彈性限位浮筏隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模與算法

溫建明，馮 奇

（同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海200092）

彈性限位浮筏隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模與算法

溫建明，馮 奇

（同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海200092）

文章從接觸動(dòng)力學(xué)的角度，建立多自由度多彈性限位浮筏隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法用于判別限位器的接觸狀態(tài)。實(shí)例分析指出，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法接觸判別的時(shí)間大大縮短，接觸計(jì)算得以實(shí)現(xiàn)。得出了對(duì)工程有指導(dǎo)意義的結(jié)論：限位器單向約束時(shí)，筏體和設(shè)備的最大位移與限位器之間存在最優(yōu)間隙。限位器雙向約束時(shí)，筏體的最大位移與限位器之間存在最優(yōu)間隙，而設(shè)備的最大位移隨著限位器的間隙增大而增大。限位器間隙對(duì)系統(tǒng)的影響與限位器的約束狀態(tài)有關(guān)。

浮筏；彈性限位；人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

1 引 言

含有限位器的浮筏隔振系統(tǒng)的抗沖擊研究是一個(gè)涉及到非線性動(dòng)力學(xué)，多自由度非線性系統(tǒng)建模、多剛體動(dòng)力學(xué)、計(jì)算機(jī)仿真和優(yōu)化等多種學(xué)科大分析計(jì)算問題。目前，國內(nèi)外的研究比較集中在理論研究和試驗(yàn)研究相結(jié)合[1-2]。帶限位器的浮筏系統(tǒng)在受到?jīng)_擊作用時(shí)，限位器與設(shè)備之間的接觸狀態(tài)隨著系統(tǒng)的振動(dòng)會(huì)發(fā)生變化，這樣就必須采用接觸動(dòng)力學(xué)模型描述，考慮撞擊時(shí)間以及接觸力。目前，對(duì)彈性限位器進(jìn)行的非線性動(dòng)力學(xué)研究主要都集中在單自由度系統(tǒng)[3-6]，對(duì)實(shí)際問題分析時(shí)主要借助于數(shù)值算法。Pfeiffer[7-8]建議采用拉格朗日乘子，將接觸力預(yù)先乘入相應(yīng)的雅可比矩陣，加在無接觸的動(dòng)力學(xué)方程上，并歸之于LCP問題。Feng[9]提出了采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法求解單邊接觸動(dòng)力學(xué)問題，并通過索結(jié)構(gòu)的計(jì)算得到了很好的驗(yàn)證。本文從接觸動(dòng)力學(xué)的角度，建立多自由度多彈性限位浮筏隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，將人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法用于判別限位器的接觸狀態(tài)。實(shí)例分析指出，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法接觸判別的時(shí)間大大縮短，接觸計(jì)算得以實(shí)現(xiàn)。同時(shí)研究了單向限位和雙向限位兩種限位狀態(tài)下限位器間隙對(duì)浮筏系統(tǒng)受沖擊情況下的影響。

2 彈性限位浮筏隔振系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程的建立

具有多個(gè)彈性限位器的浮筏隔振系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型如圖1所示，浮筏隔振系統(tǒng)中的每個(gè)物體都看作具有六個(gè)自由度的剛體，隔振器簡(jiǎn)化為三向剛度的彈性元件，假設(shè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為小角度轉(zhuǎn)動(dòng)，取每個(gè)剛體的質(zhì)心位移和卡爾丹角為廣義坐標(biāo)：

xi,yi,zi,αi,βi,γii=1,2,…

2.1 多剛體浮筏隔振系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)于隔振系統(tǒng)中的每一個(gè)物體，利用牛頓－歐拉方程，有如下形式[7]：

對(duì)于系統(tǒng)引入比例阻尼，產(chǎn)生系統(tǒng)的振動(dòng)方程為：

2.2 彈性限位器的接觸

如果gNi＞0，則物體n與限位器之間沒有接觸；如果gNi=0，則物體n與限位器之間接觸；如果gNi＜0，則物體n與限位器之間接觸并產(chǎn)生接觸力。因此接觸條件：

接觸力對(duì)物體m質(zhì)心的接觸力矩：

接觸力對(duì)物體n質(zhì)心的接觸力矩：

上式中，IBmA為物體m的連體基相對(duì)于慣性基的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換陣，IBnA為物體n的連體基相對(duì)于慣性基的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換陣。

一般地，如果有k個(gè)限位器，則每一個(gè)限位器最鄰近點(diǎn)的距離都可以寫成：

q為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，由于wNi，i均為與時(shí)間無關(guān)的量，因此最鄰近點(diǎn)的相對(duì)速度和相對(duì)加速度可寫為：

用向量和矩陣的形式表示為：

2.3 含有接觸力的浮筏隔振系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

如果浮筏隔振系統(tǒng)在受到?jīng)_擊作用，運(yùn)動(dòng)范圍超出了其限位器的約束空間，此時(shí)彈性限位器與剛體發(fā)生接觸，在隔振系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程中必須添加相應(yīng)的接觸力和接觸力矩。設(shè)某時(shí)刻t，有nk個(gè)限位器發(fā)生接觸，則添加接觸力后的運(yùn)動(dòng)方程可寫為：

