MMF曲線擬合模型在固結(jié)系數(shù)計(jì)算中的應(yīng)用

戴 韜

0 引言

固結(jié)系數(shù)是反映土層固結(jié)特性的參數(shù),在基礎(chǔ)沉降計(jì)算中具有十分重要的意義。目前由室內(nèi)固結(jié)試驗(yàn)確定固結(jié)系數(shù)的方法中,應(yīng)用最廣泛的是時(shí)間平方根法和時(shí)間對(duì)數(shù)法[1],這兩種方法均屬作圖法,人為因素對(duì)于固結(jié)系數(shù)的計(jì)算影響較大。此后,國內(nèi)外許多學(xué)者提出了一些新的圖解法:試算法[1]、反彎點(diǎn)法[2]、司各脫法[3]以及標(biāo)準(zhǔn)曲線比擬法[4]等,但均無法回避圖解法缺點(diǎn)和求解不便。近期國內(nèi)外學(xué)者通過對(duì)地基土體固結(jié)過程的研究,提出了一些新的方法,如包太[5]等提出的計(jì)算固結(jié)系數(shù)的最小二乘法、李濤[6]等提出的計(jì)算固結(jié)系數(shù)的剩余沉降對(duì)數(shù)法、張勇[7]等提出的計(jì)算固結(jié)系數(shù)的固結(jié)速率半對(duì)數(shù)法以及張儀萍[8]等提出的計(jì)算固結(jié)系數(shù)的方法等。其中,文獻(xiàn)[8]從太沙基固結(jié)理論出發(fā),推導(dǎo)出了主固結(jié)沉降量與沉降速率之間的關(guān)系,且該關(guān)系為線性關(guān)系。利用這一關(guān)系計(jì)算固結(jié)系數(shù)非常簡便和實(shí)用,但文獻(xiàn)在確定各時(shí)刻的沉降速率時(shí)采用差商法,按式(1)計(jì)算:

顯然,按上式計(jì)算固結(jié)沉降速率即利用沉降曲線上某一段的割線斜率表示起點(diǎn)的切線斜率,也即用某一段時(shí)間的平均沉降速率代替起始點(diǎn)的沉降速率,誤差相對(duì)比較大。尤其當(dāng)Δt越大時(shí),其誤差也越大。

為了彌補(bǔ)這一方法的不足,本文采用沉降曲線擬合法來確定各時(shí)刻的沉降速率,進(jìn)而按照文獻(xiàn)[8]提出的方法計(jì)算固結(jié)系數(shù),并將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果表明:用本文方法計(jì)算沉降速率,所得到的固結(jié)系數(shù)與文獻(xiàn)[8]相比,計(jì)算精度大大提高。

1 沉降量與沉降速率關(guān)系的推導(dǎo)[8]

土層固結(jié)度Ut的計(jì)算式為[1]:

其中,Cv為固結(jié)系數(shù);t為時(shí)間;H為排水距離;m為奇數(shù)正整數(shù)。

由于上式級(jí)數(shù)收斂很快,當(dāng)?shù)鼗翆拥墓探Y(jié)度 Ut＞30%時(shí),可近似取第一項(xiàng),即:

其中,St為土層某時(shí)刻的固結(jié)沉降;S為土層最終的固結(jié)沉降。

在某級(jí)試驗(yàn)荷載下,β和S可以認(rèn)為是常數(shù)。將式(5)對(duì)時(shí)間求導(dǎo),有:

上式即為沉降速率的表達(dá)式。聯(lián)立式(5)和式(6)可得固結(jié)沉降量與沉降速率之間的關(guān)系式為:

顯然,式(7)中固結(jié)沉降量與沉降速率之間為線性關(guān)系,利用這一關(guān)系可以很方便的求解出固結(jié)系數(shù)Cv。

-β為直線段斜率,則固結(jié)系數(shù)表達(dá)式為:

因此,只要能夠準(zhǔn)確的確定各時(shí)刻的沉降速率,即可得到β,進(jìn)而得到固結(jié)系數(shù) Cv。

2 沉降速率的確定方法

文獻(xiàn)[8]按照式(1)確定各時(shí)刻的沉降速率,顯然此種方法誤差相對(duì)比較大。尤其當(dāng)Δt越大時(shí),其誤差也越大。因此,本文采用MMF曲線擬合模型來擬合固結(jié)沉降量與時(shí)間之間的關(guān)系。一旦確定了固結(jié)沉降量與時(shí)間之間的關(guān)系,則很容易求得各時(shí)刻的沉降速率。

MMF曲線擬合模型的表達(dá)式為:

