基于不同分布的巖石損傷本構(gòu)模型的比較

岳 洋

目前,巖石材料損傷力學(xué)研究的方法主要有:1)應(yīng)用連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué),以內(nèi)變量的方法從宏觀上處理?yè)p傷問(wèn)題;2)從唯象學(xué)角度出發(fā)并根據(jù)統(tǒng)計(jì)分布理論,假設(shè)損傷參量服從某種分布,導(dǎo)出巖石損傷方程。顯然,后一種辦法所得結(jié)果更加合理。近年來(lái),由于統(tǒng)計(jì)損傷理論的引入,使得巖石本構(gòu)關(guān)系的研究取得了一定程度的突破。國(guó)內(nèi)學(xué)者唐春安[2]、曹文貴[3-5]、徐衛(wèi)亞[6]、許江[7,8]等均在這方面進(jìn)行過(guò)研究,促進(jìn)了巖石統(tǒng)計(jì)損傷力學(xué)的發(fā)展。本文基于應(yīng)變強(qiáng)度理論,分別假定巖石微元強(qiáng)度服從Weibull分布和冪函數(shù)分布,建立了基于兩種分布的巖石損傷本構(gòu)模型,用實(shí)測(cè)試驗(yàn)資料對(duì)其進(jìn)行了驗(yàn)證,并對(duì)兩種模型進(jìn)行了比較分析。

1 兩種損傷模型的建立

1.1 基于Weibull分布的損傷模型的建立

假定巖石微元強(qiáng)度服從Weibull分布,其概率密度函數(shù)為[2]:

其中,P(ε)為巖石微元強(qiáng)度分布函數(shù);ε為微元強(qiáng)度隨機(jī)分布的分布變量;m,ε0均為分布參數(shù)。

假設(shè)某一級(jí)荷載下已破壞的微元數(shù)目為n,定義統(tǒng)計(jì)損傷變量D為已破壞的微元體數(shù)目與總微元數(shù)目N之比。則:

其中,D為巖石損傷變量;n為某級(jí)荷載下已破壞的微元數(shù)目;N為無(wú)損巖石材料的總微元數(shù)目。

當(dāng)加載到某一水平F時(shí),破壞的微元數(shù)目為:

假定巖石微元破壞前服從廣義虎克定律,由連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)理論可得如下本構(gòu)關(guān)系[2]:

其中,E,ε分別為無(wú)損巖石的彈性模量和應(yīng)變量。

將式(4)代入式(5),根據(jù)廣義虎克定律,可以得到基于Weibull分布的三維應(yīng)力作用下巖石損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型為:

1.2 基于冪函數(shù)分布的損傷模型的建立

假定巖石微元強(qiáng)度服從冪函數(shù)分布,其概率密度函數(shù)為[5]:

將式(9)代入式(5),根據(jù)廣義虎克定律,可以得到基于冪函數(shù)分布的三維應(yīng)力作用下巖石損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型為:

1.3 分布參數(shù)的確定

式(6)和式(10)中的分布參數(shù)m和ε0可通過(guò)將兩式兩邊取對(duì)數(shù)進(jìn)行線性化處理[4]得到。式(6)和式(10)變形后可分別得到:

將式(11)兩邊取兩次自然對(duì)數(shù),式(12)兩邊取自然對(duì)數(shù),則有:

顯然,式(13)和式(14)為線性關(guān)系式。其中,m為直線斜率;-mlnε0為截距,則很容易將試驗(yàn)數(shù)據(jù)通過(guò)線性擬合的方法求得m 和ε0。

2 損傷模型的驗(yàn)證

為了對(duì)上面所建立的基于兩種分布的巖石損傷本構(gòu)模型進(jìn)行比較,引用文獻(xiàn)[9]的試驗(yàn)資料對(duì)其進(jìn)行了驗(yàn)證分析。巖石彈性模量 E=90 GPa,泊松比υ=0.15,內(nèi)摩擦角φ=31.303 9°。

將彈性模量E、泊松比υ及各圍壓下的試驗(yàn)資料代入到式(13)和式(14)中進(jìn)行線性化處理即可得到各圍壓下的分布參數(shù)m和ε0,分別如表1,表2所示。

