正交各向異性圓柱殼的軸對(duì)稱和梁式振動(dòng)分析

漆萬(wàn)鵬，侯 磊

（1海軍駐武漢438廠軍事代表室，武漢 430060；2海軍駐武漢701所軍事代表室，武漢 430064）

正交各向異性圓柱殼的軸對(duì)稱和梁式振動(dòng)分析

漆萬(wàn)鵬1，侯 磊2

（1海軍駐武漢438廠軍事代表室，武漢 430060；2海軍駐武漢701所軍事代表室，武漢 430064）

文章用Flügge經(jīng)典殼體理論討論了正交各向異性圓柱殼的軸對(duì)稱和梁式振動(dòng)，分析了殼體參數(shù)和材料參數(shù)對(duì)殼體頻率和振型的影響，還討論了這兩種振動(dòng)與桿的縱向振動(dòng)、環(huán)的平面內(nèi)振動(dòng)以及軸對(duì)稱軸向運(yùn)動(dòng)和軸對(duì)稱徑向運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。

正交各向異性圓柱殼；軸對(duì)稱振動(dòng)；梁式振動(dòng)

1 前 言

圓柱殼體在軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)（n=0）和梁式運(yùn)動(dòng)（n=1）中的特性是殼體的固有特性，區(qū)別于其他一維結(jié)構(gòu)（桿，梁）和二維結(jié)構(gòu)（板）。對(duì)于諸如導(dǎo)彈和航空器等復(fù)雜動(dòng)力載荷而言，可以使用近似的軸對(duì)稱或者梁式運(yùn)動(dòng)分析。對(duì)圓柱殼的振動(dòng)分析，大多集中在n＞2的非對(duì)稱情況[1，6-9]，而討論圓柱殼對(duì)稱振動(dòng)的文獻(xiàn)很有限。Mirsky和Herrmann[2]使用計(jì)及剪切變形和旋轉(zhuǎn)慣量的Timoshenko型殼體理論討論了圓柱殼的軸對(duì)稱和非軸對(duì)稱振動(dòng)。Forsberg[3]研究了各向同性圓柱殼的軸對(duì)稱和梁式運(yùn)動(dòng)，并討論了邊界條件對(duì)振型、廣義質(zhì)量和模態(tài)力的影響。

本文用Flügge經(jīng)典殼體理論討論了正交各向異性圓柱殼的軸對(duì)稱和梁式振動(dòng)，分析了殼體參數(shù)和材料參數(shù)對(duì)殼體頻率和振型的影響，還討論了這兩種振動(dòng)與桿的縱向振動(dòng)、環(huán)的平面內(nèi)振動(dòng)以及軸對(duì)稱軸向運(yùn)動(dòng)和軸對(duì)稱徑向運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。

2 理論分析

圖1表示了本文研究的正交各向異性圓柱殼。圓柱殼半徑R，長(zhǎng)度L，厚度h，剪切彈性模量G。

設(shè)圓柱殼的材料主軸和坐標(biāo)系主軸重合，則滿足如下關(guān)系式：

應(yīng)用Flügge經(jīng)典殼體理論[5]，正交各向異性圓柱殼的振動(dòng)方程為：

上式中 Dx，Dθ，Dxθ為拉伸剛度，Kx，Kθ，Kxθ為彎曲剛度：

對(duì)于簡(jiǎn)支邊界條件，設(shè)位移函數(shù)為：

可以得到系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程：

2.1 軸對(duì)稱振動(dòng)分析

令n=0時(shí)，圓柱殼的方程變成兩種獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)：（1）環(huán)向扭轉(zhuǎn)振動(dòng)；（2）軸向和徑向耦合的運(yùn)動(dòng)。

（1）環(huán)向振扭轉(zhuǎn)動(dòng)：

扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的頻率

（2）徑向和軸向耦合振動(dòng)

（5）式可簡(jiǎn)化為：

這是一個(gè)關(guān)于 ω2的二次方程，可以得到兩個(gè)根（假設(shè)＜），求出頻率之后，再代入（7）式求出振型。

無(wú)因次頻率定義為：

為了研究這種軸向和徑向耦合運(yùn)動(dòng)，本文還考慮了這兩個(gè)方向上解耦的運(yùn)動(dòng)，即

（a） 軸對(duì)稱軸向運(yùn)動(dòng)（axisymmetric longitudinal motion）

此時(shí)，v=w=0。運(yùn)動(dòng)方程：

（b） 軸對(duì)稱呼吸運(yùn)動(dòng)（axisymmetric breathing motion）

u=v=0，運(yùn)動(dòng)方程為：

2.2 梁式振動(dòng)

