高等數學中知識結構的內在美

張 旭

天津市財貿管理干部學院，天津 300170

數學不僅有形式的優(yōu)美、雅致和協調，更存在思想方法的偉大、深邃和有力。這種理性之美是一種深層次的、本質的、內在的東西。它將無味的數學內容構成了美麗與壯觀的數學大廈，同時也蘊含了一種哲學的美，一種樸素的美，一種理性的美。在教學中，我們可以通過講解、剖析、演示等形式，使數學的內容活起來，動起來，從而賦予數學內容以美的生命、美的內涵，使學生從對數學的顯性美提高到對隱性美的認識，從感性認識上升到理性認識，進而形成數學美感。

一、數學知識的理論美

數學的理論美主要體現在：數學定義的準確；數學語言的精煉；數學邏輯推理的嚴謹；數學方法的巧妙靈活；數學結構的系統(tǒng)完美；數學結論的確定無疑與無可爭辯等方面。在高等數學中，極限理論的建立把數學結構推向了更高的層次。這門課程以極限思想為靈魂，以微積分為核心，包括級數在內，都是從量的方面研究事物運動變化的數學方法。本質上這是幾種不同性質的極限問題，如連續(xù)性是自變量增量趨于零時，函數對應增量的極限；導數是自變量增量趨于零時，函數的增量（偏增量）與自變量增量之比的極限；一元或多元積分都是和式的極限，而無窮級數則是密切聯系序列極限的另一種極限。微分是從微觀上揭示函數的有關局部性質，積分則從宏觀上揭示函數有關的整體性質，它們之間通過微積分基本定理聯系起來；廣義積分把無窮級數與積分的內部溝通起來；而微分方程又從方程的角度把函數、微分、積分有機地聯系起來，展示了它們之間的內在的依賴轉化關系。所以完全可以說，極限貫穿高等數學的始終，沒有極限，就沒有高等數學。這種理論美令人嘆服，使我們在美的享受中加深了對數學理論的理解。

二、數學結構的簡潔美

簡潔美在數學中除了反映在一些極為簡潔的數學符號及表達式以外，還反映在邏輯結構上，如對公理體系的要求必須具備相容、獨立和完備，從為數甚少的基本概念和公理出發(fā)，推演出龐大的理論體系。數學家們通過實踐也證明了數學的簡潔性與嚴格性不可能產生矛盾。正如愛因斯坦所說的“我們面對的這個世界，可以由音樂的符號組成，也可以由數學公式組成?！北热鐢盗袠O限的ε-N定義：對?ε>0，?n>0，當 n>N 時，<ε，也可以從以下幾個角度體現：當n無限增大時，xn趨近于定數xn的實質，

?只要n充分大，點xn與點xn就可以任意接近；

?只要n充分大，點xn與點xn的距離就可以任意?。?/p>

?任意給定ε>0，存在正整數N，當n>N時，<ε；

因此，數學的簡單美既是數學發(fā)展的出發(fā)點，也是最終的目標。

三、數學內容的和諧美

高等數學中定義和定理以及數、式、形之間，各個知識塊既相互獨立、自成體系，又依一定的邏輯關系相互貫通、相互派生，表現為高度的和諧統(tǒng)一。和諧美貫穿于高等數學這個龐大的知識網絡內。例如，函數與極限是貫穿高等數學的兩個最基本的概念，函數是微分學研究的對象，而微積分的定義就是極限概念及其推論，它們之間體現了知識的聯結美。又例如微分中值定理，其本質是閉區(qū)間上函數的增量與這區(qū)間上某點的導數之間的關系，它是微分理論中的重要組成部分，也是導數應用的橋梁。其中羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情況，柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的推廣，并且泰勒定理是拉格朗日中值定理向高階導數情況下的推廣和應用，它是更一般的微分中值定理形式。它們充分表達了定理之間的和諧與統(tǒng)一。再例如，多元微積分學中的格林、高斯、斯托克斯三個公式，就其公式本身也呈現出形式美，結構美，更蘊藏著高度的和諧性。格林公式建立了平面閉區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關系；高斯公式建立了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系；斯托克斯公式則建立了曲面∑上的曲面積分與沿著∑的邊界曲線的曲線積分之間的關系。這三個公式既有聯系又有區(qū)別，三個公式在向量場中都有重要而實際的應用美。斯托克斯公式是格林公式的推廣，而它們又同時都是牛頓一萊布尼茲公式f（x）dx=F（b）-F（a）的推廣和直接應用。這些和諧的公式給我們清新的感覺，這種感覺是比自然美更高層次的數學美，而只有掌握數學內在聯系的人，才能體驗到這種數學美。

四、數學規(guī)律的魅力美

數學中的許多性質、定理及結論極具魅力，它們在排列結構上工整有序，內容深刻獨到，許多潛在規(guī)律也奇異迷人，令人稱絕。例如多元函數 z＝f（u，v），u＝φ（x，y），v＝φ（x，y），用美麗的樹形圖能揭示函數的復合關系和鏈式求導法則的具體形式之間的聯系，讓我們一目了然。根據樹形圖，我們用簡潔的文字敘述鏈式求導公式，即“枝枝依次求導，每枝導數連乘，枝枝之間相加”。我們抓住這個由基本形式得出的規(guī)律，可以推廣到任何一種復合情形下的鏈式求導公式，這是由形式美上升到感性美和理性美的和諧統(tǒng)一。

