基于最大比合并的超定盲源分離

姚俊良，楊小牛，李建東，付衛(wèi)紅，李釗，張琰

(1.西安電子科技大學(xué) 綜合業(yè)務(wù)網(wǎng)理論及關(guān)鍵技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071；2.中國電子科技集團(tuán)公司 第三十六研究所，浙江 嘉興 314001)

1 引言

在源信號和信道狀態(tài)都未知的情況下，僅利用接收的混合信號來獲得源信號的技術(shù)，稱為盲源分離(BSS,blind source separation)[1]。近年來，BSS已成功應(yīng)用到通信信號處理、語音的識別和增強(qiáng)、圖像處理以及腦電信號處理等諸多領(lǐng)域[2～6]。

現(xiàn)有的盲源分離算法通常都假定接收天線個(gè)數(shù)等于源信號個(gè)數(shù)，即適定的盲源分離問題。但在許多實(shí)際的應(yīng)用中，源信號個(gè)數(shù)并不等于接收天線個(gè)數(shù)（非適定盲源分離包括超定和欠定2種情況）。在這種情況下，混合矩陣不再是方陣，并且不再可逆，因此非適定情況下盲源分離算法的研究有更大的實(shí)際意義。而對于欠定盲源分離，如果沒有源信號的額外先驗(yàn)信息，即使獲得混合矩陣也無法分離出源信號，因此本文的討論僅限于超定的情況。

對于超定盲源分離的研究，目前主要有2大類算法：第1類算法中，Amari、Zhang等人從李群(Lie group)和Stiefel流形出發(fā)[7,8]，將適定自然梯度算法推廣到超定情況。這類基于梯度的算法收斂速度較慢，算法穩(wěn)定性受混合矩陣的影響很大[9]。第2類算法首先通過白化預(yù)處理[10,11]將超定分離問題轉(zhuǎn)化為適定分離，然后再利用傳統(tǒng)的適定盲分離算法，這類算法的缺點(diǎn)是沒有充分利用接收端的天線來獲得分集增益。

在移動通信中，通常采用分集接收、合并處理的方法來獲得分集增益，從而抵抗信道衰落[12]。最大比合并(MRC,maximum ratio combining)是一種較好的合并處理方式，它可以最大化接收信號的信噪比(SNR)，但MRC并沒有考慮到干擾信號。FastICA算法[10]是目前常用的復(fù)信號BSS算法之一，它可以消除期望信號中的多用戶干擾，但是算法并不能很好地處理噪聲。

2 信號模型和FastICA算法介紹

2.1 信號模型和假設(shè)

FastICA算法是基于獨(dú)立分量分析(ICA)的一種盲源分離算法，瞬時(shí)線性ICA模型可以表示為

其中，x=(x1,x2,…,xm)T、s=(s1,s2,…,sd)T和 n=(n1,n2,…,nm)T分別表示m×1維的觀測信號向量、d×1維的非高斯源信號向量和m×1維的加性高斯噪聲向量，A表示m×d維的混合矩陣。m、d是接收天線數(shù)目和源信號數(shù)目(本文主要研究m＞d的情況)，上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置，高斯白噪聲n與源信號s的各個(gè)分量統(tǒng)計(jì)獨(dú)立并且方差為2σ。在本文的信號模型中源信號s、混合矩陣A和噪聲信號n都是復(fù)信號。

ICA的基本假設(shè)是各個(gè)源信號分量相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立并且非高斯，混合矩陣A列滿秩。ICA的目的是在A未知的情況下，通過尋找一個(gè)線性變換使得線性變換輸出信號y的各個(gè)分量盡可能統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則y就是源信號s的估計(jì)信號。下面介紹一種目前常用的解決ICA問題的算法——FastICA。

2.2 FastICA算法介紹

復(fù)信號的 FastICA算法最早由 E.Bingham[10]提出，它有串行算法(S-FastICA,serial FastICA)和并行算法(P-FastICA,parallel FastICA) 2種實(shí)現(xiàn)方式，它們都需要對觀測信號進(jìn)行白化預(yù)處理。白化處理過程如下：

S-FastICA算法的輸出可表示為

其中，wi(i=1,2,…,d)表示分離矩陣W的第i個(gè)列向量，上標(biāo)H表示共軛轉(zhuǎn)置，yi是第i個(gè)分離信號，S-FastICA算法的核心迭代步驟如下：