另λNj=，表示接觸力的大小，將上述方程進(jìn)行整理，則運(yùn)動(dòng)微分方程可寫為：

由于限位器只能承受壓力，因此接觸力向量λN中所有元素必須非負(fù)，即λN≥0。此外，接觸點(diǎn)的相對(duì)加速度也必須非負(fù)，否則非穿透條件則不能滿足。如果＜0，則意味著接觸終止，其接觸力相應(yīng)地消失。如果=0，則物體仍舊保持著接觸，接觸力的大小λN≥0。因此對(duì)接觸點(diǎn)存在著互補(bǔ)條件：

結(jié)合運(yùn)動(dòng)微分方程，系統(tǒng)可得到一個(gè)線性互補(bǔ)問題：

3 接觸狀態(tài)的決策

由于在浮筏隔振系統(tǒng)中存在的限位器比較多，當(dāng)有多個(gè)可能的接觸點(diǎn)存在時(shí)，接觸的可能位形也有許多種可能。根據(jù)文獻(xiàn)[7]可知，方程（17）的線性互補(bǔ)問題可以等價(jià)為優(yōu)化問題，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)把優(yōu)化問題中的目標(biāo)函數(shù)約束條件與Hopfield的能量函數(shù)聯(lián)系起來，那么電路達(dá)到的平衡點(diǎn)就是能量函數(shù)極小點(diǎn)，也是優(yōu)化中滿足約束條件下的目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。由于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是并行計(jì)算，其計(jì)算時(shí)間不隨維數(shù)的增加而發(fā)生指數(shù)性質(zhì)的“爆炸”，因此用于判別限位器的接觸狀態(tài)很有效。

3.1 優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)

優(yōu)化問題的關(guān)鍵是構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，在此利用高斯原理構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)如下：

3.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法

根據(jù)要求的目標(biāo)函數(shù)，設(shè)計(jì)Hopfield能量函數(shù)[10]E，令V=μ

Ri為電路中的電阻，令Ri=1，狀態(tài)變量Z與輸出變量V的關(guān)系為一硬函數(shù)：

寫成離散的反饋式網(wǎng)絡(luò)為：

上述方程構(gòu)成了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算公式。網(wǎng)絡(luò)參數(shù)W（t ），I（t）的具體表達(dá)式為：

4 實(shí)例分析

浮筏隔振系統(tǒng)的筏體、設(shè)備的參數(shù)如表1。

表1 浮筏基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of floating raft

上層組件共安裝3×10只減振器和3×6只抗沖擊限位器，減振器縱向剛度:1 715kN/m，橫向剛度:1 715kN/m，垂向剛度:3 435kN/m。下層組件共安裝3×12只減振器和3×6只抗沖擊限位器，減振器縱向剛度:1 880kN/m，橫向剛度:1 880kN/m，垂向剛度:3 760kN/m。下層限位器安裝在基礎(chǔ)上，上層限位器安裝在筏體上，限位器的剛度取為隔振器的0.7倍，沖擊作用的沖擊加速度為50gsin 350（）τ，沖擊時(shí)間為6ms。單向限位時(shí)限位器間隙為g0，雙向限位時(shí)限位器間隙為±g0。g0≥（）0 。文中采用Matlab語言編制程序?qū)崿F(xiàn)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)限位器接觸狀態(tài)的決策[11]。

圖3表示限位器單向限位時(shí)，浮筏隔振系統(tǒng)的沖擊最大垂向位移與限位器間隙的關(guān)系，（a）為筏體的最大垂向位移與限位器間隙的關(guān)系，（b）為設(shè)備1的最大垂向位移與限位器間隙的關(guān)系，橫坐標(biāo)為限位器的間隙，縱坐標(biāo)為最大垂向位移，z1max表示筏體的最大垂向位移，z2max設(shè)備1的最大垂向位移，可以看出，對(duì)筏體來說，沖擊時(shí)最大垂向位移的最小值發(fā)生在限位器間隙為12mm的情況下，而當(dāng)限位器間隙大于22mm時(shí)，限位器不起作用，為無限位器下的最大位移。而對(duì)于設(shè)備1來說，沖擊最大垂向位移的最小值發(fā)生在限位器間隙為7mm，而當(dāng)限位器間隙大于12mm時(shí)，限位器不起作用。因此，對(duì)于設(shè)計(jì)限位器間隙時(shí)，筏體的限位器間隙與設(shè)備的限位器間隙應(yīng)分別設(shè)置，筏體的限位器間隙應(yīng)大于設(shè)備的限位器間隙。這是由于筏體的限位器限制的是筏體的絕對(duì)位移，而設(shè)備的限位器限制的是設(shè)備與筏體的相對(duì)位移。

