淺論數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

汪立新

（周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，河南 周口 466001）

淺論數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

汪立新

（周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，河南 周口 466001）

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力是一條有效的途徑。把數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)可以從分析處理教材、組織教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和學(xué)法指導(dǎo)、知識(shí)應(yīng)用過(guò)程等方面著手。

數(shù)學(xué)建模；高等數(shù)學(xué)；運(yùn)用

高等數(shù)學(xué)是高校數(shù)學(xué)及理工專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)課和工具課，教學(xué)中一個(gè)很突出的任務(wù)就是培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力。數(shù)學(xué)模型是溝通實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)工具之間的橋梁，建立和處理數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，實(shí)際上就是將數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際的過(guò)程。在高數(shù)教學(xué)過(guò)程中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)建模的思想，介紹并運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的基本方法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力將是一條有效的途徑。

一、在分析處理教材時(shí)采用數(shù)學(xué)建模的觀點(diǎn)

用數(shù)學(xué)建模的觀點(diǎn)分析高等數(shù)學(xué)教材，不難發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)建模素材，從知識(shí)點(diǎn)的引入、理論體系的建立、知識(shí)的應(yīng)用等各個(gè)方面，均體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的過(guò)程和思想方法，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)與現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)教學(xué)秩序并不矛盾。關(guān)鍵是教師要轉(zhuǎn)變觀念，把數(shù)學(xué)建模的觀點(diǎn)恰當(dāng)?shù)厝谌虢虒W(xué)之中，從全新的角度組織教學(xué)體系，為課堂教學(xué)注入新的生機(jī)和活力。

在處理教材中應(yīng)注意到以下幾個(gè)方面：注重以實(shí)例引入知識(shí)點(diǎn)，并最終回到數(shù)學(xué)應(yīng)用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程和數(shù)學(xué)應(yīng)用的思想；注重基本概念和基本方法的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)原理和方法分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力；遵循基礎(chǔ)理論知識(shí)以必需夠用為度的原則，不過(guò)分追求理論上的嚴(yán)密性，適度注意保持?jǐn)?shù)學(xué)自身的系統(tǒng)性與邏輯性；結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容，適當(dāng)安排用數(shù)學(xué)軟件包Mathematica進(jìn)行相應(yīng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)容。

二、在組織教學(xué)內(nèi)容過(guò)程中貫穿數(shù)學(xué)建模思想

注重概念的形成過(guò)程，通過(guò)用學(xué)生熟知的、貼近生活的實(shí)例引入概念，讓學(xué)生從多方面、多角度體會(huì)概念是從客觀事物的數(shù)量關(guān)系中抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型，還原概念的本質(zhì)。例如，在講授分段函數(shù)時(shí)，可以從實(shí)際中一些分段函數(shù)引入，諸如：郵資函數(shù)、電話(huà)計(jì)費(fèi)函數(shù)、出租車(chē)計(jì)費(fèi)函數(shù)、個(gè)人所得稅納稅額度函數(shù)等，讓學(xué)生充分理解這些實(shí)際背景，有利于學(xué)生對(duì)分段函數(shù)這一概念的理解和掌握，更便于掌握其相應(yīng)的性質(zhì)及左右極限、左右連續(xù)的概念。再如，導(dǎo)數(shù)的概念，其實(shí)質(zhì)就是一個(gè)相對(duì)變化率的極限問(wèn)題，教學(xué)中除了引用經(jīng)典的例子：變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度、平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率外，還引入了電流強(qiáng)度、密度、化學(xué)反應(yīng)速度、成本變化率、需求量對(duì)價(jià)格的彈性等常見(jiàn)的實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)對(duì)照這些實(shí)際原型并從中篩選有用的信息和數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決問(wèn)題。不僅使學(xué)生加深了對(duì)導(dǎo)數(shù)概念本質(zhì)的理解，而且認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)不是孤立的，它與其他領(lǐng)域存在著緊密的聯(lián)系。

挖掘數(shù)學(xué)課程中蘊(yùn)涵的豐富的數(shù)學(xué)建模素材，應(yīng)適當(dāng)穿插介紹數(shù)學(xué)建模思想方法，對(duì)某些數(shù)學(xué)問(wèn)題改用構(gòu)建模型來(lái)解決，要通過(guò)建模展示數(shù)學(xué)思想的形成過(guò)程，淡化嚴(yán)格的形式化和推理過(guò)程，注重實(shí)際應(yīng)用，這也是高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革中的一個(gè)方向。如，在講解重要極限時(shí)，尤其是重要極限學(xué)生往往會(huì)產(chǎn)生疑惑：這種類(lèi)型的函數(shù)極限作用究竟在哪里？學(xué)它干嗎？事實(shí)上，該極限就是連續(xù)復(fù)利函數(shù)的模型。設(shè)本金為A，年利率為r，如果以復(fù)利計(jì)息，t年末的本利和為Ar，則這是一年計(jì)息1期，t年末的本利和公式。如果一年計(jì)息不是1期，而是計(jì)息n期，則每期利息為于是 t年末的本利和為如果每年計(jì)息周期無(wú)限縮短，從而計(jì)息次數(shù)n→∞，這種情況就是連續(xù)復(fù)利問(wèn)題，從而得到t年末的本利和這樣，通過(guò)與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的聯(lián)系，把枯燥、抽象的數(shù)學(xué)概念具體化、問(wèn)題化、實(shí)用化，便于學(xué)生的理解和掌握，也增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣和熱情。

教學(xué)中還可以適當(dāng)增加一些數(shù)學(xué)建模的經(jīng)典范例，范圍可從幾何、物理領(lǐng)域擴(kuò)充到諸如工程、人口、經(jīng)濟(jì)、生物、醫(yī)藥、日常生活特別是專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域。通過(guò)這些實(shí)例的研究，使學(xué)生真切感受數(shù)學(xué)知識(shí)在各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用，深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，并學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)化思維解決實(shí)際問(wèn)題，以增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力。