式(5)中上標(biāo)*表示復(fù)數(shù)共軛，E[·]表示數(shù)學(xué)期望。式(6)中B是由已經(jīng)獲得的分離向量wj(j=1,2,…,i-1)組成的矩陣，當(dāng)計(jì)算w1時(shí)，B取元素全為0的m 維列向量 0m×1，式(6)的目的是使 wi與已分離向量wj(j=1,2,…,i-1)相互正交，以保證算法每次分離出不同的信號分量。

并行算法 P-FastICA每次對所有分離向量W=(w1,w2,…,wd)進(jìn)行迭代，為了保證分離出不同信號分量，算法在每次迭代后要進(jìn)行對稱正交化，這個(gè)正交化可以采用下面公式：

在超定情況下(m＞d)，F(xiàn)astICA算法通過白化可以降低信號維數(shù)和噪聲，提高算法的分離性能。然而傳統(tǒng)的FastICA算法沒有充分利用接收天線的信息來獲得分集增益，并且為了保證每次分離出不同的源信號，串行算法采用的壓縮影射(deflation) 會引入誤差累積，使得源信號恢復(fù)質(zhì)量逐漸惡化。并行算法采用的對稱正交化會增大分離信號中的殘留干擾，導(dǎo)致算法性能下降。

3 MRC-FastICA算法

3.1 算法具體過程

針對傳統(tǒng)FastICA算法存在的上述問題，本文提出一種基于最大比合并的 FastICA算法(MRC-FastICA)。算法的基本結(jié)構(gòu)如圖 1所示，包括下面4個(gè)實(shí)現(xiàn)步驟。

1) 觀測信號分組

天線的接收信號為x=[x1,x2,…,xm]，分組的目的是將x分為k組：{x1,x2,…,xk}，其中xi(i=1,2,…,k)是由d個(gè)天線陣元的接收信號組成的向量。為了保證xi的混合矩陣列滿秩，并且算法可以獲得盡可能多的分集增益，分組需要遵循以下3個(gè)原則：①每個(gè)分組信號xi不能包含多個(gè)相同天線陣元接收的信號，因此k的理論最大值為；②這 k個(gè)分組信號包含了所有天線接收的信號，即x=x1∪x2∪…∪xk； ③不同分組信號xi、xj(i≠j)包含的分量盡可能不完全相同。

2) 源分離

d維觀測向量xi的每個(gè)分量都是由d個(gè)源信號混合而成，因此對xi可以利用適定BSS算法進(jìn)行信號分離。本文中BSS算法采用S-FastICA，對所有i=1,2,…,k對應(yīng)的xi進(jìn)行分離后，可以得到k組源信號的估計(jì)

3) 分離信號歸類

這一步完成對k組估計(jì)信號的歸類：將屬于同一源信號的估計(jì)信號歸為一類。由于FastICA算法存在順序不確定性，因此不能簡單地根據(jù)分離次序來歸類信號?？紤]到源信號之間相互獨(dú)立，本文利用相關(guān)性作為信號歸類的依據(jù)。

用向量 yl(l=1,2,…,d)來存儲與1,l有相同源信號的估計(jì)信號，其初始值如果

4) 最大比合并

如果在步驟3)得到的yl是第j個(gè)源信號的估計(jì)，則有如下信號模型：

其中，s-j表示源信號s中除了sj的剩余信號組成的信號向量，b、C 為未知的 k×1、k×(d-1)維系數(shù)矩陣。最大比合并的目的就是尋找一個(gè)合并向量vl，使得合并輸出的信號?l（即源信號sj的最終估計(jì)值）信干噪比（SINR）最大。合并輸出信號為的SINRl為

圖1 MRC-FastICA算法結(jié)構(gòu)

式(11)是標(biāo)準(zhǔn)的廣義Rayleigh商形式，從文獻(xiàn)[13]可知，使其最大化的權(quán)值向量為

其中，Ryl=Rs?j+Ri+n?是第l組歸類信號(式(9))的自相關(guān)矩陣，最佳系數(shù)

式(12)得到的權(quán)值向量vl-opt雖然是最佳的，但它需要知道向量b，在本文中b是無法獲得的。通過分析發(fā)現(xiàn)，式(12)與最大化目標(biāo)函數(shù)(13)所得的收斂解vl[14,15]僅相差一個(gè)常系數(shù)。