圖4表示限位器雙向限位時(shí)，浮筏隔振系統(tǒng)的沖擊最大垂向位移與限位器間隙之間的關(guān)系圖。圖中橫坐標(biāo)為限位器的間隙，縱坐標(biāo)為最大垂向位移，z1max表示筏體的最大垂向位移，z2max為設(shè)備1的最大垂向位移。可以看出，對(duì)于筏體來說，垂向最大位移在間隙為6mm的情況下達(dá)到了最小值。隨著間隙的增大，垂向位移的最大值也在增大，當(dāng)限位器間隙達(dá)到20mm時(shí)，限位器不再起作用。對(duì)于設(shè)備來說，隨著限位器的間隙增大，垂向位移也增大。設(shè)備1當(dāng)限位器間隙超過11mm時(shí)，限位器不起作用。雙向限位器間隙對(duì)系統(tǒng)的影響與單向限位器間隙的影響是不同的。

5 結(jié) 論

本文建立了多自由度多彈性限位浮筏抗沖隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)微分方程，將人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法用于判別限位器的接觸狀態(tài)。實(shí)例分析指出，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的計(jì)算時(shí)間為直接搜索計(jì)算時(shí)間的1/1 000，接觸判別的時(shí)間大大縮短。同時(shí)研究了單向限位和雙向限位兩種限位狀態(tài)下限位器間隙對(duì)浮筏系統(tǒng)受沖擊情況下的影響，指出了限位器單向約束時(shí)，筏體和設(shè)備的最大位移與限位器之間存在最優(yōu)間隙，筏體的最優(yōu)間隙與設(shè)備的最優(yōu)間隙是不同的，應(yīng)分別設(shè)置。限位器雙向約束時(shí)，筏體的最大位移與限位器之間存在最優(yōu)間隙，而設(shè)備的最大位移隨著限位器的間隙增大而增大。限位器間隙對(duì)系統(tǒng)的影響與限位器的約束狀態(tài)有關(guān)。

[1]William T F.UNDEX testing:When,why&how it began[C]//Proceedings of the 70th Shock and Vibration Symposium,Albuquerque,New Mexico,USA,1999:15-19.

[2]Van Ananhold J E,Meijer G J,Lemmen P P M.Under shock response analysis of a floationg vessel[J].Shock and Vibration,1998,5:53-59.

[3]胡海巖.隔振系統(tǒng)限位器的非線性動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)[J].航空學(xué)報(bào),1996,17(5):529-533.

[4]Narayanan S,Sekar P.Periodic and chaotic responses of an SDF system with piecewise linear stiffness subjected to combined harmonic and flow induced excitations[J].Journal of Sound and Vibration,1995,184(2):281-298.

[5]Chicurel-Uziel E.Exact,single equation,closed-form solution of vibrating systems with piecewise linear springs[J].Journal of Sound and Vibration,2001,245(2):285-301.

[6]Chatterjee S,Malik A K,Ghosh A.Periodic response of piecewise non-linear oscillators under harmonic excitation[J].Journal of Sound and Vibration,1996,191(1):129-144.

[7]Pfeiffer F,Glocker C.Multibody dynamics with unilateral contacts[M].Cambridge,UK:Wiley,1996.

[8]Pfeiffer F.Mechanical system dynamics[M].New York:Springer,2008.

[9]Feng Q,Tu J.Modeling and algorithm on a class of mechanical systems with unilateral constraints[J].Archive of Applied Mechanics,2006,76(1-2):103-116.

[10]張立明.人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型及其應(yīng)用[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1993.

[11]葛哲學(xué),孫志強(qiáng).神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論與MATLAB R2007實(shí)現(xiàn)[M].北京:電子工業(yè)出版社,2007.

Model and algorithm for floating raft with elastic limiters

WEN Jian-ming,FEN Qi

(School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics,Tongji University,Shanghai 200092,China)

Based on contact dynamics,the multi-degree-freedom dynamic model of floating raft isolation system with elastic limiters was established.The artificial neural network was used to dingtinguish the contact state of elastic limiters.The example analysis showed that the algorithm of artificial neural network for contact shortened the time of caclaution.The contact calculation could be realized.Some interesting results may be useful to the actual engineerings:for setting an unilateral limiter to the system,there is a best gap corresponding to the displacement of the raft and equipments.Setting the bilateral limiter to the system,there is a best gap corresponding to the raft.On the other hand,the maximum displacement of the equipment is increased with the limiter’s gap.The influence of gap for floating raft is concern of the constraints’status.

floating raft;elastic limiter;artificial neural network

032

A

1007-7294（2010）05-0549-07

2009-05-23

國家自然科學(xué)基金（10702051）：隨機(jī)非光滑系統(tǒng)中的摩擦和接觸研究（Friction and contact in stochastic nonsmooth system）；上海市重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目資助（B302）

溫建明（1972-），女，同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院副教授，wenjianming@#edu.cn。