軸承零件圓輪廓最小二乘圓誤差的Newton迭代法修正

張 慧，宋曉波，李文超，溫朝杰

(洛陽軸研科技股份有限公司，河南 洛陽 471039)

在軸承套圈溝道或鋼球等圓輪廓的接觸式測量中，對采樣點進行評定時，最小二乘圓法是目前通用的評定方法，此方法計算簡便但存在一定的誤差。為使評定結(jié)果更加精確，更逼近真實值，現(xiàn)采用Newton迭代法對最小二乘圓法評定結(jié)果進行修正。

1 圓輪廓的最小二乘圓通用算法

在軸承零件圓輪廓的實際測量過程中，得到的一系列測量點(xi,yi)，按照圓的標稱形式進行最小二乘圓的優(yōu)化計算，可以得到圓輪廓半徑和圓心的坐標[1-2]。

如圖1所示，傳感器實際測量出來的一系列測量點組成樣本集(xi,yi)，i=1,2，…,N。

圖1 最小二乘圓示意圖

樣本集(xi,yi)中點到圓心的距離為di,則：

(1)

采用最小二乘法直接分析圓的輪廓，在對各未知參數(shù)求偏導后，無法求解，為了計算方便，可以取點(xi,yi)到圓心距離與圓半徑的平方差：

(2)

(3)

(4)

(5)

k2=N∑xiyi-∑xi∑yi，

(6)

(7)

(8)

但用最小二乘圓法對圓輪廓的采樣點進行評定時，不同的儀器各自存在不同的問題。

(1)對于圓度儀、圓柱度儀和溝曲率儀等儀器采用極坐標對圓輪廓進行測量評定時，采用的是采樣點到圓心的距離與圓半徑的平方差的平方，而不是兩者差的平方，因此增加了距離與半徑之和的權(quán)重，計算結(jié)果則必然使半徑變小，圓心位置發(fā)生偏移。

(2)對于輪廓儀等儀器采用直角坐標對圓輪廓進行測量評定時，采用的是采樣點到圓邊緣的距離；而根據(jù)最小二乘法的定義應該是實測值與相應圓上點的理論值之間的誤差。因此，以此距離代替誤差必然會帶來分析結(jié)果的誤差。

2 Newton迭代法對最小二乘圓誤差的修正

現(xiàn)針對上述兩種問題，分別提出不同的修正方法。

2.1 問題1的修正

根據(jù)圓的方程，點(xi,yi)到圓心的距離與半徑的差為：

(9)

按照Newton迭代法[3]，則有：

(10)

(11)

(12)

ΔA=Ak+1-Ak

(13)

ΔB=Bk+1-Bk

(14)

ΔR=Rk+1-Rk

(15)

取(6)～(8)式中的(A,B,R)為計算的初值(A0,B0,R0)，根據(jù)測量需要的精度，計算(ΔA，ΔB，ΔR)即可。

2.2 問題2的修正

根據(jù)圓的方程R2=(xi-A)2+(yi-B)2有：

在直角坐標系中，誤差為：

(16)

2.2.1 球體的修正

測量球體等凸面向上的圓形輪廓時：

(17)

按照Newton迭代法，則有：

(18)

(19)

(20)

2.2.2 溝道的修正

測量溝道等凸面向下的圓形輪廓時：

按照Newton迭代法，則有：

(22)

(23)

(24)

同樣，取(6)～(8)式中的(A,B,R)為計算的初值(A0,B0,R0)，根據(jù)測量需要的精度，計算(ΔA，ΔB，ΔR)即可。

3 結(jié)束語

利用極坐標的儀器采用最小二乘圓法對圓輪廓進行測量評定時，如果不進行修正，因為圓心位置的偏離和半徑的計算誤差，會導致圓度誤差的評定出現(xiàn)偏差，圓度值越大或工件偏心越大，誤差就越大，特別是偏心帶來的圓度誤差在進行精密測量時有時可以達到5%～15%。采用玻璃半球?qū)x器的精度進行評定時，雖然圓度值很小(0.05 μm以內(nèi))，但不同的偏心值仍可造成10%左右的誤差；采用橢圓標準件對儀器進行放大倍數(shù)的校正時，不同的偏心值甚至會造成15%～20%的測量誤差(多次測量的重復性)，給儀器的校準及評定帶來問題。通過Newton迭代法修正后，圓度值呈現(xiàn)一定的變化，最終趨于穩(wěn)定，可以將重復性誤差控制在0.1%～1%以內(nèi)，相應提高了儀器的精度。

利用直角坐標的儀器采用最小二乘圓法對圓輪廓進行評定時，測量誤差會呈現(xiàn)S形的變化。不僅圓心位置和評定半徑發(fā)生變化，誤差的本身也出現(xiàn)變化，從而整個圓輪廓的半徑一致性也變差。通過Newton迭代法的修正可以消除部分S形誤差(因為測桿的物理因素以及上下坡等因素也會帶來部分S形誤差)，并可將同測量段的半徑和圓心位置一致性穩(wěn)定在0.5%～1%以內(nèi)。