目標(biāo)函數(shù)J(vl)的最大化可以采用梯度法。

其中，μ是步長因子，p表示迭代次數(shù)，文獻(xiàn)[14]給出式(14)中?vlJ(vl)的表達(dá)式如下：

當(dāng)μ值的選擇合適，梯度法(14)可以保證算法收斂，但它存在收斂速度慢的缺點(diǎn)。為了提高收斂速度，在本文的算法中，先采用超指數(shù)算法[17]得到一個(gè) vl的初始值，然后利用梯度法(14)迭代直至收斂。超指數(shù)算法的核心迭代公式如下：

其中，

1) 令p=1，隨機(jī)選取一個(gè)k維的單位模值合并向量vl(p)，可得

2) 利用式(16)對 vl(p)進(jìn)行迭代，得到 vl(p+1)和(p+1)。

3) 如果(式 13)目標(biāo)函數(shù) J(vl(p+1))＞J(vl(p))，令p=p+1，返回2)繼續(xù)迭代；否則令p=p+1執(zhí)行4)。

4) 利用式(14)對vl(p)進(jìn)行迭代，得到vl(p+1)。

5) 如果式(14)中?vlJ(vl(p))大于設(shè)定的門限值β，則算法還沒有收斂，令p=p+1，返回4)繼續(xù)迭代，否則算法收斂，第l個(gè)估計(jì)信號為

3.2 算法總結(jié)

綜上所述，MRC-FastICA算法執(zhí)行的具體過程如下。

1) 觀測信號分組：從m個(gè)天線陣元的觀測信號中隨機(jī)選擇d個(gè)，組成d維的觀測信號向量xi。重復(fù)執(zhí)行k次，形成k組d維觀測信號向量：{x1,x2,…,xk}。

2) 源分離：利用S-FastICA算法對xi(i=1,2,…,k)進(jìn)行分離，可以得到 k組源信號的估計(jì)

4) 最大比合并：利用MRC算法對yl進(jìn)行合并，得到估計(jì)信號?l。對l從1到d重復(fù)執(zhí)行，可以得到所有源信號的估計(jì)：

下面對MRC-FastICA算法進(jìn)行討論。

1) 如果信源數(shù) d已知，可以直接利用MRC-FastICA算法進(jìn)行信號分離。而在實(shí)際的情況下，源信號個(gè)數(shù)有可能是未知的，首先需要估計(jì) d的值。估計(jì)方法包括：子空間方法[18]和基于信息論準(zhǔn)則的方法[19]。

2) MRC-FastICA算法的分離信號依然存在順序模糊性，對于復(fù)信號，還存在相位模糊性，這對很多實(shí)際系統(tǒng)(特別是無線通信系統(tǒng))的后續(xù)處理是非常不利的，這個(gè)問題可以通過利用其他先驗(yàn)信息設(shè)計(jì)半盲算法來解決[20]。

3.3 算法示例及定性分析

下面通過一個(gè)簡單示例來描述 MRC-FastICA算法的執(zhí)行過程。

例：圖1中源信號數(shù)d=2、接收天線數(shù)m=3，因此觀測信號向量。

如果算法的分組數(shù) k=2，按照分組原則，2組適定混合的觀測信號向量可表示為

利用傳統(tǒng)的串行S-FastICA算法對x1、x2進(jìn)行適定盲源分離，得到2組源信號的估計(jì)如下(這里不考慮觀測信號的預(yù)白化)：

如果對式(21)的2組分離信號進(jìn)行歸類后得到：其中，y1和y2分別為對應(yīng)于s1和s2的歸類信號，對y1、y2分別進(jìn)行最大比合并，可得到源信號的最終估計(jì)值：

定性分析：從式(22)可以看出，屬于源信號 s1的 2個(gè)估計(jì)信號為1,1和2,2，這 2個(gè)信號有不同的SINR性能，這主要是以下2個(gè)原因造成的：①1,1和2,2分別屬于觀測信號x1和x2的分離信號，而x1、x2的混合系數(shù) A1和 A2不同將會使1,1和2,2的 SINR性能不同；② 從式(21)可知，1,1是 x1的第 1個(gè)分離信號，2,2是x2的第 2個(gè)分離信號(S-FastICA算法存在順序模糊性)，而由于S-FastICA算法存在誤差累積，不同的分離次序會導(dǎo)致不同的分離性能，因此1,1和2,2的 SINR 性能不同。