只要擬合值與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)之間的誤差足夠小,相關(guān)性足夠高,就可以用上式來描述土體沉降量與時(shí)間之間的變化規(guī)律,即:

其中,a,b,c,d均為模型參數(shù)。

則土體t時(shí)刻的沉降速率為:

利用式(11)即可計(jì)算出土體任意時(shí)刻的沉降速率,將各時(shí)刻的沉降速率與沉降量代入式(7)即可求出土體的固結(jié)系數(shù)。

3 算例驗(yàn)證

算例[8]土樣初始厚度為16.5 mm,經(jīng)24 h后土樣厚度為14.1 mm。試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 算例1試驗(yàn)數(shù)據(jù)

根據(jù)表1中試驗(yàn)數(shù)據(jù),采用MMF曲線模型對(duì)沉降曲線進(jìn)行擬合。擬合沉降曲線表達(dá)式為:

線性相關(guān)系數(shù)為:r=0.999 9。

擬合沉降速率表達(dá)式為:

擬合曲線如圖1所示。

由擬合曲線和誤差分析可知:用MMF曲線擬合模型對(duì)其進(jìn)行擬合,誤差非常小,相關(guān)系數(shù)非常高,幾乎達(dá)到1。因此,MMF曲線模型能夠非常好的反映土體沉降與時(shí)間的關(guān)系,用式(13)得到的沉降速率非常接近土體固結(jié)沉降的真實(shí)速率。

由于固結(jié)系數(shù)在土體固結(jié)過程中并不是一個(gè)常數(shù),而是不斷變化的。因此,固結(jié)系數(shù)的最終計(jì)算結(jié)果還與所取數(shù)據(jù)所處的時(shí)間段有關(guān)。取不同時(shí)間段的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算,所得到的固結(jié)系數(shù)也會(huì)有所不同。文獻(xiàn)[8]取540 s～2 160 s之間的數(shù)據(jù)計(jì)算固結(jié)系數(shù),為了對(duì)比用式(11)計(jì)算沉降速率與用式(1)計(jì)算沉降速率對(duì)所得固結(jié)系數(shù)的影響,本文亦取540 s～2 160 s之間的數(shù)據(jù)計(jì)算固結(jié)系數(shù)。這樣可以避開其他因素的影響。

將表1中540 s～2 160 s之間的數(shù)據(jù)代入到式(13)計(jì)算各時(shí)刻的沉降速率。計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 各時(shí)刻計(jì)算沉降速率表

將表2中各相關(guān)數(shù)據(jù)代入式(7),可得如圖2所示的曲線圖,其直線段斜率為β。

則直線段斜率β=0.001。線性相關(guān)系數(shù) R=0.989 7,故沉降量與沉降速率之間具有較高的相關(guān)性。

土樣初始厚度為1.65 cm,在第 540 s時(shí)的厚度為 1.55 cm,在第2 160 s時(shí)厚度為1.481 cm,在此期間平均厚度為1.516 cm,則排水距離H=0.757 8 cm。

將 H=0.757 8 cm,β=0.001代入式(8),可得到固結(jié)系數(shù)Cv=2.33×10-4cm2/s。文獻(xiàn)[8]按照式(1)計(jì)算各時(shí)刻的沉降速率,計(jì)算得到的固結(jié)系數(shù) Cv=1.722×10-4cm2/s。

由此可以看出,用相同的方法計(jì)算固結(jié)系數(shù),只是確定各時(shí)刻沉降速率的方法不同,導(dǎo)致最終計(jì)算的固結(jié)系數(shù)具有較大的差別,誤差高達(dá)35%。因此,采用本文方法計(jì)算固結(jié)沉降速率,可使得最終得到的固結(jié)系數(shù)準(zhǔn)確度得到大大提高。

4 結(jié)語

本文通過用MMF曲線擬合模型對(duì)地基土體固結(jié)過程中土體固結(jié)沉降量與固結(jié)時(shí)間之間的關(guān)系進(jìn)行擬合,得到了各時(shí)刻比較準(zhǔn)確的固結(jié)沉降速率,進(jìn)而采用文獻(xiàn)[8]推導(dǎo)得到的速率法計(jì)算了土體的固結(jié)系數(shù),并與文獻(xiàn)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果表明:采用本文方法計(jì)算固結(jié)沉降速率,可使得最終得到的固結(jié)系數(shù)準(zhǔn)確度大大提高。因此,本文計(jì)算固結(jié)沉降速率的方法對(duì)采用速率法計(jì)算固結(jié)系數(shù)的方法具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

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