基于M F-DFA的股市多重分形結(jié)構(gòu)研究

李海洋,王 磊

(河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,南陽(yáng) 473009)

0 引 言

股票市場(chǎng)是一個(gè)非常復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng),關(guān)于其波動(dòng)規(guī)律的研究分析一直是人們所熱衷的話題.被譽(yù)為＂分形之父＂的分形學(xué)創(chuàng)始人Mandelbrot指出,如果把股票市場(chǎng)走勢(shì)圖按一定比例放大或縮小,每年、每月的波動(dòng)和每周甚至每日的波動(dòng),在一定范圍內(nèi),趨勢(shì)都是極其相似的.而這種體現(xiàn)＂自相似＂性的股市曲線,完全可以利用適用于分形理論的研究方法進(jìn)行分析判斷.1997年,Mandelbrot創(chuàng)立了著名的資產(chǎn)收益率多重分形模型[1],用于描述金融資產(chǎn)價(jià)格變化規(guī)律,他進(jìn)一步指出,多重分形分析可以復(fù)現(xiàn)波動(dòng)劇烈的金融交易,提供關(guān)于市場(chǎng)動(dòng)向的預(yù)計(jì)值,從而顯示出變幻莫測(cè)的金融市場(chǎng)的某些規(guī)律性.

多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析法(MF-DFA)是Kantelhardt于2002年提出的[2],該方法在研究分形信號(hào)時(shí),能夠很好的揭示非平穩(wěn)時(shí)間序列中的長(zhǎng)范圍相關(guān)性.自其創(chuàng)立之日起,MF-DFA就被頻繁的應(yīng)用于研究金融股票市場(chǎng)的多重分形結(jié)構(gòu),并取得了一些有益的結(jié)論.本文依據(jù)分形理論,基于MF-DFA方法,選取了國(guó)內(nèi)外股票市場(chǎng)中的一些數(shù)據(jù),即每日收益來(lái)研究分析其多重分形結(jié)構(gòu),并給出了結(jié)論.

1 MF-DFA簡(jiǎn)介

去趨勢(shì)波動(dòng)分析法(DFA)[3]是目前常用來(lái)分析分形信號(hào)性質(zhì)和確定非穩(wěn)態(tài)時(shí)間序列相關(guān)性的一種數(shù)學(xué)工具,而MF-DFA是對(duì)DFA的一種推廣,其步驟如下:

(1)首先對(duì)于一個(gè)原始的時(shí)間序列x(i),i=1,2,…,N,我們考察它的輪廓(Profile)其中N表示該時(shí)間序列的長(zhǎng)度表示取平均值.

(4)將F2(v,n)在所有具有長(zhǎng)度n的部分上作平均,相應(yīng)的q次波動(dòng)函數(shù)可以由下式給出:

(5)Fq(n)的主要性質(zhì)是,對(duì)于一個(gè)分形信號(hào),它揭示了冪定律的尺度關(guān)系.固定階數(shù)q,通過(guò)在雙對(duì)數(shù)圖中分析,Fq(n)與的關(guān)系如下:

此時(shí),對(duì)每一個(gè)分割長(zhǎng)度n,可求出相應(yīng)的一個(gè)波動(dòng)函數(shù)值Fq(n),作出ln Fq(n)～ln n函數(shù)關(guān)系圖,其斜率即為 q階廣義 Hurst指數(shù) h(q).當(dāng)h(q)不依賴于q,即h(q)為常數(shù)時(shí),這就是單分形的情況;在多重分形的情況下,h(q)關(guān)于q是單調(diào)下降的.

(6)通過(guò)以上步驟而得到的h(q)與Renyi指數(shù)τ(q)相關(guān),具體關(guān)系如下:

其中α刻畫(huà)了奇異性強(qiáng)度,f(α)即被看成是原序列中具有奇異性α的子集的分形維數(shù).

2 股市多重分形結(jié)構(gòu)研究

在這里我們選取了一些主要國(guó)家股票市場(chǎng)中的每日收益數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行多重分形研究,使用的數(shù)據(jù)是從www.finance.yahoo.com上獲得的,以下分析過(guò)程中相關(guān)數(shù)據(jù)的運(yùn)算和圖像的繪制均由MATLAB完成.

首先是18組來(lái)自不同國(guó)家的股票價(jià)格指數(shù),選取的是2000-2009年這段時(shí)間內(nèi)各個(gè)股市每日收盤指數(shù),忽略其中的非交易日,每個(gè)序列大約有2500-3500個(gè)數(shù)據(jù).這18組數(shù)據(jù)分別來(lái)自:SP500(美國(guó))、GSPTSE(加拿大)、IPC(墨西哥)、MERV(阿根廷)、CAC(法國(guó))、DAX(德國(guó))、FTSE100(英國(guó))、MIBTEL(意大利)、OSEAX(挪威)、XU100(土耳其)、NIKKEI(日本)、KOSPI(韓國(guó))、STI(新加坡)、HSI(香港)、ISEC weighted(臺(tái)灣)、SSEC(中國(guó)大陸)、BSE(印度)、KLSE(馬來(lái)西亞).在這里需要指出的是,我們獲得的是原始數(shù)據(jù)是大盤每日收盤的價(jià)格序列,而考察的是它的對(duì)數(shù)價(jià)格增量

由前面所述步驟,首先計(jì)算q次波動(dòng)函數(shù)F q(n),對(duì)(5)式兩邊取對(duì)數(shù),得到一組h(q).從圖1中可以看出(以 SP500、DAX、HSI、NIKKEI為例),對(duì)應(yīng)不同的q,h(q)是不同的,并且是關(guān)于q的單調(diào)下降函數(shù),即考察的時(shí)間序列符合重分形的特征.