從上面的討論可知，MRC-FastICA算法是對具有不同SINR性能的多個(gè)分離信號(對應(yīng)于同一源信號)進(jìn)行最大比合并，來得到最終的分離信號。移動通信中經(jīng)常采用多條具有獨(dú)立衰落特性的路徑來傳輸相同的信息，并在接收端對接收到的信號進(jìn)行適當(dāng)合并來獲得分集增益，從而抵抗信道衰落。同樣本文算法通過對多個(gè)具有不同SINR性能的分離信號進(jìn)行最大比合并，也可以獲得分集增益。

4 仿真實(shí)驗(yàn)和結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)中源信號個(gè)數(shù)d=4，并且4個(gè)獨(dú)立源信號為同頻數(shù)字調(diào)制信號，分別為2個(gè)16PSK信號，2個(gè)QPSK信號。接收端是m陣元的等距線陣，因此混合矩陣的第i個(gè)列向量為

其中，da表示等距線陣相鄰天線之間距離，它的值取為信號波長的一半，c是光速，ωi、θi分別是第i個(gè)信源的角頻率和入射角度，θi在[0,π]內(nèi)服從均勻分布，MRC算法中的門限值β=10-4，式(14)的步長因子μ=1，算法采用的樣本數(shù)為1 000。

實(shí)驗(yàn)1 在m=8和SNR=20dB時(shí)，仿真了4種算法的分離效果，這4種算法分別是S-FastICA算法[10]、P-FastICA 算法[10]、基于相對梯度的 EASI算法[11]和本文提出的MRC-FastICA算法。圖2是一次實(shí)驗(yàn)的仿真結(jié)果，分別畫出了源信號、混合信號以及4種算法得到的分離信號的星座圖。

在本次實(shí)驗(yàn)中，源信號入射角 θ=[θ1,θ2,θ3,θ4]和混合矩陣 A=[a(θ1);a(θ2);a(θ3);a(θ4)]分別為：

圖2 源信號、分離信號以及4種算法得到的分離信號星座圖

圖 2(c)是 S-FastICA算法的分離信號星座圖，從中可以看出，算法存在誤差累積，分離的信號質(zhì)量越來越差；圖2(d)、圖2(e)分別給出了P-FastICA和 EASI算法的分離信號星座圖，可以看出P-FastICA和EASI算法的性能基本相同，這2種算法在每次迭代中都對分離矩陣進(jìn)行了正交化處理(前者是對每次迭代得到的分離矩陣進(jìn)行對稱正交化，后者是在算法中加入了正交化約束)，這個(gè)正交化處理會增大分離信號中的殘留干擾，導(dǎo)致算法分離性能下降；圖2(f)是MRC-FastICA的分組數(shù)k=4時(shí)的分離結(jié)果，從圖中可以看出其分離性能最好，這是因?yàn)楫?dāng)k=4時(shí)，MRC-FastICA算法可以充分利用接收天線的信息來獲得分集增益，降低了串行算法誤差累積的影響。與并行算法相比，本文算法避免了正交化處理帶來的互干擾，因此它的分離效果最好。上述4種算法都存在順序模糊性問題，因此分離信號與源信號之間的對應(yīng)關(guān)系不完全一致，這可以通過設(shè)計(jì)半盲算法來解決。

實(shí)驗(yàn)2 從第3節(jié)中算法的分析過程可知，對多組分離信號的正確歸類是最大比合并的基礎(chǔ)，本文利用信號的相關(guān)性來進(jìn)行信號歸類，并仿真了在不同 SNR情況下，算法正確歸類概率隨樣本數(shù)的變化。實(shí)驗(yàn)中衡量歸類正確的方法是：如果歸類信號中所有分量兩兩之間都滿足步驟 3)所提出的歸類原則(相關(guān)函數(shù)模值矩陣中對應(yīng)元素最大)，并且在每次歸類結(jié)束后，所有分離信號都被歸到某一類中，則認(rèn)為本次歸類正確。