三、在教學(xué)方法和學(xué)法指導(dǎo)上體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想

課堂教學(xué)中應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用和教師的主導(dǎo)功能。教師一定要克服過(guò)去的“一言堂”，而要做到講練結(jié)合，運(yùn)用提問(wèn)、討論多種方式進(jìn)行教學(xué)，注重引導(dǎo)學(xué)生掌握正確的學(xué)習(xí)方法、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法，充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的思維過(guò)程。要變以教師為中心為以學(xué)生為中心，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性和思維的積極性，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力以及自我更新知識(shí)的能力。

如在學(xué)習(xí)空間平面曲線(xiàn)的一般方程時(shí)，如果嚴(yán)格按照教材中的方法和步驟講解，學(xué)生會(huì)感到抽象、不易理解且枯燥乏味，在這里教師可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生自己構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的辦法，如提出兩個(gè)問(wèn)題：1．請(qǐng)說(shuō)出平面曲線(xiàn)圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的來(lái)由（高中學(xué)習(xí)的內(nèi)容）；2．平面、球、圓錐、圓柱的方程分別如何（上一節(jié)課的內(nèi)容）？問(wèn)題一經(jīng)提出，學(xué)生思維便會(huì)相當(dāng)活躍，紛紛發(fā)言。（1）圓可由球與平面相交得到或由圓錐與平面相交得到；（2）橢圓可由圓柱與平面相交得到或由圓錐與平面相交得到；（3）雙曲線(xiàn)可由圓錐與平面相交得到；（4）拋物線(xiàn)可由圓錐與平面相交得到。從以上知識(shí)可看出，圓錐與平面相交可得到四種平面曲線(xiàn)，不同平面曲線(xiàn)的得到和平面與圓錐的相對(duì)位置有關(guān)（圖略）。接著學(xué)生就可以自己構(gòu)造對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)的方程組，如：

另外，教師應(yīng)自主開(kāi)發(fā)和利用數(shù)學(xué)軟件和教學(xué)軟件進(jìn)行教學(xué)，這樣不但能使教學(xué)過(guò)程生動(dòng)活潑，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，也能加快教學(xué)進(jìn)程，解決課時(shí)偏少的矛盾。

四、在知識(shí)的應(yīng)用過(guò)程中突出數(shù)學(xué)建模思想

要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，精心組織、科學(xué)設(shè)計(jì)，從數(shù)學(xué)應(yīng)用的角度處理數(shù)學(xué)、闡釋數(shù)學(xué)、呈現(xiàn)數(shù)學(xué)，必須加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用環(huán)節(jié)的實(shí)踐，注重學(xué)生的親身實(shí)踐，注重用數(shù)學(xué)解決學(xué)生身邊的問(wèn)題，用學(xué)生容易接受的方式展開(kāi)教學(xué)，重視在應(yīng)用數(shù)學(xué)中傳授數(shù)學(xué)思想和方法，把培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力作為教學(xué)內(nèi)容的主線(xiàn)。

如在學(xué)習(xí)一元函數(shù)介值定理時(shí)引入下例：某人第一天上午8點(diǎn)由山下出發(fā)，下午15點(diǎn)抵達(dá)山頂；第二天上午8點(diǎn)由山頂出發(fā)按原路返回，并于下午15點(diǎn)回到山下原出發(fā)點(diǎn)。已知連續(xù)函數(shù)且.求證：存在點(diǎn)使得

解決這個(gè)問(wèn)題，教師可以按照“問(wèn)題情景—建立模型—解釋與應(yīng)用”的模式進(jìn)行分析，該例子對(duì)應(yīng)著以下數(shù)學(xué)模型：

通過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的證明，不但使學(xué)生看到了如何利用抽象的介值定理來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的方法，開(kāi)闊了學(xué)生的思路，而且啟迪了學(xué)生如何觀察生活，如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述實(shí)際生活中的現(xiàn)象并用數(shù)學(xué)工具對(duì)它進(jìn)行證明，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。

由于目前高等數(shù)學(xué)教材中涉及應(yīng)用方面的習(xí)題較少，課后作業(yè)基本上是套用定義、定理和公式解決問(wèn)題。為此，可補(bǔ)充一些建模素材作為課后練習(xí)題，通過(guò)完成這種作業(yè)，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)，感受到數(shù)學(xué)應(yīng)用之所在，從而提高對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握，培養(yǎng)學(xué)生探究與解決問(wèn)題的能力。

最后需要指出的是，高等數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)建模的重要工具，扎實(shí)的高等數(shù)學(xué)功底是搞好數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)建模思想的培養(yǎng)有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，二者相輔相成，相互促進(jìn)。因此，在實(shí)施數(shù)學(xué)建模教學(xué)的同時(shí)，絕不能淡化高等數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，否則適得其反。

[1] 金輝．?dāng)?shù)學(xué)建模與高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革[J]. 江蘇經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，（4）．

[2] 許先云，楊永清．突出數(shù)學(xué)建模思想 培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2007，（4）．

[3] 姜啟源. 數(shù)學(xué)模型（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2005.

Application of Mathematical Modeling Thought in Advanced Mathematics Teaching

WANG Li-xin

It will be an effective way for cultivating students’ ability of mathematical application, practice and innovation to apply mathematical modeling thought in advanced mathematics teaching. The application can realized by analyzing teaching materials, organizing teaching contents, giving guidance for teaching and learning methods, and applying knowledge.

mathematical modeling, advanced mathematics, application

G42

A

1008-7427（2010）05-0121-02

2010-03-07