主成份分析綜合評(píng)價(jià)模型的改進(jìn)及應(yīng)用

李粉紅，劉新平

（1.商洛學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，陜西 商洛 726000；2.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710062）

1 方法簡(jiǎn)介

1.1 分組主成份分析

分組主成份分析[1]是將主成份分析和因子分析結(jié)合的一種方法，它先對(duì)樣本做因子分析，然后對(duì)各組變量進(jìn)行主成份分析，只提取第一主成份，僅算各組第一主成份的得分Cj(j=1，2，…，k)；再以各組的第一主成份得分 Cj(j=1，2，…，k)為各組得分，以因子旋轉(zhuǎn)后各因子的方差貢獻(xiàn)率(其中 λl是旋轉(zhuǎn)后因子的特征值)為權(quán)重，建立綜合評(píng)價(jià)模型進(jìn)行排序，分類。(為了方便仍用原文中的符號(hào))

1.2 變異系數(shù)作為權(quán)系數(shù)的可行性

在綜合評(píng)價(jià)中，變異系數(shù)、復(fù)相關(guān)系數(shù)等一些統(tǒng)計(jì)系數(shù)也常用來(lái)作為權(quán)數(shù)[2]，變異系數(shù)反映的是變量之間的變異程度。原始數(shù)據(jù)一般包含兩方面的信息：一是各指標(biāo)變異程度的差異信息，二是各指標(biāo)之間相互影響程度上的信息，實(shí)際上也就是各指標(biāo)的變異系數(shù)和相關(guān)系數(shù)。而協(xié)方差矩陣能完全刻劃原始數(shù)據(jù)的全部信息，由定義知，其對(duì)角線元素即為各指標(biāo)的方差，非對(duì)角元素則包含了各指標(biāo)間的相關(guān)系數(shù)的信息。而通常的主成份分析中對(duì)原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后數(shù)據(jù)的協(xié)方差陣的主對(duì)角元素全為1，那么實(shí)際上就抹殺了各指標(biāo)變異程度的差異信息。

主成份分析通常是先將原始數(shù)據(jù)無(wú)量綱化，再由其協(xié)方差矩陣或相關(guān)系數(shù)矩陣來(lái)求主成份。而像其它的無(wú)量綱化方法如均值化或比重法等，無(wú)量綱化后的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的對(duì)角線元素都與該變量的變異系數(shù)有關(guān)。所以不管是選擇通用的方法是對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，還是用均值化或比重法等，從協(xié)方差矩陣或相關(guān)系數(shù)矩陣來(lái)求主成份，則結(jié)果中更多反映的是數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系，若加進(jìn)變異系數(shù)，體現(xiàn)出數(shù)據(jù)的變異信息，就能使原始數(shù)據(jù)的全部信息在綜合評(píng)價(jià)得以體現(xiàn)，從而達(dá)到對(duì)問(wèn)題全面評(píng)價(jià)的目的。

1.3 建立模型

在分組主成份分析的基礎(chǔ)之上，將主成份分析作如下改進(jìn)：

對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行無(wú)量綱化，得到數(shù)據(jù)陣X=(xij)n×p，方法選用均值化或其他方法，其余步驟均按照分組主成份分析，在建立綜合評(píng)價(jià)模型時(shí)，選擇將各變量的變異系數(shù)和分組后的方差貢獻(xiàn)率這兩種權(quán)數(shù)進(jìn)行組合，得到綜合評(píng)價(jià)模型：

其中?k是以分組后各組的方差貢獻(xiàn)率為權(quán)數(shù)時(shí)各變量Xk的系數(shù)，ρk是各變量Xk的變異系數(shù)。

2 應(yīng)用實(shí)例

2.1 數(shù)據(jù)的來(lái)源

根據(jù)科學(xué)性原則和可比性原則，對(duì)我國(guó)中等職業(yè)教育的發(fā)展情況，選擇以下十個(gè)變量作為綜合評(píng)價(jià)的指標(biāo)：X1：每萬(wàn)人口的畢業(yè)生數(shù)；X2：每萬(wàn)人口的招生數(shù)；X3：每十萬(wàn)人口的在校學(xué)生數(shù)；X4：獲得職業(yè)資格證書(shū)占當(dāng)年畢業(yè)生人數(shù)的比例；X5：每萬(wàn)人口的職工人數(shù)；X6：每萬(wàn)人口的專任教師；X7：職業(yè)中學(xué)教育經(jīng)費(fèi)支出占地方教育事業(yè)費(fèi)支出的比例：X8：生均教育經(jīng)費(fèi)支出占地方教育事業(yè)費(fèi)支出的比例；X9：生均預(yù)算內(nèi)教育經(jīng)費(fèi)支出占地方教育事業(yè)費(fèi)支出的比例：X10：年末購(gòu)置專用設(shè)備金額占本年設(shè)備購(gòu)置費(fèi)的比例.

