均勻流場(chǎng)中螺旋槳線譜噪聲的頻域預(yù)報(bào)方法

謝劍波，周其斗，紀(jì) 剛，方 斌

(海軍工程大學(xué) 船舶與海洋工程系，湖北 武漢 430033)

螺旋槳噪聲是船舶輻射噪聲的主要分量.螺旋槳噪聲預(yù)報(bào)主要是基于聲類(lèi)比方程［1］，即先通過(guò)試驗(yàn)或計(jì)算流體力學(xué)等方法確定聲源強(qiáng)度，再通過(guò)Ffowcs Williams-Hawkings方程求解由固體邊界和Lighthill應(yīng)力張量所輻射的聲場(chǎng)，通?？煞譃闀r(shí)域法和頻域法兩種方法:時(shí)域法需要對(duì)每一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)求解延遲時(shí)間方程，其解的輸入輸出都必須是時(shí)間的函數(shù)，與頻域法相比，物理意義不清晰，求解復(fù)雜;頻域法則是通過(guò)傅里葉變換用頻譜來(lái)表示輻射聲場(chǎng)，直觀，物理意義清晰，并且葉片幾何和運(yùn)行條件都相當(dāng)明了，尤其適應(yīng)于計(jì)算遠(yuǎn)場(chǎng)噪聲.螺旋槳噪聲預(yù)報(bào)理論均需要對(duì)聲源進(jìn)行積分.在具有代表性的噪聲預(yù)報(bào)理論中，Hanson的頻域法［2］和Farassat的時(shí)域法［3］均需要假設(shè)無(wú)厚度的薄機(jī)翼理論，因此只能在螺旋槳投影平面上對(duì)聲源進(jìn)行積分.朱錫清等人［4-6］結(jié)合非定常升力面理論和聲類(lèi)比方法對(duì)船舶螺旋槳的低頻線譜噪聲和寬帶譜噪聲進(jìn)行了研究，但由于其理論基礎(chǔ)是Hanson的螺旋面理論，在對(duì)聲源積分時(shí)仍需要假設(shè)薄機(jī)翼理論.因此，有必要研究一種能夠在螺旋槳真實(shí)葉表面對(duì)聲源進(jìn)行積分的方法.在Lighthill聲類(lèi)比理論和Ffowcs William-Hawkings方程的基礎(chǔ)上，運(yùn)用具有平均流效果的格林函數(shù)，成功的導(dǎo)出了遠(yuǎn)場(chǎng)輻射線譜噪聲的頻域表達(dá)式，該表達(dá)式突破了投影面和薄機(jī)翼的界限，允許在真實(shí)槳葉表面對(duì)聲源進(jìn)行積分.應(yīng)用該頻域表達(dá)式數(shù)值預(yù)報(bào)了均勻流場(chǎng)中的R212槳的輻射線譜噪聲，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，并對(duì)線譜噪聲指向性進(jìn)行了分析.

1 線譜噪聲理論推導(dǎo)

根據(jù)Lighthill聲類(lèi)比理論，在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中存在固體邊界時(shí)決定聲場(chǎng)產(chǎn)生的聲類(lèi)比方程［7］為

式中:v(τ)為不可穿透固定表面S(τ)的外域，T為一相對(duì)較長(zhǎng)的時(shí)間，fi=-ni(p-p0)+njeij為由邊界施加給流體的單位面積表面力的第i個(gè)分量，eij為粘性應(yīng)力的第(i，j)個(gè)分量，ni為表面 S(τ)的單位內(nèi)法向矢量n的第i個(gè)分量，p0和ρ0分別為靜態(tài)流體的壓力和密度，Tij′= ρvi′vj′+eij為等熵流動(dòng)的Lighthill應(yīng)力張量.值得注意的是Lighthill應(yīng)力張量為固定坐標(biāo)系下度量的速度vi′=vi-δ1iU，而不是運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系下的度量速度vi.

