是雙曲線還是圓周?

許 文

(華中科技大學附屬中學,湖北武漢 430074)

《中學物理》2006年第10期載有一文《對拉車一問題的深析》,文中作者從數(shù)學的角度對一拉車問題進行了深入的分析,筆者讀后受益匪淺.但文中作者對拉車問題展開,提到了另一問題2,但對問題2分析得出的的結(jié)論我認為是值得商榷的.為便于商討,這里將原文中問題2及部分分析與解答抄錄如下:

圖1

問題 2:有一長為 l的輕質(zhì)彈性繩BC(繩兩端固定),在離 B點l1遠處的 A點進行施力F,試問 A點拉到什么位置能使兩(段)繩子上的拉力(大小)相等,并確定此時拉力F作用線的方向?[注:為使問題表述更清楚,括號內(nèi)文字為本人添加.]

解析:如圖1所示(以彈性繩BC的中點為坐標原點O,BC為x軸,建立直角坐標系),令兩段繩上拉力(大小)均為T,彈性繩的勁度系數(shù)為k,設(shè)將 A點拉到D點時滿足題目要求,由公式 T=kΔx可知,要使兩段繩上拉力(大小)相等,則應(yīng)使(兩段繩子的伸長量)Δx1=Δx2,然后分析證明得出D點到B、C兩點的距離差為一定值,再從雙曲線的定義知滿足題目要求D點應(yīng)在雙曲線上時,兩段繩子上有相等(大小)的拉力.

筆者認為以上的分析中“要使兩段繩上拉力(大小)相等,則應(yīng)使(兩段繩子的伸長量)Δx1=Δx2”是值得商討的.我們不妨設(shè)繩BA段長為l1,繩 AC段長為l2.應(yīng)該分以下兩種情況進行討論:

(1)若l1=l2,則不難得出滿足問題要求的D點應(yīng)在y軸上(繩形變在彈性限度內(nèi)).

(2)若l1≠l2,我們設(shè)彈性繩BA段的勁度系數(shù)為k1,彈性繩AC段的勁度系數(shù)為k2.由于同一種彈性繩的勁度系數(shù)與繩長度成反比,則有

由(1)、(2)式得

將(3)式變形得

圖2

(4)式即為滿足問題要求的D點所在的軌跡方程.顯然這是一個圓心為0] 、半 徑的一個圓.若令 l=2、l1=0.5、l2=1.5(均為長度單位),則可得D點所在圓周的圓心O′坐標為(-1.25,0),圓半徑 R=0.75.如圖2所示.

至于作用在D點拉力F的作用線,不難分析出應(yīng)在∠BDC的角平分線上.

我們對此問題的數(shù)學分析,能很好的培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學知識分析和解決物理問題的能力,落實新課標的教學理念.但為了嚴肅該問題的科學性,我們有必要對此問題作出以上的分析與討論.