圖1 lnFq(n)～lnn函數(shù)關(guān)系圖,q=8,5,2,-1,-4

H=h(2)被稱為Hurst指數(shù).當(dāng)序列是完全隨機(jī)的時(shí)候,;當(dāng)序列具有正相關(guān)性時(shí),H＞;當(dāng)序列具有反相關(guān)性時(shí),.我們將這18組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的h(0),h(1),h(2)在下表中給出:

美國(guó) 加拿大 法國(guó) 英國(guó) 意大利 德國(guó) 墨西哥 阿根廷 挪威h(0) 0.4928 0.5392 .4948 0.5198 0.5537 0.5320 0.5745 0.5805 0.5801 h(1) 0.4813 0.5148 0.4820 0.5081 0.5367 0.5162 0.5586 0.5630 0.5608 h(2) 0.4589 0.4848 0.4650 0.4911 0.5175 0.4987 0.5393 0.5422 0.5324△α 0.5153 0.4343 0.3305 0.4102 0.4779 0.5481 0.3945 0.3831 0.5402土耳其 日本 韓國(guó) 新加坡 香港 臺(tái)灣 中國(guó) 印度 馬來(lái)h(0) 0.5642 0.5287 0.5500 0.5641 0.5527 0.5606 0.5740 0.5621 0.6216 h(1) 0.5541 0.5080 0.5360 0.5560 0.5362 0.5488 0.5333 0.5362 0.5917 h(2) 0.5412 0.4877 0.5251 0.5413 0.5139 0.5344 0.5009 0.5094 0.5441△α 0.3435 0.5287 0.3433 0.4186 0.4591 0.3035 0.5723 0.5128 0.6631

由上表可以清楚的看到,對(duì)應(yīng)于成熟的股票市場(chǎng),即美國(guó) 、加拿大 、法國(guó) 、德國(guó)、意大利、日本,都有來(lái)自其他新興市場(chǎng)的都

重分形奇異普給出許多重要信息來(lái)描述其內(nèi)部結(jié)構(gòu),在(7)式中的α刻畫(huà)了奇異性的強(qiáng)度而f(α)即被看成該結(jié)構(gòu)中具有奇異性 α的子集的分形維數(shù).通常一個(gè)結(jié)構(gòu)重分形特征的強(qiáng)弱可以從其譜的出來(lái).△α也在上表中給出,顯然它沒(méi)有對(duì)應(yīng)于H那樣的一致性結(jié)果.

對(duì)于一個(gè)重分形序列,其重分形性質(zhì)源自兩個(gè)方面:一是該序列的非高斯分布,即具有“尖峰、胖尾”特征的分布;二是該序列的長(zhǎng)程相關(guān)性.要分辨這兩種來(lái)源,一個(gè)簡(jiǎn)單的方法是將該序列的次序充分的隨機(jī)打亂,破壞其相關(guān)性[5].在圖2中我們給出了這種變化前后的對(duì)比(以 SP500、DAX、HSI、NIKKEI為例).

可以看到:第一列對(duì)應(yīng) f(α)vs.α說(shuō)明更強(qiáng)的重分形性對(duì)應(yīng)更“曲”的曲線;第二列對(duì)應(yīng)τ(q)vs.q,當(dāng)序列被隨機(jī)打亂后,其譜的寬度明顯變窄了.同時(shí)可以看到原序列最大的 f(α)位于α=0.5附近,表明具有較弱的自相關(guān)性;而隨機(jī)打亂的序列,其最大的f(α)都位于α=0.5處.我們考察次序打亂前后的譜寬比沒(méi)有發(fā)現(xiàn)像Hurst指數(shù) H那樣的一致性結(jié)果.

圖2 左列為不同的股票指數(shù)對(duì)應(yīng)的奇異譜 f(α),右列為τ(q)關(guān)于q的關(guān)系.

其中實(shí)線對(duì)應(yīng)原始序列(original series),虛線對(duì)應(yīng)隨即打亂后的序列(shuffled series).

3 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)以上考察,我們可以清楚看到股市多重分形特征的存在,其序列分布較之高斯分布具有典型的＂尖峰、胖尾＂特征,也發(fā)現(xiàn)了發(fā)達(dá)國(guó)家成熟的股票市場(chǎng)與發(fā)展中國(guó)家不太成熟的股票市場(chǎng)之間所存在明顯差異,揭示了一些對(duì)預(yù)測(cè)股市變化有益的一些規(guī)律,這對(duì)于我們深入了解與把握股票市場(chǎng)的變化趨勢(shì)都是具有積極意義的.

同時(shí)也可以看出,MF-DFA作為一種新的方法,在研究分形結(jié)構(gòu)時(shí)具有較好的準(zhǔn)確度和穩(wěn)定性.雖然當(dāng)前關(guān)于金融市場(chǎng)多重分形理論的研究仍處于初步階段,還有一些問(wèn)題有待解決[6],但是基于MF-DFA的股市多重分形結(jié)構(gòu)研究卻是有著相當(dāng)重要的指導(dǎo)意義和應(yīng)用價(jià)值的.

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