圖3給出了m=8時(shí)的仿真曲線，仿真中MRCFastICA算法分組數(shù)k=4，仿真結(jié)果是1 000次獨(dú)立仿真后統(tǒng)計(jì)得到的。從圖3可以看出，隨著SNR和樣本數(shù)的增加，算法正確歸類的概率也呈增大趨勢。當(dāng)SNR=10dB，正確歸類概率在樣本數(shù)大于400時(shí)基本保持在0.9左右。當(dāng)SNR=20dB時(shí)，正確歸類概率在樣本數(shù)大于200時(shí)保持穩(wěn)定，達(dá)到0.96左右。

圖3 分離信號正確歸類概率與樣本數(shù)之間的關(guān)系

實(shí)驗(yàn) 3 本實(shí)驗(yàn)仿真了分離信號的輸出 SINR(signal-to-interference- plus-noise ratio)性能，仿真結(jié)果是500次獨(dú)立仿真后進(jìn)行平均得到的。下面給出仿真中分離信號SINR的表達(dá)式。

若第i個(gè)分離信號的最終分離向量為fi，，則第i個(gè)分離信號為

它的SINR可以表示為

其中，Ps為源信號功率，max(gi)是向量gi的最大元素、sum(gi)是向量gi所有元素之和。分母第1項(xiàng)、第2項(xiàng)分別表示分離信號中干擾分量和噪聲分量的功率。

圖4給出了當(dāng)m=8，SNR=20dB時(shí)，4種算法分離信號SINR隨分離信號次序變化的曲線。其中MRC-FastICA算法的分離信號次序是按照 x1的分離次序來排列的，算法的分組數(shù) k=4。從圖中可以看出，S-FastICA算法由于誤差累積的影響，分離性能隨著分離次序的增大逐漸下降，圖中S-FastICA算法第一個(gè)分離信號SINR高于輸入SNR(20dB)，這是因?yàn)樵诒緦?shí)驗(yàn)中，接收天線陣元數(shù)(m=8)大于信源個(gè)數(shù)(d=4)，這種情況下算法采用的預(yù)白化可以降低噪聲的影響；P-FastICA算法和EASI算法由于正交化約束使得整體分離性能下降，這與實(shí)驗(yàn)1的結(jié)果是吻合的。MRC-FastICA算法由于獲得了分集增益，因此大大降低了誤差累積的影響，算法的整體性能最好。圖5給出了4種算法的SINR性能隨SNR的變化曲線。從圖中可以看出，隨著SNR的增加，4種算法的各個(gè)分離信號SINR都隨SNR的增加而增大。由于可以獲得分集增益，MRC-FastICA算法的性能要優(yōu)于其他3種算法。

圖4 分離信號SINR與分離信號次序

圖6給出了分組數(shù)k取不同值時(shí)MRC-FastICA算法得到的分離信號SINR性能曲線。從圖中可以看出，k值越大，MRC-FastICA算法的性能越好。這是因?yàn)閗值越大，算法利用的天線組合越多，分集增益也就越大。當(dāng)k=1時(shí)，算法沒有利用到多余天線來提供分集，而且也沒有利用多余天線來降低噪聲，因此算法性能要劣于傳統(tǒng)S-FastICA算法。

圖 7所示為當(dāng)接收天線數(shù) m取不同值時(shí)，MRC-FastICA算法(k=4)得到的分離信號SINR性能曲線。從圖中可以看出，m值越大，算法性能越好。這是因?yàn)榻邮仗炀€數(shù)越多，算法可利用的觀測信號信息越多，分集增益也就越大。

圖5 分離信號SINR性能隨SNR的變化曲線

圖6 分組數(shù)對MRC-FastICA算法分離性能的影響

圖7 接收天線數(shù)對MRC-FastICA分離性能的影響

5 結(jié)束語

本文提出一種基于最大比合并的超定盲源分離算法，該算法利用 S-FastICA來消除期望信號中其他用戶的干擾，為 MRC提供同一源信號的多個(gè)分集信號，并利用 MRC得到最終的分離信號。仿真實(shí)驗(yàn)和分析表明，所提算法通過對不同觀測信號組合的分離信號進(jìn)行最大比合并，可以獲得分集增益，并且隨著分組數(shù)和接收天線數(shù)的增大，分集增益也增加。該分集增益不僅可以降低 S-FastICA中誤差累積的影響，而且避免了串行算法由于正交化處理帶來的殘留干擾，算法有更好的SINR性能。

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