根據(jù)聲波方程和Sommerfeld輻射條件，并運(yùn)用Lorenz變換可得頻域中格林函數(shù)G的形式為［8-9］

式中:μ =κ/β2，E=R+M(y1-x1)，ω 為角頻率，κ =ω/c0為聲波數(shù)，M=U0/c0為平均來(lái)流速度對(duì)應(yīng)的馬赫數(shù)，

式(1)中第一項(xiàng)為傳播項(xiàng)與非線性擾動(dòng)引起的四極子聲源，第二項(xiàng)為葉片上負(fù)荷引起的偶極子聲源，而第三項(xiàng)為葉片體積和旋轉(zhuǎn)速度引起的單極子聲源.考慮到船舶螺旋槳或亞音速航空螺旋槳其葉梢速度均小于音速，并且葉片為薄葉片，因此只需關(guān)注第二項(xiàng)，即葉片表面產(chǎn)生的偶極子聲源.從而螺旋槳輻射聲壓可表示為

式(3)的積分中隱含了延遲時(shí)間τ，對(duì)其進(jìn)行直接計(jì)算會(huì)有很大難度.因此，為簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，可將觀察點(diǎn) x=(x1，r，θ′)和源點(diǎn) y=(y1，r0，θ0′)用平動(dòng)坐標(biāo)系來(lái)表示，該坐標(biāo)系以速度U=(U0，0，0)向前運(yùn)動(dòng)，如圖1所示.直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系具有以下關(guān)系:

在葉片固連坐標(biāo)系中，觀察點(diǎn)和源點(diǎn)可分別表示為 xb=(x1，r，θ)，yb=(y1，r0，θ0).運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系和固連坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

圖1 槳葉固連坐標(biāo)系Fig.1 Blade-fixed coordinate system

考慮一個(gè)具有Nb個(gè)葉片的螺旋槳.將式(2)中的格林函數(shù)G代入到式(3)中，并對(duì)時(shí)間t進(jìn)行傅里葉變換，可得到單個(gè)槳葉在均勻流場(chǎng)下產(chǎn)生的輻射聲壓:

在遠(yuǎn)場(chǎng)噪聲分析中，有 r0、y1?Rs，其中為聲源中心點(diǎn)到觀察點(diǎn)的修正距離，如圖1所示.

對(duì)源點(diǎn)與觀察點(diǎn)之間的距離R在Rs附近進(jìn)行展開(kāi)，并忽略二階小量，有

R ≈ Rs- ［y1cos ψ + β2r0sin ψcos(θ0′- θ′)］.(9)式中:cos ψ =x1/Rs，sin ψ =r/Rs.

將式(9)代入式(8)，并將格林函數(shù)G對(duì)槳葉固連坐標(biāo)系中的柱坐標(biāo)y1、r0和θ0進(jìn)行求導(dǎo)，有

均勻流場(chǎng)中螺旋槳葉表面壓力為定常壓力分布，因此，可將葉表面單位面積上的力表示為式中:(yb)為葉表面的定常壓力分布，n={n1，nr，nθ}為槳葉表面向里的單位向量.

注意到指數(shù)函數(shù)有如下性質(zhì):

式中:Jm(Z)為第一類(lèi)型的貝塞爾函數(shù)，將式(12)對(duì)θ和Z分別進(jìn)行求導(dǎo)，有

將式(11)至式(14)代入式(10)中，并對(duì)時(shí)間積分，經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的數(shù)學(xué)處理后，可得到均勻流場(chǎng)中的螺旋槳遠(yuǎn)場(chǎng)輻射線譜噪聲:

式中:Z=κr0sin ψ，Nb為槳葉葉數(shù)，l為輻射階次，m=Nbl為葉頻數(shù)，dS(yb)表示在葉片真實(shí)表面對(duì)聲源積分.

貝塞爾函數(shù)有如下性質(zhì)J-m(-Z)=Jm(Z)，所以第l階葉頻處壓力可以表示為

則均方根聲壓可由下式給出

從而第l階葉頻處的聲壓級(jí)就可表示為

式中:參考聲壓pref=2×10-5Pa.