在系統(tǒng)特征方程（5）式中令n＝1，即可以求出圓柱殼的梁式振動(dòng)特性。為了討論這種運(yùn)動(dòng)，引入簡(jiǎn)單梁理論的結(jié)果，即把圓柱殼看成是一個(gè)半徑為R，壁厚為h的簡(jiǎn)支梁，它的頻率是：

其中，慣性矩I和面積A由下式計(jì)算：

3 算例和討論

表1 材料特性Tab.1 Material features

3.1 各向同性材料算例

Case2可以近似認(rèn)為是各向同性材料的，此時(shí)Ex/G＝2.581 6，該值略大于2( 1+ vx)。 圖 2－4 給出了軸對(duì)稱振動(dòng)（n＝0）時(shí)圓柱殼特性曲線。對(duì)于圓柱殼的某一振型（m,n）存在3個(gè)對(duì)應(yīng)不同運(yùn)動(dòng)形式的頻率。從圖2中的頻率以及圖4中的振型曲線可以知道，對(duì)于特定長(zhǎng)度的圓柱殼，在軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的軸向振動(dòng)頻率總是最高的。對(duì)于比較短的殼體（圖2中，L/mR＝2），徑向振動(dòng)頻率是3個(gè)頻率中最低的。一旦長(zhǎng)度稍大，則環(huán)向的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率卻是最小的了。這種特性不同于n＞2時(shí)，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率是最高的情況。

當(dāng)L/R＜0.5時(shí)，殼體的徑向頻率則要高于圓環(huán)的頻率。L/R＞1時(shí)，徑向振動(dòng)頻率低于圓環(huán)頻率和桿頻率，軸向振動(dòng)頻率則高于這兩個(gè)頻率。軸對(duì)稱情況下的徑向振動(dòng)頻率曲線和軸向振動(dòng)頻率曲線實(shí)際上是以桿（bar）的縱向振動(dòng)和環(huán)（ring）的平面內(nèi)振動(dòng)曲線為漸近線的。圖3給出了L/mR=1～5時(shí)的詳細(xì)變化情況。

本文研究的正交各向異性材料特性見表1[4]。

圖2 軸對(duì)稱振動(dòng)時(shí)的三個(gè)頻率曲線Fig.2 Frequencies for axisymmetric vibration

圖3 頻率關(guān)系曲線Fig.3 Frequency vs.L/mR

把殼體當(dāng)成桿件考慮，其一階頻率為：

在（2）式中，令u＝0，則可以討論圓環(huán)的振動(dòng)。它的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)可以解耦。其中徑向振動(dòng)無(wú)因次頻率為：

圖4給出了振型隨L/R的變化情況。當(dāng)殼體較短（L/R＜3.15）時(shí)，軸向位移大于徑向位移，殼體主要表現(xiàn)為軸向振動(dòng)。過(guò)了這個(gè)臨界點(diǎn)后，則主要表現(xiàn)為徑向振動(dòng)。從圖3中可知，該臨界點(diǎn)對(duì)應(yīng)的L/R值，實(shí)際就是圓環(huán)頻率和桿頻率相等對(duì)應(yīng)的值，定義該點(diǎn)為特征點(diǎn)（圖中A點(diǎn)）。

這里討論的軸對(duì)稱振動(dòng)，u，w位移是耦合的。這種振動(dòng)和殼體單一自由度的軸對(duì)稱軸向振動(dòng)、軸對(duì)稱“呼吸”振動(dòng)是有區(qū)別的。后兩種運(yùn)動(dòng)在圖5中給出。注意到，“呼吸”振動(dòng)的頻率要高于環(huán)的頻率。殼的軸對(duì)稱軸向振動(dòng)和桿的縱向振動(dòng)更接近，頻率比后者大約高2%（圖中為清楚起見，桿的頻率未表示出來(lái)）。

