基于Fourier變換的瑞雷面波分離提取及實(shí)例分析

張大洲，熊章強(qiáng)，秦臻

(1. 中南大學(xué) 信息物理工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083；2. 中國(guó)石油勘探開(kāi)發(fā)研究院，北京，100083)

瑞雷面波頻散曲線(xiàn)與地下介質(zhì)結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，因此，頻散曲線(xiàn)的獲取在面波勘探中是非常重要的。目前，頻散曲線(xiàn)的計(jì)算主要采用多道面波分析法(Multichannel analysis of surface waves, 簡(jiǎn)稱(chēng) MASW)[1]和面波頻譜分析法(Spectral analysis of surface waves，簡(jiǎn)稱(chēng)SASW)[2]。MASW法是對(duì)整個(gè)排列采用不同的變換方式計(jì)算瑞雷面波的頻散曲線(xiàn)，并將計(jì)算結(jié)果置于該排列中心點(diǎn)處。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是頻散曲線(xiàn)精度較高，并且能夠得到瑞雷面波的各種高階模式；缺點(diǎn)是由于多道綜合效應(yīng)，即測(cè)線(xiàn)方向整個(gè)排列長(zhǎng)度內(nèi)介質(zhì)的屬性加權(quán)平均，從而降低了瑞雷面波法探測(cè)的橫向分辨率，無(wú)法探測(cè)小規(guī)模和局部異常，難以滿(mǎn)足高精度探測(cè)的要求。SASW法是通過(guò)計(jì)算不同頻率下兩道信號(hào)的相位差，從而得到該頻率下的相速度。利用SASW法削除了頻散曲線(xiàn)的多道綜合效應(yīng)，提高了探測(cè)的橫向分辨率。由于面波勘探采集的數(shù)據(jù)是各種不同類(lèi)型、不同模態(tài)的波相互耦合在一起，因此，在利用SASW法計(jì)算頻散曲線(xiàn)時(shí)，必須選用1種合適的方法提取瑞雷面波，并且需要分離不同模態(tài)的瑞雷面波后才能用SASW法計(jì)算頻散曲線(xiàn)。對(duì)于瑞雷面波的提取，劉江平等[3-4]用傳統(tǒng)的τ-p(τ和p分別為t-x域時(shí)間軸截距和水平波速度倒數(shù))變換方式提取面波；宋先海等[5]將傳統(tǒng)的τ-p變換方法進(jìn)行改進(jìn)，在τ-p變換前用雙曲線(xiàn)速度濾波方法對(duì)地震記錄進(jìn)行濾波，然后進(jìn)行τ-p變換，以此來(lái)提高面波提取的精度。眾所周知，τ-p變換是Radon變換的線(xiàn)形形式，又被稱(chēng)為傾斜疊加變換[6]。對(duì)于均勻介質(zhì)，在t-x域中為直線(xiàn)的面波在τ-p域中為1個(gè)點(diǎn)，而在t-x域中為拋物線(xiàn)的反射波在τ-p域中成為1個(gè)橢圓，據(jù)此特性就可以分離得到面波，這是利用τ-p變換提取面波的理論基礎(chǔ)。但是，在均勻介質(zhì)中面波不產(chǎn)生頻散，面波速度vR為1個(gè)常數(shù)，在這種情況下變換到τ-p域中僅為1個(gè)點(diǎn)。而對(duì)于層狀介質(zhì)，由于面波所特有的頻散特性，其波速vR不再是常數(shù)，這時(shí)，按照τ-p變換理論將其變換到τ-p域中就不再是1個(gè)點(diǎn)，若仍按上述理論在τ-p域中選取1點(diǎn)或者其周?chē)?個(gè)區(qū)域，則所提取的面波在很大程度上是具有線(xiàn)形特征的直達(dá)面波，或者僅是面波的部分頻散[7-8]。另外，利用 SASW 法計(jì)算面波的頻散曲線(xiàn)時(shí)必須將面波的各個(gè)模式進(jìn)行分離后再進(jìn)行計(jì)算，但τ-p變換不能分離出面波的不同模態(tài)，若將各個(gè)模態(tài)混合的面波數(shù)據(jù)計(jì)算頻散曲線(xiàn)會(huì)產(chǎn)生較大誤差[9-10]，據(jù)此，本文作者采用Fourier變換法(簡(jiǎn)稱(chēng)FT法)在頻率波數(shù)域中分離提取不同模態(tài)面波，使之保持原有的頻散特性，從而可準(zhǔn)確利用SASW法來(lái)計(jì)算頻散曲線(xiàn)，提高面波勘探精度。

