貴州電網(wǎng)短期負(fù)荷時(shí)間序列的混沌性仿真檢驗(yàn)

劉 彬，王紅蕾

(貴州大學(xué) 電氣工程學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550003)

近年來(lái)，混沌理論這門(mén)新興學(xué)科在科學(xué)研究中的地位日漸凸顯?；煦缱鳛橐粋€(gè)新的研究方向，已滲透到自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。對(duì)于混沌，目前尚無(wú)通用的嚴(yán)格定義，一般把不是由隨機(jī)性外因引起的，而是由確定性方程 (內(nèi)因)直接得到的具有隨機(jī)性的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱(chēng)為混沌。也就是說(shuō)：混沌是確定性系統(tǒng)表現(xiàn)出來(lái)的貌似隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)，是對(duì)初始條件十分敏感的長(zhǎng)期有界的動(dòng)態(tài)行為?；煦绮皇菬o(wú)序，而是包含著嚴(yán)格的內(nèi)在規(guī)律。混沌研究表明：即使是最簡(jiǎn)單的非線(xiàn)性系統(tǒng)仍然可以表現(xiàn)出非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。在電力系統(tǒng)領(lǐng)域，已有大量混沌性質(zhì)方面的研究。例如：電力經(jīng)濟(jì)中的混沌，機(jī)電系統(tǒng)混沌振蕩，分叉、混沌與電壓驟降，水輪發(fā)電機(jī)組調(diào)速系統(tǒng)中控制器參數(shù)誘發(fā)的混沌，靜態(tài)負(fù)荷模型辨識(shí)，電站經(jīng)濟(jì)運(yùn)行最優(yōu)負(fù)荷分配，模糊電力系統(tǒng)穩(wěn)定器的參數(shù)優(yōu)化，短期負(fù)荷預(yù)測(cè)，以及電氣設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測(cè)中信號(hào)的檢測(cè)方面等。通過(guò)研究混沌，人們對(duì)事物有了更加深入的了解。目前，電力系統(tǒng)對(duì)混沌現(xiàn)象分析主要采用的方法有：龐加萊映射、Lyapunov(李雅普諾夫)指數(shù)計(jì)算、Melnikov(梅爾尼科夫)方法和頻譜分析等。本文運(yùn)用李雅普諾夫指數(shù)法對(duì)貴州電網(wǎng)短期負(fù)荷時(shí)間序列展開(kāi)研究[1]。

1 李雅普諾夫指數(shù)

混沌運(yùn)動(dòng)的基本特點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)對(duì)初值條件極為敏感。兩個(gè)很靠近的初值所產(chǎn)生的軌道，隨時(shí)間推移按指數(shù)方式分離，Lyapunov指數(shù)就是定量描述這一現(xiàn)象的量。

1.1 概念及性質(zhì)

本文研究的貴州電網(wǎng)短期負(fù)荷時(shí)間序列屬于一維動(dòng)力系統(tǒng)。

對(duì)于一維映射：

由于一維映射下只有一個(gè)拉伸或折疊的方向，因此可以考慮初值 x0和它的近鄰值 x0+δx0。由映射式(1)作一次迭代后，這兩點(diǎn)之間的距離為：

n次迭代后，這兩點(diǎn)之間的距離則變?yōu)椋?/p>

式(3)說(shuō)明這兩點(diǎn)要以指數(shù)分離，這就是敏感的初始條件，如圖 1所示。式(3)中 λ稱(chēng)為 Lyapunov指數(shù)，它表示系統(tǒng)在多次迭代中平均每次迭代所引起的指數(shù)分離中的指數(shù)。

圖1 李雅普諾夫指數(shù)的定義

由式(3)可得

所以λ代表相鄰點(diǎn)之間距離的平均輻射率。利用復(fù)合函數(shù)的微分規(guī)則，有

其中：x1=f(x0)，x2=f(x1)=f(2)(x0)…

則 式(4)變?yōu)槭?5)或式(6)：

一維映射只有一個(gè)李雅普諾夫指數(shù)，它可能大于、等于或小于零。由上面的討論得知，若λ＜0，則意味著相鄰點(diǎn)最終要靠攏合并成一點(diǎn)，這對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)和周期運(yùn)動(dòng)；若 λ=0，則各點(diǎn)對(duì)應(yīng)周期倍分岔點(diǎn)；若 λ＞0，則意味著相鄰點(diǎn)最終要分離，根據(jù)敏感的初始條件，其對(duì)應(yīng)于混沌運(yùn)動(dòng)?？梢?jiàn)，λ由負(fù)變?yōu)檎砻髁诉\(yùn)動(dòng)向混沌的轉(zhuǎn)變，故λ＞0可作為系統(tǒng)混沌行為的一個(gè)判據(jù)[2]。

