廣義極小非冪零群

李千路

(山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院,山西大同037009)

廣義極小非冪零群

李千路

(山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院,山西大同037009)

若有限群非冪零但其所有真子群均冪零，則稱其為一個極小非冪零群.一類群稱為廣義極小非冪零群，如果它有一個非冪零真子群使得其它不包含在這個子群中的所有真子群均為冪零的.證得這類群可解，并討論了該類群的子群的性質.

冪零群 極小非冪零群 可解性

1 引論

首先考慮一些符號與概念.設P是一個素數(shù)，P是一個P-群.J(P)表示P的所有具有極大秩的交換子群生成的群.則J(P)是P的特征子群.有限群G為一個極小非冪零群,若它本身非冪零但其所有真子群均冪零[1].

O.J.Schmidt證得：若非冪零有限群的極大子群均冪零 (即極小非冪零群)，則該群可解，并且群階所含素因子個數(shù)為2.文獻[2]研究了廣義冪零群中的極大子群對群結構的影響.Thompson改進了O.J.Schmidt的結果：如果有限群含有一個奇數(shù)階冪零極大子群，則該群可解.A.Ballester-Bolinches與X.Y.Guo又推廣了Thompson的結果:若有限群G有一個冪零極大子群M,并且M具有一個2-Sylow子群P使得P與G′交中的2階元與4階元生成的子群包含在P的中心中，則可解[3].施武杰等進一步推廣了上述結果：若P為非四元數(shù)群并且P與G′交中的2階元生成的子群包含在Z(G′)的中心中，則G可解[4].

本文運用群的非冪零子群的性質來研究群的可解性及群的結構，推廣極小非冪零群概念，改進O. J.Schmidt定理.文章所考慮的群均為有限群.π(G)表示群G的階中所含素因子的集合，H＜·G表示H為G的極大子群.其它記號均為標準的.

2 主要結果

我們引入：

定義群G叫做一個廣義極小非冪零群，若G含有非冪零真子群H使得G的任何不包含在H中的真子群均為冪零的.

為方便起見，用g(G,H)表示上述定義中G關于H的廣義極小非冪零群.

引理1設g(G,H)是一個廣義極小非冪零群，則H是G的正規(guī)極大子群.

證明如果存在子群L使得H

故H是G的一個極大子群.

假設有g∈G使得Hg≠H,則推出Hg冪零,從而H也冪零，矛盾.故H在G中正規(guī).

下面是Thompson關于群p-冪零的一個著名結果：

引理2設G是一個有限群，p是一個奇素數(shù)，P是G的一個Sylowp-子群.則G是p-冪零群的充分必要條件是NG(J(P))與CG(Z(P))均為p-冪零的.

定理 g(G,H)可解.

證明 假定定理結論不成立，并假設G是一個極小反例.則

(1)若A是G的一個真正規(guī)子群，則有A≤H.

事實上，若A■H,則A冪零.

若A∩H>1,則H/A∩H≌G/A不可解，因為G不可解.

設L/A∩H■H/A∩H,并且L/A∩H≠G/A∩H.

則L■H并且L≠G.因而,L/A∩L冪零.

于是G/A∩H是關于H/A∩H的廣義極小非冪零群.

由極小性假定知G/A∩H可解，從而G也可解，矛盾.

故A∩H=1，從而G=A×H.

如果有R

故H為極小非冪零群，由O.J.Schmidt定理知H可解，從而G可解，矛盾.

故A≤H.

(2)若A是G的一個非平凡真正規(guī)子群，則A非冪零.

若A=H，則顯然成立.故由(1)只需考慮A

假如A冪零，則G/A不可解.

若H/A非冪零，則G/A是關于H/A的廣義極小非冪零群.

推出G可解，矛盾.故H/A冪零，又有G可解.

故A非冪零.

(3)存在奇素數(shù)p使得G為p-冪零的.

設N是G的包含在H中的極小正規(guī)子群，｜G∶H｜=p，(p為素數(shù)).

則G=NP,其中P為G的Sylowp-子群.

由(2)知N非冪零，故N不能是2-群.

又G不可解，推出N也不可解.

故｜π(N)｜>2.設q‖N｜為奇素數(shù)，Q∈Sylq(N)= Sylq(N).

由Frattini定理：G=NNG(Q).

由N極小正規(guī)知NG(Q)

又NG(Q)■H.故M冪零.再由(2)知M在G中的核為1.

但J(Q)在G中不正規(guī)，推出NG(J(Q))=M.

同理可知NG(Z(Q))=M，根據(jù)引理2，G為q-冪零的.

故G=QOq′(G).又P≤Oq′(G)，故Oq′(G)■H.

推出Oq′(G)冪零，從而G可解.

[1]Robinson D J.A course in the theory of groups[M].Springe-Verlag,New York/Heidelberg/Berlin:1982.

[2]李千路，李秀蘭.廣義冪零群中極大子群的性質[J].山西大同大學學報:自然科學版,2009,25(4):1-2.

[3]Ballester-Bolinches A.Guo X.Some results on p-nilpotence and solubility of finite groups[J].J Algebra,2000,228:491-496.

[4]Shi J,Shi W,Zhang C.A note on p-nilpotence and solvability of finite groups[J].J Algebra,2009,321:1555-1560.

Abstract:If a finite group is not nilpotent but all of its proper subgroups are nilpotent,then call it a minimal non-nilpotent group.In this paper，call a finite group a generalized minimal non-nilpotent group,if it possesses a proper non-nilpotent subgroup such that any other subgroup not contained in this subgroup is nilpotent.The author proves this group is soluble and discusses the properties of its subgroups.

Key words:nilpotent groups;minimal non-nilpotent groups;soluble

〔編輯 高?！?/p>

Generalized Minimal Non-nilpotent Groups

LI Qian-lu
(School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

O151.22

A

1674-0874(2010)04-0001-02

2010-03-02

教育部回國留學基金[2008-101];山西省回國留學基金[2007-99];山西大同大學博士基金項目[2008-B-02].

李千路（1962-），男，山西聞喜人，博士，教授，研究方向：群論.