1 FT法提取面波原理

面波勘探時(shí)采集的地震記錄在t-x域中無(wú)法準(zhǔn)確分辨面波及其各種模式。由于瑞雷面波各階模式傳播速度的差異，在時(shí)間域中疊加在一起的瑞雷面波信號(hào)在 FK(頻率-波數(shù))域中就會(huì)彼此分開(kāi)。因此，通過(guò)傅里葉正、反變換，就可得到相應(yīng)模態(tài)的瑞雷面波。

沿層狀介質(zhì)表面?zhèn)鞑サ娜鹄酌娌ǖ拇怪蔽灰品至靠梢员硎救缦耓11]：

式中：N(k,ω)為與震源相關(guān)的函數(shù)；D(k,ω)=0時(shí)為瑞雷面波的頻散方程；k為波數(shù)；ω為角頻率。對(duì)Uz(x,t)進(jìn)行二維傅里葉變換，得：

從式(2)可以看出：對(duì)不同偏移距的地震記錄進(jìn)行傅里葉變換，即從時(shí)間域(t)變換到頻率域(ω)，可以得到下列矩陣：

矩陣中的每一行分別對(duì)應(yīng)于每一道的頻譜。然后，對(duì)此矩陣的每一列進(jìn)行傅里葉變換，即從空間域(x)變換到波數(shù)域(k)，得：

式(2)的反傅里葉變換可以表示為：

對(duì)比式(1)和(3)可以得出：

從式(4)可以看出：在FK域中，所計(jì)算的波場(chǎng)W的最大值在分母D(k,ω)=0附近，對(duì)于式(1)，正是核函數(shù)N(k,ω)/D(k,ω)的極點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)的就是瑞雷面波的解。因此，在FK域中，不同的波場(chǎng)W最大值就是由在t-x域中不同模式的瑞雷面波變換得到的，保留這些相應(yīng)的值，進(jìn)行反變換就可以得到相應(yīng)模式的瑞雷面波。

為了能在FK域中清晰分辨各種模態(tài)的瑞雷面波，對(duì)W(k,ω)按頻率進(jìn)行道均衡(或正則規(guī)范化)，有：

式中：W(k,ω)為譜振幅；為L(zhǎng)p范數(shù)，一般使用第1、第2或無(wú)窮范數(shù)即可。通過(guò)這種處理，在整個(gè)剖面上，各頻段的能量分布比較均衡，便于準(zhǔn)確選取不同階面波的能量。

2 理論模型算例

為了說(shuō)明FT法分離提取面波頻散曲線(xiàn)的正確性，特設(shè)計(jì)1個(gè)2層介質(zhì)模型。模型長(zhǎng)×寬為80 m×50 m，模型參數(shù)如下：第 1層厚度為 10 m，縱波波速vp=800 m/s，橫波波速vs=200 m/s，密度ρ=2.0 g/cm3；第2 層vp=1 200 m/s，vs=400 m/s，ρ=2.0 g/cm3。使用高精度交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分法對(duì)該模型進(jìn)行全波場(chǎng)正演模擬[12]，取時(shí)間采樣間隔為0.1 ms，采樣長(zhǎng)度為0.5 s，震源采用25 Hz雷克子波。圖1所示為模擬所得到的單炮記錄。從圖1可以看出：除面波外，還有直達(dá)波、折射波、反射波等，其中，反射波包括一次反射波和多次反射波。若利用SASW法計(jì)算面波頻散曲線(xiàn)，則需要從地震記錄中分離提取出面波記錄。下面分別用τ-p變換法和FT法對(duì)模擬得到的單炮記錄中面波進(jìn)行提取和對(duì)比分析(其中：τ和p分別為t-x域時(shí)間軸截距和水平波速度倒數(shù))。

