微元法在新課程標(biāo)準(zhǔn)教材中的體現(xiàn)

王勝利

(河南省宜陽第一高級中學(xué),河南宜陽 471600)

在復(fù)雜的物理過程中,某一物理量可能一直都在變化著,這種情況下,把整個(gè)過程分割為許多小過程或把研究對象分割成大量的微小單元,只要分割后的過程或單元足夠小,對這種微小過程或單元,就可以把變化的量看作恒量來處理,從而使問題得到解決,這就是微元法.這種以大化小,以恒代變的思維方法,是物理學(xué)先人首創(chuàng)的解決連續(xù)變化問題的科學(xué)思維方法.新課程標(biāo)準(zhǔn)與原教學(xué)大綱相比,最顯著的變化是課程目標(biāo)發(fā)生了根本改變,課程的功能由過去單純強(qiáng)調(diào)知識與技能轉(zhuǎn)向同時(shí)關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀.這一變化在新課程標(biāo)準(zhǔn)教材中有所體現(xiàn),其中微元法就是一例.

1 微元法在教學(xué)內(nèi)容中的體現(xiàn)

(1)瞬時(shí)速度.“……平均速度只能粗略地描述運(yùn)動(dòng)的快慢.為了使描述精確些,可以把Δt取得小一些,物體在從t到t+Δt這樣一個(gè)較小的時(shí)間間隔內(nèi),運(yùn)動(dòng)快慢的差異也就小一些.Δt越小,運(yùn)動(dòng)的描述就越精確.如果Δt非常非常小,就可以認(rèn)為表示的是物體在時(shí)刻t的速度,這個(gè)速度叫做瞬時(shí)速度.”

圖1

(2)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移.該節(jié)教材是教師培養(yǎng)學(xué)生掌握微元法的最好素材.教材首先指出勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移在v-t圖像中如何表示,接著通過一個(gè)紙帶問題,討論怎樣估算做勻變速運(yùn)動(dòng)的小車,在某段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的位移,并類比勻速直線運(yùn)動(dòng)得出這種估算方法也可以用 v-t圖像表示[圖1(甲)],進(jìn)而指出“上面的做法是粗糙的.為了精確一些,可以把運(yùn)動(dòng)過程劃分為更多的小段…….”[圖1(乙)]最后進(jìn)行概括總結(jié)“可以想象,如果把整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程劃分得非常非常細(xì),很多很多小矩形的面積之和就能非常準(zhǔn)確地代表物體的位移了.這時(shí),“很多很多”小矩形頂端的“鋸齒形”就看不出來了,這些小矩形合在一起成了一個(gè)梯形OABC.此梯形的面積就代表做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體從 O(此時(shí)速度是 v0)到 t(此時(shí)速度是 v)這段時(shí)間間隔的位移.”[圖1(丙)]整節(jié)教材內(nèi)容的處理將微元思想體現(xiàn)得淋漓盡致,學(xué)生在學(xué)到知識的同時(shí)也掌握了用微元法處理問題的方法.

(3)曲線的切線.如圖2所示,過曲線上 A、B兩點(diǎn)作直線,這條直線叫做曲線的割線.設(shè)想B點(diǎn)逐漸向A點(diǎn)移動(dòng),這條割線的位置也就不斷變化.當(dāng)B點(diǎn)非常接近A點(diǎn)時(shí),這條割線就叫做曲線在 A點(diǎn)的切線.

(4)重力的功.教材首先研究物體豎直向下運(yùn)動(dòng)時(shí),重力做的功;接著研究物體沿著傾斜直線向下運(yùn)動(dòng)重力做的功;最后研究物體沿任一路徑運(yùn)動(dòng)重力做的功,如圖 3所示,“我們把整個(gè)路徑分成許多很短的間隔,

圖2

圖3

由于每一段都很小,因而可以近似地看作一段傾斜的直線.設(shè)每段小斜線的高度差分別是

則物體通過每段小斜線時(shí)重力所做的功分別為

物體通過整個(gè)路徑時(shí)重力所做的功,等于重力在每小段上所做功的代數(shù)和,即

這里的分析表明,物體運(yùn)動(dòng)時(shí),重力對它做的功只跟它的起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置有關(guān),而跟物體運(yùn)動(dòng)的路徑無關(guān),功的大小等于物重跟起點(diǎn)高度的乘積 mgh1與物重跟終點(diǎn)高度的乘積 mgh2兩者之差.

此外,探究性課題“探究彈性勢能的表達(dá)式”,做一做“用傳感器觀察電容器的充電和放電”也都是培養(yǎng)學(xué)生掌握微元法的極好素材,在實(shí)際教學(xué)過程中應(yīng)很好地加以利用.

2 微元法在教材習(xí)題中的體現(xiàn)

(1)選修3-2第14頁第7題.1831年10月28日,法拉第在一次會(huì)議上展示了他發(fā)明的圓盤發(fā)電機(jī).它是利用電磁感應(yīng)的原理制成的,是人類歷史上的第一臺(tái)發(fā)電機(jī).據(jù)說,在法拉第表演他的圓盤發(fā)電機(jī)時(shí),一位貴婦人問道:“法拉第先生,這東西有什么用呢?”法拉第答道:“夫人,一個(gè)剛出生的嬰兒有什么用呢?”圖4是這個(gè)圓盤發(fā)電機(jī)的示意圖:銅盤安裝在水平的銅軸上,它的邊緣正好在兩磁極之間,兩塊銅片C、D分別與轉(zhuǎn)動(dòng)軸和銅盤的邊緣接觸.使銅盤轉(zhuǎn)動(dòng),電阻中就有電流通過.