五、數學知識的歸納總結美

在數學的教學過程中，歸納總結是必不可少也是極其重要的一個過程，將離散的問題系統(tǒng)化、規(guī)律化，不僅可以有效地將一些知識點串接起來，而且使之具有了整體美和清晰感。

1.比如：在講完一元函數的微分概念后，我們可以將極限、連續(xù)、可導、可微等相關概念之間的關系歸納總結如下：

在一元函數中可微與可導等價：可導?連續(xù)?極限存在?左極限＝右極限，反過來，若左極限＝右極限?極限存在，若又有左極限＝右極限＝函數值?函數在該點處連續(xù)。

2.我們若能從數學美的角度把教材固有的客觀規(guī)律，歸納整理為系統(tǒng)的圖表，便能很自然地反映教材相關內容間的客觀聯系，幫助學生加深理解，靈活運用。比如多元函數的積分，種類繁多，解法各異，但聯系密切。借助于數學間的和諧統(tǒng)一，可畫出七種積分間的關系圖，各種不同類型積分間的相互關系，如圖1所示。

這種歸納總結美幫助我們把知識系統(tǒng)化、條理化。正如大數學家希爾伯特所述，在作為整體的數學中，使用著相同的邏輯工具，存在著概念間的親緣關系。同時在它的不同部分之間，也有大量的相似之處。我們還注意到，數學理論越是向前發(fā)展，它的結構就變得越加調和一致，并且這門科學一向相互隔絕的分支之間也會顯露出原先想不到的關系。因此隨著數學的發(fā)展，它的有機的特性不會喪失，只會更清楚地表現出來。

六、數學結構的辯證統(tǒng)一美

數學中充滿著辯證法，它在為人們展示著富有哲理的思維美的同時，也為辯證法的普遍性提供了大量生動的例子。統(tǒng)一性是數學結構美的重要標志，一些表面看來不相同的概念定理、法則，在一定條件下可以處于一個統(tǒng)一體中。

1.直與曲

直與曲是兩個完全不同的數學概念。從直觀形象看，前者平直后者彎曲；從幾何特性來看，前者曲率為0，后者曲率不恒為0；從代數表達式來看，前者是線性方程，后者是非線性方程。因此，直與曲的差別是明顯的，人們面對“直”與“曲”這樣一對矛盾，在形而上學看來，曲就是曲，直就是直，非此即彼；而辯證唯物主義則認為，在一定條件下曲與直是可以相互轉化的，正如恩格斯所說：“高等數學的主要基礎之一是這樣一個矛盾，在一定條件下直線和曲線是一回事?！备叩葦祵W正是利用直與曲以及其它一些矛盾的轉化達到了初等數學所不能達到的目的。

在高等數學中，利用直與曲的這種中介狀態(tài)，實現局部范圍內的“以直代曲”，這是一種基本的辯證思想方法。例如，在求由曲線y=x2及直線x=0，x=1，y=0所圍成的曲邊梯形所圍面積時，人們將“以直代曲”的樸素辯證法作為計算的指導思想，把一小段曲線近似地視為直線，從而可將小曲邊梯形看作是小矩形，將曲邊梯形的面積看作是n個小矩形的面積和，這樣就得到了曲邊梯形面積近似和顯然，只有當曲線非常短時，才能將其視為直線，而這只需要將大曲邊梯形化成多個小曲邊梯形，即只要小曲邊梯形的個數n→∞，就可保證上述推理成功。于是，Sn=

將“以直代曲”的樸素辯證唯物主義思想用于一般推理，人們建立了定積分的概念，即：再如， 導數的概念 f′（x是由極限給出的，而且是未定型的極限，于是由極限可以求導數，通過導數也可以求極限，L′Hospital法則正是這種思想的具體體現。

2.有限與無限

從有限發(fā)展到無限，是認識上的一次重大飛躍。有限與無限之間存在著質的差異，在高等數學中，我們一方面可以通過有限來認識無限，另一方面，我們還可以通過無限來表示有限，從而實現有限與無限的相互轉化。

例如，無理數之間聯系很緊密，但是無理數與有理數之間也有一座美麗的橋梁—級數，級數讓無窮歸為有限，凌亂歸為整齊，有著豐富深刻的思想內涵，又有和諧簡潔和對稱美的形式。無論是泰勒級數還是傅立葉級數它們都營造了一種“此中有真意，欲辯已忘言”的意境，給人的理智以極大的美感享受。

取得項數越多，得到的π和e越精確。這種數學現象確實透露出一種綿長的詩的意象，因此級數又被冠以美譽—“數學詩”。

數學的魅力不僅在于形式的簡潔、和諧與優(yōu)美，更在于以嚴密的結構和邏輯推理揭示出廣袤的自然規(guī)律的真實圖景。數學結構的這種內在美，來自各部分的和諧秩序，并能為純粹的理智所領會，可以說，正是這種內在美給了滿足我們感官的五彩繽紛的美景的骨架，使我們面對一個秩序井然的整體，能夠預見數學定理。這種理念美完全要靠數學美的自身魅力去喚起，在教學中，我們要深入挖掘和呈現這些隱藏在背后的美學思想、美學價值、美學功能，從而培育學生的審美思維方法和美學觀念。

［1］吳振奎.數學中的美［M］.上海：上海教育出版社，2004.

［2］張順燕.數學的美與理［M］.北京：北京大學出版社，2004.

［3］同濟大學應用數學系.高等數學［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［4］易南軒.數學美拾?。跰］.北京：科學出版社，2002.

［5］沈世云，鄭繼明.淺析《高等數學》中的美學思想［J］.重慶郵電學院學報，2004，（6）：2—3.