圖1 2層介質(zhì)模型單炮記錄Fig.1 Single-shot record for two-layer model

將圖1所示的單炮記錄進(jìn)行τ-p變換，如圖2所示。從圖2可見(jiàn)：較強(qiáng)的能量團(tuán)應(yīng)是面波變換所得到的，切除此能量團(tuán)以外的數(shù)據(jù)，進(jìn)行τ-p反變換，得到如圖3所示的面波記錄，從圖3可以看出：該面波沒(méi)有頻散，通過(guò)計(jì)算其視速度為200 m/s。由此可以得出：若嚴(yán)格按照τ-p變換理論，則只能提取淺部能量較強(qiáng)的未發(fā)生頻散的面波(此面波沿地面最表層傳播)，不能提取全部的面波頻散成分，更不能分離面波的各種模態(tài)。

圖2 兩層模型單炮記錄τ-p正變換Fig.2 τ-p forward transform of single-shot record for two-layer model

圖3 τ-p變換提取的面波記錄Fig.3 Surface wave record extracted by τ-p transform

圖4 單炮記錄的頻率-波數(shù)譜Fig.4 Frequency wave-number spectrum of single-shot record

圖4所示為將t-x域中的單炮記錄變換到FK域的頻率-波數(shù)譜。從圖 4可以看出：瑞雷面波的基階波能量最強(qiáng)，其余高階模式波能量漸弱，各種模態(tài)的能量團(tuán)能清晰可辨。在FK域中拾取各模式能量團(tuán)峰值處的頻率和波數(shù)，利用公式vR=2πf/k(其中：vR為相速度，f為頻率，k為波數(shù))，就可求出頻散曲線(xiàn)。為了驗(yàn)證在FK域中對(duì)于各模態(tài)面波分析的正確性，利用相移法[13]直接計(jì)算單炮面波記錄的頻散曲線(xiàn)，并與理論值進(jìn)行對(duì)比，如圖5所示。從圖5可見(jiàn)：利用相移法計(jì)算得到的頻散曲線(xiàn)與理論頻散曲線(xiàn)相吻合；FK域中計(jì)算得到的頻散曲線(xiàn)與理論值基本一致(在個(gè)別頻段相速度誤差較大)，而面波的各個(gè)模式與實(shí)際情況完全相符。這充分說(shuō)明在FK域中可以分離提取面波。

圖5 FK變換法和相移法計(jì)算得到的頻散曲線(xiàn)與理論值的對(duì)比Fig.5 Comparison between results obtained by FK transform method and phase shift method and theory values

將圖4中高階模式切除，只保留基階模式，然后對(duì)此波場(chǎng)進(jìn)行傅里葉反變換，得到如圖6(a)所示的t-x域中基階面波的波場(chǎng)。在此波場(chǎng)中可看到面波的頻散特性，直達(dá)面波波組能量比其余波組能量強(qiáng)。將圖6(a)所示的基階面波利用相移法計(jì)算其頻散曲線(xiàn)并與理論值進(jìn)行比較，結(jié)果如圖 6(b)所示。圖 7(a)所示為提取得到的t-x域中一階高模式面波波場(chǎng)，據(jù)此數(shù)據(jù)計(jì)算其頻散曲線(xiàn)并與理論值比較，結(jié)果如圖7(b)所示。分析圖6(b)和圖7(b)可見(jiàn)：利用分離后面波數(shù)據(jù)計(jì)算得到的頻散曲線(xiàn)與理論值完全一致，這充分說(shuō)明采用FT法提取面波是可行的。從圖7(b)還可看出：一階高模式面波頻散曲線(xiàn)的頻率范圍由圖5中的20～37 Hz擴(kuò)展為17～43 Hz。這說(shuō)明將面波各模態(tài)分離后再用多道面波分析方法(相移法為其中 1種)計(jì)算其頻散曲線(xiàn)會(huì)擴(kuò)大頻帶寬度，頻帶寬度的擴(kuò)展有利于面波探測(cè)能力的提高。