1.2 小數(shù)據(jù)量方法

計(jì)算李雅普諾夫指數(shù)的方法有：定義法、wolf方法、Jacobian方法、p-范數(shù)方法、小數(shù)據(jù)量方法等。綜合各種方法的難易度以及計(jì)算李雅普諾夫指數(shù)的準(zhǔn)確度，決定采用小數(shù)據(jù)量方法計(jì)算最大李雅普諾夫指數(shù)[3]。該方法的優(yōu)點(diǎn)在于：(1)對(duì)小數(shù)據(jù)組可靠；(2)計(jì)算量并不大；(3)相對(duì)容易操作；(4)計(jì)算精度較其他方法有明顯的改善。小數(shù)據(jù)量方法的整個(gè)計(jì)算過(guò)程如圖2所示。

圖2 小數(shù)據(jù)量方法流程圖

2 最大李雅普諾夫指數(shù)計(jì)算

目前，人們計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)常用wolf的軌線(xiàn)算法，但是軌線(xiàn)法具有明顯的缺陷。首先，用此法計(jì)算所得結(jié)果經(jīng)常不準(zhǔn)確。原因在于按軌線(xiàn)算法尋找不到滿(mǎn)足條件的新的鄰域軌道時(shí)，研究者必須使用較差的軌道，不難想到，較差的軌道使得后來(lái)計(jì)算出現(xiàn)誤差。其次，軌線(xiàn)算法受嵌入?yún)?shù)的影響明顯，這是因?yàn)榍度雲(yún)?shù)影響了重構(gòu)相空間的形狀。但此方法不可避免地要對(duì)嵌入?yún)?shù)作出猜測(cè)。除此，有人也用矩陣算法來(lái)計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)，而矩陣算法的一個(gè)明顯缺陷是計(jì)算過(guò)程過(guò)于繁難，不易實(shí)施。因此，本文采用另一種新方法——小數(shù)據(jù)量法來(lái)計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)值。在混沌研究和實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)并不需要計(jì)算出時(shí)間序列的所有Lyapunov指數(shù)譜，而只要計(jì)算出最大Lyapunov指數(shù)就足夠了。故判斷一個(gè)時(shí)間序列是否為混沌系統(tǒng)，只要看最大Lyapunov指數(shù)是否大于零就能得出結(jié)論。

2.1 用快速傅里葉變換(FFT)估計(jì)時(shí)間延遲τ和平均周期P

本文收集貴州電網(wǎng)短期負(fù)荷時(shí)間序列為：貴州電網(wǎng)2009年7月1日到8月31日的負(fù)荷值。每隔一個(gè)小時(shí)取一個(gè)負(fù)荷值，共1 488個(gè)值。

對(duì)貴州電網(wǎng)負(fù)荷時(shí)間序列進(jìn)行描點(diǎn)，畫(huà)出貴州電網(wǎng)短期負(fù)荷時(shí)間序列圖，如圖3所示。從圖中可以看出，貴州電網(wǎng)短期負(fù)荷時(shí)間序列波形變化具有一定的相似性。

不直接考慮氣候等隨機(jī)因素，利用貴州電網(wǎng)短期負(fù)荷時(shí)間序列進(jìn)行FFT變換，根據(jù)自相關(guān)函數(shù)法：對(duì)負(fù)荷時(shí)間序列，先寫(xiě)出其自相關(guān)函數(shù)，然后作出自相關(guān)函數(shù)關(guān)于時(shí)間τ的函數(shù)圖像，如圖4所示。由數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果，當(dāng)自相關(guān)函數(shù)(縱坐標(biāo))下降到初始值的 1－1/e(大約為0.63)時(shí)，所得的時(shí)間 τ(橫坐標(biāo))就是重構(gòu)相空間的時(shí)間延遲 τ(τ取正整數(shù))。

由圖4中看出，當(dāng)自相關(guān)函數(shù)下降至大約0.63時(shí)，所對(duì)應(yīng)的時(shí)間大約為3.6，所以得出短期負(fù)荷時(shí)間序列的時(shí)延為4 h。平均周期通過(guò)能量光譜的平均頻率的倒數(shù)估計(jì)出來(lái)，由MATLAB編程計(jì)算得出P為24。

2.2 計(jì)算嵌入維數(shù)m

由Grassberger和Procaccia提出的G-P算法計(jì)算關(guān)聯(lián)維數(shù)d。通過(guò)關(guān)聯(lián)維數(shù)d與嵌入維數(shù)m的關(guān)系：m≥2d+1確定m的值[4]。

圖4 自相關(guān)函數(shù)法求時(shí)延

圖5 不同m時(shí)的lnC-lnr曲線(xiàn)

圖6 d隨m的變化曲線(xiàn)