2 數(shù)值計(jì)算及其與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較

本節(jié)利用上節(jié)中推導(dǎo)的螺旋槳輻射線譜噪聲預(yù)報(bào)理論，以工作在均勻流場(chǎng)中的Dowty Rotor R212四葉航空槳為算例進(jìn)行了計(jì)算.Trebble于1987年對(duì)此槳在均勻流場(chǎng)中的線譜噪聲進(jìn)行過(guò)試驗(yàn)測(cè)量［10-11］，圖 2 所示為螺旋槳轉(zhuǎn)速 7 000 rad/min，來(lái)流速度U=50 m/s時(shí)測(cè)得的線譜噪聲值.

圖2 n=7 000 rad/min，U=50 m/s時(shí)測(cè)量的噪聲譜Fig.2 Measured tone noise level at n=7 000 rad/min and U=50 m/s

首先對(duì)R212槳在U=50 m/s時(shí)的均勻流場(chǎng)下的定常壓力進(jìn)行CFD仿真計(jì)算，計(jì)算采取“動(dòng)-靜”區(qū)域相結(jié)合方法，即將流域劃分為2個(gè)區(qū)域:一個(gè)是包含螺旋槳的較小區(qū)域，該區(qū)域以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng);另一個(gè)是包圍前一個(gè)流域的外圍區(qū)域，該區(qū)域相對(duì)地面靜止.圖3所示為計(jì)算出的吸力面壓力系數(shù)分布圖.

將螺旋槳槳葉離散成有限個(gè)三角形單元，并確保單元尺寸小于最大頻率聲波對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)的1/8或1/10，從而螺旋槳表面積分就可轉(zhuǎn)化為三角形單元積分的疊加.將應(yīng)用CFD方法得到的單元表面定常壓力(yb)代入螺旋槳線譜噪聲預(yù)報(bào)公式(15)中，可得出各階線譜噪聲的聲壓，再由聲壓級(jí)表達(dá)式(18).可最終得到各階葉頻處的預(yù)報(bào)聲壓級(jí).圖4為前11階葉頻處預(yù)報(bào)的線譜噪聲聲壓級(jí)及其與試驗(yàn)值的比較.

圖3 R212螺旋槳吸力面壓力系數(shù)分布Fig.3 Distribution of pressure coefficient at suction side of R212 propeller

從圖4中可以看出，除第一階葉頻處預(yù)報(bào)值比試驗(yàn)值偏大7 dB外，其他階次處預(yù)報(bào)值誤差均不超過(guò)1.5 dB，因此可以認(rèn)為建立的均勻流場(chǎng)中螺旋槳輻射線譜噪聲預(yù)報(bào)理論具有相當(dāng)高的預(yù)報(bào)精度.另外從圖中也可以看出，隨著頻率的增加，線譜噪聲值逐漸減小.

圖4 預(yù)報(bào)聲壓級(jí)與試驗(yàn)值比較Fig.4 Comparison between predicted and measured tone noise level

圖5 線譜噪聲指向性Fig.5 Tone noise directivity

圖5 給出了頻率為 f=466.7 Hz、1 400 Hz和2 333 Hz下的線譜噪聲聲壓級(jí)指向性.極角Ψ是與x1軸的夾角(x1軸與螺旋槳運(yùn)動(dòng)方向相反)，在x2=0平面上測(cè)量的觀察點(diǎn)距離為Rd=50 m.從圖中可以看出，指向性主瓣與螺旋槳運(yùn)動(dòng)方向垂直，而在軸向上的輻射為零.并且隨著葉片通過(guò)頻率的增加，主瓣寬度相應(yīng)減小.

3 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)均勻流場(chǎng)中的螺旋槳輻射線譜噪聲進(jìn)行了詳細(xì)的理論分析，推導(dǎo)并建立了可對(duì)聲源在螺旋槳真實(shí)葉表面進(jìn)行積分的預(yù)報(bào)線譜噪聲的頻域方法，并對(duì)R212空氣槳進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算.

對(duì)R212槳的數(shù)值計(jì)算及與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較證明了文中所給出的線譜噪聲公式的有效性和準(zhǔn)確性.文中建立的頻域表達(dá)式將在后續(xù)文中進(jìn)一步拓展應(yīng)用于非均勻流場(chǎng)中的螺旋槳離散譜噪聲和廣譜噪聲預(yù)報(bào).

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