圖4

(1)說明圓盤發(fā)電機(jī)的原理.

(2)圓盤如圖示方向轉(zhuǎn)動(dòng),請判斷通過R的電流方向.

解析:(1)如果我們將圓盤沿半徑方向分割為很多狹窄的金屬條(圖5),則每根金屬條就會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢,轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤可以看作無數(shù)多個(gè)相同的電源并聯(lián)在一起,根據(jù)右手定則知道,圓盤的邊緣(即銅片D)是電源的正極,圓盤轉(zhuǎn)軸(即銅片 C)則是電源的負(fù)極.由于電源與所接電阻R構(gòu)成閉合電路,所以銅盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),回路中就會(huì)有電流通過.這就是圓盤發(fā)電機(jī)的工作原理.

(2)通過上面的分析可以知道,圓盤如圖示方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),通過電阻的電流方向應(yīng)該從下向上.

假設(shè)銅盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 ω,銅盤的直徑為D,則每根金屬棒轉(zhuǎn)動(dòng)切割磁感線產(chǎn)生的電源電動(dòng)勢大小為.

圖5

無數(shù)多根金屬棒并聯(lián)后,電源電動(dòng)勢仍為

電源內(nèi)阻為

由于金屬棒是無數(shù)多根,即n→∞,故 r→0.

根據(jù)閉合電路歐姆定律,通過電阻 R的電流大小為

(2)選修 3-2第29頁 3題.在科技館中?？吹竭@樣的表演:一根長1 m左右的空心鋁管豎直放置[圖 6(甲)].把一枚磁性很強(qiáng)的小圓柱形永磁鐵從鋁管上端放入管口,圓柱直徑略小于鋁管的內(nèi)徑.根據(jù)一般經(jīng)驗(yàn),小圓柱自由落下1 m左右的時(shí)間不會(huì)超過0.5 s,但把小圓柱從上端管口放入管中后,過了許久它才從鋁管下端落出.小圓柱在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),沒有感覺到它跟鋁管內(nèi)壁發(fā)生摩擦,把小圓柱靠著鋁管,也不見它們相互吸引.是什么原因使小圓柱在鋁管中緩慢下落呢?如果換一條有裂縫的鋁管[圖6(乙)],圓柱在鋁管中的下落就變快了.這又是為什么?

圖6

解析:我們假想將鋁管分割成許許多多小鋁環(huán),如圖6(丙)所示.當(dāng)小圓柱形永磁鐵在鋁管中下落時(shí),對于其上的小鋁環(huán) A而言,小圓柱遠(yuǎn)離 A,對于其下的小鋁環(huán) B而言,小圓柱靠近 B,小鋁環(huán) A的磁通量減小,小鋁環(huán)B的磁通量增加,小鋁環(huán)A、B中會(huì)有感應(yīng)電流產(chǎn)生,感應(yīng)電流的磁場就要阻礙每個(gè)小鋁環(huán)磁通量的變化,這樣小鋁環(huán) A對小圓柱有引力作用,小鋁環(huán)B對小圓柱有斥力作用.由此可知,小圓柱在鋁管中下落時(shí),小圓柱上方的鋁管對其不停施加引力,下方的鋁管對其不停施加斥力,造成小圓柱在鋁管中緩慢下落.如果鋁管有裂縫,鋁管內(nèi)不會(huì)形成感應(yīng)電流,鋁管對小圓柱不會(huì)產(chǎn)生磁力作用,自然小圓柱下落就變快了.

3 用微元法解決教材中的兩個(gè)問題

(1)第二宇宙速度

在地球表面發(fā)射出去的人造天體能夠擺脫地球引力的羈絆而環(huán)繞太陽運(yùn)行所必須具有的速度叫做第二宇宙速度,也叫脫離速度,其大小為 11.2 m/s.這一數(shù)值是怎樣得到的?

如圖7所示,設(shè)地球的質(zhì)量為M,半徑為 R,將一質(zhì)量為 m的人造天體以初速度v0沿半徑方向發(fā)射出去,人造天體先后經(jīng)過相距很近兩點(diǎn) A、B,如果 A點(diǎn)距地心的距離為r,B點(diǎn)距地心的距離為r+Δr,在這個(gè)很小的區(qū)間Δr上,萬有引力對人造天體做的功為

圖7

圖8

因此,人造天體從地球表面到脫離地球,萬有引力對人造天體做的功為

(2)示波器中的鋸齒形掃描電壓的有效值

第2個(gè)等份時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的熱量為……

第n個(gè)等份時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的熱量為

設(shè)此交變電壓的有效值為 U,則有

解得

總之,微元法是我們研究解決物理問題的重要方法之一,在新課改理念日益深入人心的今天,我們在教學(xué)實(shí)踐中,不僅要關(guān)注學(xué)生對知識的學(xué)習(xí),更要關(guān)注學(xué)生對處理問題方法的掌握,著力培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.