此算法依據(jù)的方法是：寫(xiě)出時(shí)間序列的關(guān)聯(lián)函數(shù)C(r)，r為一個(gè)給定的值。對(duì)于 r的某個(gè)適當(dāng)范圍，滿(mǎn)足d(m)=ln C(r)/ln r。通過(guò)增加嵌入維數(shù)m，重復(fù)計(jì)算C與d，直到相應(yīng)的維數(shù)估計(jì)值d不再隨m的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，在一定誤差范圍內(nèi)不變?yōu)橹?。從而由擬合求出對(duì)應(yīng)于m的關(guān)聯(lián)維數(shù)估計(jì)值d。由MATLAB編程調(diào)試?yán)L出不同m下d的ln C-ln r曲線(xiàn)(為方便編程，ln C等同于ln C(r))，如圖5所示，其直線(xiàn)部分的斜率就是關(guān)聯(lián)維數(shù)d。得出 d=1.808 9，2.185 7，2.404 7，2.303 9，2.301 4，2.331 9，2.341 0，2.348 5，2.355 5，2.356 6，2.359 9，2.374 3，2.386 1，2.398 8，2.406 3，2.416 2，2.418 9，2.434 0，2.443 7。

對(duì)應(yīng)d隨m變化的曲線(xiàn)圖如圖6所示。m從2開(kāi)始，根據(jù)圖 6得出：當(dāng) m為 10、11、12時(shí)，關(guān)聯(lián)維數(shù) d趨于平穩(wěn)，故m取 11。

2.3 重構(gòu)相空間

相空間重構(gòu)是從時(shí)間序列出發(fā)創(chuàng)建一個(gè)多維狀態(tài)空間，它保持了原系統(tǒng)的許多幾何不變量不變，這些幾何不變量包括不動(dòng)點(diǎn)的特征值、吸引子的分維數(shù)和軌線(xiàn)的 Lyapunov指數(shù)等[5]。

根據(jù)時(shí)間延遲τ和平均周期P重構(gòu)相空間Yj，并且找最近點(diǎn)，限制短暫分離。對(duì)相空間中每個(gè)點(diǎn)Yj，計(jì)算出該鄰點(diǎn)對(duì)經(jīng)過(guò)i個(gè)離散時(shí)間步長(zhǎng)后的距離dj(i)；之后對(duì)每個(gè)i，求出所有j的ln dj(i)平均值y(i)，測(cè)量平均分離，即：

其中，q是非零 dj(i)的數(shù)目，△t為采樣周期。

最后用最小二乘法作出擬合直線(xiàn)，該直線(xiàn)的斜率就是最大 Lyapunov指數(shù) λ1，如圖7所示。

根據(jù)MATLAB編程調(diào)試，作擬合直線(xiàn)計(jì)算得出λ1為0.003 1。

由最大 Lyapunov指數(shù) λ1＞0，得出貴州電網(wǎng)短期負(fù)荷時(shí)間序列具有混沌性。這也為今后利用混沌理論更加深入地對(duì)貴州電力系統(tǒng)作出進(jìn)一步的研究打下了基礎(chǔ)。針對(duì)電網(wǎng)短期負(fù)荷的研究，現(xiàn)在應(yīng)用最多的就是短期負(fù)荷預(yù)測(cè)。短期負(fù)荷預(yù)測(cè)是電力系統(tǒng)的一項(xiàng)基本工作，是安排開(kāi)停機(jī)機(jī)組計(jì)劃的基礎(chǔ)，其預(yù)測(cè)精度直接影響電力系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)效益[6]?；煦缋碚撛诙唐陔娏ω?fù)荷預(yù)測(cè)中的應(yīng)用也逐漸增多。混沌理論對(duì)負(fù)荷序列能進(jìn)行相空間重構(gòu)、分形維數(shù)計(jì)算、最大李雅譜諾夫理論指數(shù)計(jì)算以及不確定性檢驗(yàn)，對(duì)影響負(fù)荷變化因素的復(fù)雜性和隨機(jī)性有更強(qiáng)的適應(yīng)性，這可以彌補(bǔ)其他方法在收斂性和魯棒性等方面的局限性。

圖7 最大Lyapunov指數(shù)λ1

[1]黃潤(rùn)生，黃浩.混沌及其應(yīng)用(第二版)[M].武漢:武漢大學(xué)出版社，2005:118-178.

[2]呂金虎，陸君安，陳士華.混沌時(shí)間序列分析及其應(yīng)用[M].武漢:武漢大學(xué)出版社，2002:72-109.

[3]ROSENSTEIN M T， COLLINS J J， DE LUCA C J.A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets[J].Physica D，1993(65):117-134.

[4]GRASSBERGER P，PROCACCIA I.Measuring the strangeness of strange attractors[J].Physica D，1983(9):189-208.

[5]王海燕，盧山.非線(xiàn)性時(shí)間序列分析及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社，2006:12-43.

[6]劉晨輝.電力系統(tǒng)負(fù)荷預(yù)測(cè)理論與方法[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1987:77-112.