表1 基于Weibull分布的模型不同圍壓時(shí)的分布參數(shù)值

將表1,表2中各圍壓時(shí)的分布參數(shù) m,ε0以及實(shí)測(cè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別代入到式(6)和式(10)即可得到基于Weibull分布和冪函數(shù)分布的巖石破壞過(guò)程中的理論本構(gòu)曲線。試驗(yàn)曲線和本文兩種理論曲線的對(duì)比圖如圖1所示。

表2 基于冪函數(shù)分布的模型不同圍壓時(shí)的分布參數(shù)值

由圖1可以看出:在試驗(yàn)前半部分,特別是在巖石變形的彈性階段,本文兩個(gè)模型的理論曲線均與試驗(yàn)曲線有著較高的吻合度。而從塑性變形階段開(kāi)始,兩個(gè)模型的理論曲線與試驗(yàn)曲線之間的差別開(kāi)始加大。但相比較而言,基于Weibull分布的模型曲線比基于冪函數(shù)分布的模型曲線與試驗(yàn)曲線的匹配程度要好得多。特別是到試驗(yàn)的最后階段,巖石強(qiáng)度接近于殘余強(qiáng)度的時(shí)候,基于冪函數(shù)分布的理論模型已經(jīng)不能夠再反映巖石強(qiáng)度的變化情況。而基于Weibull分布的模型不會(huì)出現(xiàn)這種情況。巖石變形破壞過(guò)程中,兩種模型損傷變量D變化情況如圖2所示。

因此,從巖石變形破壞的全過(guò)程來(lái)看,基于Weibull分布的理論模型顯然要優(yōu)于基于冪函數(shù)分布的理論模型。

3 結(jié)語(yǔ)

1)在巖石變形的彈性階段,兩個(gè)模型的理論曲線均與試驗(yàn)曲線有著較高的吻合度;

2)從塑性變形階段開(kāi)始,兩個(gè)模型的理論曲線與試驗(yàn)曲線之間的差別開(kāi)始加大。相比較而言,基于Weibull分布的模型曲線比基于冪函數(shù)分布的模型曲線與試驗(yàn)曲線的匹配程度要好得多;

3)在巖石強(qiáng)度接近于殘余強(qiáng)度的時(shí)候,基于冪函數(shù)分布的理論模型的損傷變量D會(huì)出現(xiàn)大于1的情況,從而導(dǎo)致此時(shí)巖石強(qiáng)度的理論計(jì)算值出現(xiàn)負(fù)值,而基于Weibull分布的模型不會(huì)出現(xiàn)這種情況。

[1] 楊圣奇,徐衛(wèi)亞,韋立德,等.單軸壓縮下巖石損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型與試驗(yàn)研究[J].河海大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2004,32(2):200-203.

[2] 唐春安.巖石破裂過(guò)程中的災(zāi)變[M].北京:煤炭工業(yè)出版社,1993.

[3] 曹文貴,張 升.基于Mohr-Coulomb準(zhǔn)則的巖石損傷統(tǒng)計(jì)分析方法研究[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005,32(1):43-47.

[4] 曹文貴,方祖烈,唐學(xué)軍.巖石損傷軟化統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型之研究[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),1998,17(6):628-633.

[5] 劉成學(xué),楊林德,曹文貴.巖石統(tǒng)計(jì)損傷軟化本構(gòu)模型及其參數(shù)反演[J].地下空間與工程學(xué)報(bào),2007,3(3):453-457.

[6] 徐衛(wèi)亞,韋立德.巖石損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型的研究[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2002,21(6):787-791.

[7] 許 江,李樹(shù)春,劉延保,等.基于 Drucker-Prager準(zhǔn)則的巖石損傷本構(gòu)模型[J].西南交通大學(xué)學(xué)報(bào),2007,42(3):278-282.[8] 李樹(shù)春,許 江,李克鋼.基于初始損傷系數(shù)修正的巖石損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)(工程科學(xué)版),2007,39(6):41-44.

[9] 耶格J C,庫(kù)克N G W.巖石力學(xué)基礎(chǔ)[M].中國(guó)科學(xué)院工程力學(xué)研究所,譯.北京:科學(xué)出版社,1983.