圖4 軸對(duì)稱振動(dòng)時(shí)振型曲線Fig.4 Vibration shape for axisymmetric vibration

圖5 軸對(duì)稱軸向振動(dòng)、軸對(duì)稱“呼吸”振動(dòng)頻率Fig.5 Frequencies for axisymmetric vibration

圖6，7給出了殼體梁式運(yùn)動(dòng)的頻率和振型曲線。從圖中看出，當(dāng)L/R＞20以后，殼體的最低頻率和用簡(jiǎn)單梁理論（不考慮剪切和旋轉(zhuǎn)慣量作用）得到的頻率非常接近。

圖6 梁式振動(dòng)頻率曲線Fig.6 Frequency for beam type vibration

圖7 梁式振動(dòng)振型曲線Fig.7 Vibration shape for beam type vibration

3.2 各向異性材料算例

對(duì)于各向異性材料，它們的振動(dòng)特性和各向同性材料有很多類似的特點(diǎn)。

圖8給出了兩種各向異性材料時(shí)的軸向振動(dòng)頻率和徑向振動(dòng)頻率曲線。從圖中可以看出，環(huán)向剛度增加（case 3）特征點(diǎn)A變化到B點(diǎn)，即對(duì)應(yīng)的L/R值減小。

圖9，10給出了這兩種材質(zhì)的梁式振動(dòng)情況，環(huán)向剛度增加，梁式振動(dòng)頻率上升。圖11，12給出了殼體厚度變化對(duì)這兩種振動(dòng)頻率的影響。厚度增加對(duì)軸對(duì)稱振動(dòng)的軸向頻率影響很小，對(duì)徑向頻率的影響也表現(xiàn)在殼體比較短的范圍內(nèi)。

4 結(jié) 論

本文用Flügge經(jīng)典殼體理論討論了正交各向異性圓柱殼的軸對(duì)稱和梁式振動(dòng)，分析了殼體參數(shù)和材料參數(shù)對(duì)殼體頻率和振型的影響。

對(duì)于特定長(zhǎng)度的圓柱殼，在軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的軸向振動(dòng)頻率總是最高的。對(duì)于比較短的殼體徑向振動(dòng)頻率是3個(gè)頻率中最低的。一旦殼體長(zhǎng)度稍大，則扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率卻是最低頻率，不同于n＞2的情況。

軸對(duì)稱情況下的徑向振動(dòng)頻率曲線和軸向振動(dòng)頻率曲線實(shí)際上是以桿的縱向振動(dòng)和環(huán)的平面內(nèi)振動(dòng)曲線為漸近線的。當(dāng)L/R＜0.5時(shí)，殼體的徑向頻率則要高于圓環(huán)的頻率。L/R＞1時(shí)，徑向振動(dòng)頻率低于圓環(huán)頻率和桿頻率，軸向振動(dòng)頻率則高于這兩個(gè)頻率。

環(huán)向剛度增加，梁式振動(dòng)頻率上升。厚度增加對(duì)軸對(duì)稱振動(dòng)的軸向頻率影響很小，對(duì)徑向頻率的影響只表現(xiàn)在殼體比較短的范圍內(nèi)。

[1]Leissa A W.Vibration of shells[R].NASA SP 288,1973.

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[8]Pan Zhi,Li Xuebin,Ma Jianjun.A study on free vibration of a ring-stiffened thin circular cylindrical shell with arbitrary boundary conditions[J].Journal of Sound and Vibration,2008,314(1-2):330-342.

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Axisymmetric and beamlike vibration of orthotropic circular cylindrical shell

QI Wan-peng1,HOU Lei2
(1 Navy Military Representative Department in No.438 Plant,Wuhan 430060,China;2 Navy Military Representative Department in No.701 Institute,Wuhan 430064,China)

An analysis is presented for axisymmetric and beam-like vibration of an orthotropic cylindrical shell using Flügge classical shell theory.The effects of shell and material parameters on vibration frequencies and mode shapes are discussed in this paper.Some comparisons with axisymmetric longitudinal motion,axisymmetric breathing motion,ring motion,etc are obtained.

orthotropic circular cylindrical shell;axisymmetric vibration;beam-like vibration

TB532 TU33+3

A

1007-7294（2010）08-0908-07

2010-03-12

漆萬(wàn)鵬（1975-），男，工程師； 侯 磊（1972-），男，工程師。