將來的教學(xué)有關(guān)的數(shù)學(xué)史知識，并對它們的教育意義加以分析.這個任務(wù)，需要聯(lián)合數(shù)學(xué)史家和數(shù)學(xué)教育家的共同力量來完成.在這個基礎(chǔ)上，確定其中關(guān)鍵的發(fā)展步驟，譬如一些認(rèn)知障礙的出現(xiàn).然后再按照課堂和學(xué)生的實(shí)際情況重新構(gòu)建這些關(guān)鍵步驟，直接或間接地使用歷史材料設(shè)計教學(xué)方案.歷史資料是教學(xué)設(shè)計、教學(xué)實(shí)驗(yàn)的靈感來源和控制手段，但是使用歷史并非簡單地重復(fù)歷史事件或評論歷史事實(shí)，正如弗萊登塔爾所說：我們不應(yīng)該重蹈發(fā)明者的足跡，而是通過改良使歷史過程有更好的引導(dǎo)作用［7］.對于一線教師來說，必須謹(jǐn)慎地對待歷史和教學(xué)，需考慮到2種環(huán)境的不同：歷史與課堂的優(yōu)勢和局限分別是什么.只有做好兩手充分準(zhǔn)備，才能根據(jù)不同水平、不同類型的學(xué)生，恰如其分地將歷史的資料轉(zhuǎn)化為教學(xué)的材料.

鑒于以上分析，在高師院校對未來的數(shù)學(xué)教師開設(shè)數(shù)學(xué)史課程是非常必要的，特別是開設(shè)的課程要注重挖掘數(shù)學(xué)史料的教育價值.另外，對于在職教師而言，以各種形式提高他們的數(shù)學(xué)史修養(yǎng)也非常必要.可效仿國際上比較常用的方式，考慮以學(xué)校為中心，組織教師開展HPM的實(shí)踐活動，這不僅可以增強(qiáng)教師的HPM素養(yǎng)，而且還可以促進(jìn)他們在各方面的專業(yè)發(fā)展［8］.此外，將HPM專題作為在職教師培訓(xùn)的一個新課程也是可取的.

［1］ 第一屆全國數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育會議論文集［C］.西安：西北大學(xué)，2005.

［2］ 第二屆全國數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育會議論文集［C］.石家莊：河北師范大學(xué)，2007.

［3］ 第三屆全國數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育會議論文集［C］.北京：北京師范大學(xué)，2009.

［4］ 汪曉勤，張曉明.HPM研究的內(nèi)容與方法［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2006，15(2)：16-18.

［5］ 李文林.數(shù)學(xué)史概論［M］.北京：高等教育出版社，2002：33-35.

［6］ 劉超.負(fù)數(shù)的歷史及其啟示［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)，2009(5)：24-25.

［7］ Freudenthal H.Didactical Phenomenology of Mathematical Structures［M］. Dordrecht：Reidel Publishing Company，1983：133.

［8］ John Fauvel，Maanen J.Van.History in the Mathematics Education［M］.Dordrecht：Kluwer Acadejic Publishers，2000.