3 實(shí)際面波數(shù)據(jù)的FT法分離

在某試驗(yàn)場(chǎng)地用 2.5 Hz面波檢波器采集地震記錄，道間距為1 m，采樣時(shí)間間隔為0.25 ms，采樣時(shí)間長(zhǎng)度為500 ms。場(chǎng)地地層情況較簡(jiǎn)單，深度0～2.5 m地層為第四系覆蓋層，2.5～15.0 m地層為砂巖(2.5～8.0 m為全風(fēng)化砂巖，8.0～15.0 m為強(qiáng)風(fēng)化砂巖)。圖8所示為采集到的單炮原始面波記錄，圖9所示為利用τ-p變換提取得到的面波記錄，圖10所示為利用FT法分離提取得到的基階面波記錄。對(duì)比圖9和圖10可以看出：FT法分離出的基階面波頻散比τ-p變換提取得到的頻散豐富。利用相移法計(jì)算其頻散曲線(xiàn)，所得結(jié)果如圖11和圖12所示。從圖11可以看出：當(dāng)頻率從70 Hz減小到20 Hz時(shí)(相對(duì)探測(cè)深度從淺到深)，面波相速度從222 m/s增大到282 m/s，相速度差僅為60 m/s，基本沒(méi)有頻散，這顯然與實(shí)際地層結(jié)構(gòu)不符，由此說(shuō)明τ-p變換不能完全將面波的各個(gè)頻散成分提取出來(lái)。而圖12中FT法分離得到的基階面波頻散曲線(xiàn)頻率從70 Hz減小到20 Hz，面波相速度從227 m/s增大到480 m/s，明顯產(chǎn)生了頻散。按照半波長(zhǎng)理論，在此頻段內(nèi)所反應(yīng)的探測(cè)深度為1.6～12.0 m，此深度范圍內(nèi)速度的變化與實(shí)際地層結(jié)構(gòu)相符。從2種不同方法分離面波計(jì)算得到的頻散曲線(xiàn)可以看出：在高頻時(shí)速度差別較小，低頻時(shí)差別則很大。這是由于τ-p變換的線(xiàn)性?xún)A斜疊加特性，對(duì)于沿地表(對(duì)應(yīng)于高頻部分)傳播的能量較強(qiáng)的面波能夠提取出來(lái)，而對(duì)于深層(對(duì)應(yīng)于低頻部分)、能量較弱的面波在τ-p域中不易分辨，很難提取到這一部分面波。

圖6 FT法提取得到基階面波記錄與頻散曲線(xiàn)Fig.6 Fundamental mode surface wave records extracted by FT method and dispersion curve

圖7 FT法提取得到一階高模式面波記錄與頻散曲線(xiàn)Fig.7 The first higher mode surface waves record extracted by FT method and dispersion curve

圖8 實(shí)際單炮面波記錄Fig.8 Real single-shot surface wave record

圖9 τ-p變換法提取的面波記錄Fig.9 Surface wave record extracted by τ-p transform method

圖10 FT法提取的基階面波記錄Fig.10 Fundamental mode surface wave record extracted by FT method

圖11 FT法提取得到的基階面波頻散曲線(xiàn)Fig.11 Dispersion curve of Fundamental mode surface wave extracted by FT method

圖12 τ-p變換法提取得到的面波頻散曲線(xiàn)Fig.12 Dispersion curve of surface wave extracted by τ-p transform method

4 結(jié)論

(1)τ-p變換方法只能提取淺部能量較強(qiáng)的部分瑞雷面波，不能提取面波的全部頻散成分，并且不能分離不同模態(tài)的瑞雷面波。因此，在計(jì)算頻散曲線(xiàn)時(shí)，利用τ-p變換法提取瑞雷面波是不合適的。

(2)在FK域中瑞雷面波的各模式可清晰分辨，利用Fourier變換將地震數(shù)據(jù)變換到FK域后提取不同模態(tài)的波場(chǎng)值并進(jìn)行 Fourier變換就可以實(shí)現(xiàn)波數(shù)據(jù)的分離。這種方法不但可以準(zhǔn)確分離提取瑞雷面波的各階模式，而且分離后計(jì)算所得頻散曲線(xiàn)的頻帶寬度得到擴(kuò)展，有利于提高面波對(duì)淺部介質(zhì)的探測(cè)能力。

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