指標(biāo)的原始數(shù)據(jù)取自《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒，2006》和《中國(guó)教育經(jīng)費(fèi)統(tǒng)計(jì)年鑒，2005》。

2.2 分析結(jié)果

為了加強(qiáng)方法之間的可比性，分別用傳統(tǒng)主成份分析、分組主成份分析和改進(jìn)后的方法，借助SPSSl2.0[3]及EXCEL軟件，對(duì)我國(guó)中等職業(yè)教育發(fā)展情況作詳盡的分析(缺少西藏的數(shù)據(jù))，得到如下結(jié)果：

表1 特征值及特征向量

表2 分組主成份分析的分組情況

表3 各模型得分及排名

(2)用分組主成份法計(jì)算綜合評(píng)價(jià)值

因子分析后將原指標(biāo)分成三個(gè)組，第三個(gè)因子只在X4上有較大載荷，用前面的結(jié)果，得到E2，具體值見(jiàn)表3。

建立綜合評(píng)價(jià)模型為：

(3)用改進(jìn)方法計(jì)算，建立綜合評(píng)價(jià)模型得到E3(見(jiàn)表3)

2.3 結(jié)果討論

從綜合排名情況可以看出，幾種綜合方法在大部分地區(qū)上前后相差不大，而在個(gè)別地區(qū)上還是有很大的不同，E2、E3的排名前后有差距，但基本差異不大口浙江按E1排在第1名，按 E2在第 3名，而按 E3在第 7名，青海在 E2、E3中均排在第1位，而若用用第一主成份或衛(wèi)1則位于第30名，從其余省份的排名也可以看出第一主成份或E1排名與E2、E3的排名的差距。這種差異從原始數(shù)據(jù)來(lái)看不是模型引起的，因?yàn)閺脑紨?shù)據(jù)來(lái)看青海在變量 X8、X9、X1。上的值居于所有省、市之首，尤其在X10上更是超出其他省很多，而在E3中引入了描述變量變異程度的量一變異系數(shù)，這幾個(gè)奇異值導(dǎo)致了青海的排名靠前，實(shí)際上就是沒(méi)有引進(jìn)變異系數(shù)的E2中青海也排在第一位.從此排名可以了解各地區(qū)中等職業(yè)教育的發(fā)展?fàn)顩r，總體上來(lái)看發(fā)達(dá)地區(qū)的發(fā)展情況要好，進(jìn)一步也可以找出各省份存在的問(wèn)題。

另外，也可根據(jù)綜合評(píng)價(jià)值按通常方法對(duì)各省份分類，不再贅敘。

3 結(jié)論

(1)在用主成份分析做綜合評(píng)價(jià)時(shí)，應(yīng)堅(jiān)持理論界的提法，只提取第一主成份，而不能簡(jiǎn)單提取多個(gè)，以方差貢獻(xiàn)率為權(quán)數(shù)加權(quán)；

(2)在分組主成份分析基礎(chǔ)上，引進(jìn)變異系數(shù)建立的綜合評(píng)價(jià)模型，經(jīng)過(guò)實(shí)證檢驗(yàn)，能反映原始數(shù)據(jù)的相關(guān)信息和變異信息，證明用該模型作綜合評(píng)價(jià)更客觀、合理。

(3)對(duì)我國(guó)31個(gè)地區(qū)中等職業(yè)教育的發(fā)展情況進(jìn)行綜合分析，由綜合得分排名，說(shuō)明了地域差別對(duì)職業(yè)教育的影響，為我國(guó)中等職業(yè)教育的健康發(fā)展提供了一定的依據(jù)。

[1]侯文.對(duì)應(yīng)用主成份法進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)的探討[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2006，（2）.

[2]胡永宏，賀思輝.綜合評(píng)價(jià)方法[M].北京：科學(xué)出版社，2000.

[3]章文波，陳紅艷.實(shí)用數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析及應(yīng)用，SPSS12.0[M].北京：人民郵電出版社，2006.