基于節(jié)理幾何參數(shù)不確定性的邊坡可靠度分析

許湘華 ，曲廣琇，方理剛

(1. 中南大學(xué) 土木建筑學(xué)院，湖南 長沙，410075；2. 貴州省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)研究院，貴州 貴陽，550001)

在很多情況下，巖體受規(guī)模不同、方向各異的多組節(jié)理的切割，破壞了巖體的連續(xù)性和完整性，導(dǎo)致巖體強(qiáng)度和變形性質(zhì)的各向異性，更使得巖質(zhì)邊坡系統(tǒng)具有高度不確定性。節(jié)理化巖質(zhì)邊坡系統(tǒng)的不確定性歸根結(jié)底來源于節(jié)理面的隨機(jī)分布。對(duì)節(jié)理參數(shù)的不確定性進(jìn)行研究和對(duì)基于節(jié)理參數(shù)不確定性的巖質(zhì)邊坡可靠度進(jìn)行分析，在巖質(zhì)邊坡可靠性評(píng)價(jià)中顯得尤為重要。節(jié)理幾何參數(shù)的概率分布模型主要有均勻分布、負(fù)指數(shù)分布、正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布等[1-6]。為了分析節(jié)理參數(shù)的不確定性對(duì)巖質(zhì)邊坡可靠性的影響，近年來，可靠度理論被引入邊坡可靠性評(píng)價(jià)中，如：何滿潮等[7-8]將結(jié)構(gòu)面的力學(xué)參數(shù)作為隨機(jī)變量，幾何參數(shù)作為確定值；張奇華[9]把滑面傾角和力學(xué)參數(shù)作為隨機(jī)變量，將坡體體積、滑面面積和其他結(jié)構(gòu)面傾角等隨機(jī)量看作確定值，對(duì)邊坡可靠度進(jìn)行分析，但還存在不足；孫樹林等[10]綜合考慮塊體結(jié)構(gòu)面幾何形狀和力學(xué)參數(shù)的不確定性，把隨機(jī)概率模型引入塊體理論，分析了不同結(jié)構(gòu)面參數(shù)下邊坡的可靠度；趙奎等[11]探討了節(jié)理面構(gòu)成塊體的概率公式并對(duì)其進(jìn)行工程應(yīng)用，分析了邊坡的可靠度。這些研究成果對(duì)于由構(gòu)造控制的邊坡可靠度分析具有重要意義，但是，因節(jié)理參數(shù)存在不確定性，研究者對(duì)巖質(zhì)邊坡的可靠性評(píng)價(jià)不盡合理，同時(shí)，考慮節(jié)理參數(shù)不確定性的邊坡可靠度分析理論也尚未建立；因此，考慮節(jié)理參數(shù)隨機(jī)變化對(duì)巖質(zhì)邊坡可靠性影響的分析仍倍受關(guān)注，仍需對(duì)基于節(jié)理參數(shù)不確定性的邊坡可靠度進(jìn)行分析。在此，本文作者通過理論研究確定節(jié)理幾何參數(shù)的概率分布類型，分析其不確定性。以節(jié)理傾向、傾角和間距為隨機(jī)變量，提出基于節(jié)理幾何參數(shù)不確定性的邊坡可靠度分析方法，并對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行可靠度分析，以便為巖質(zhì)邊坡的可靠性評(píng)價(jià)和防護(hù)設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)和參考。

1 節(jié)理幾何參數(shù)不確定性分析

1.1 節(jié)理幾何參數(shù)調(diào)查與統(tǒng)計(jì)

為了給節(jié)理幾何參數(shù)的不確定性分析提供數(shù)據(jù)，采用測(cè)線法對(duì)廈蓉(廈門—成都)高速公路某路塹邊坡進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)節(jié)理調(diào)查以獲取大量的節(jié)理樣本。根據(jù)結(jié)構(gòu)面控制理論，優(yōu)勢(shì)節(jié)理控制著邊坡的穩(wěn)定性，為此，在進(jìn)行節(jié)理幾何參數(shù)概率分布類型分析之前，應(yīng)用赤平極射投影法對(duì)測(cè)量的節(jié)理樣本優(yōu)勢(shì)節(jié)理進(jìn)行分組。邊坡體內(nèi)主要發(fā)育4組優(yōu)勢(shì)節(jié)理組，其優(yōu)勢(shì)產(chǎn)狀分別為：150°∠82°，200°∠69°，240°∠80°和 300°∠10°。針對(duì)以上節(jié)理分組，通過數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論分別對(duì)每組節(jié)理的傾向α、傾角β和間距χ進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到相應(yīng)的概率統(tǒng)計(jì)參數(shù)，如表1所示。

1.2 節(jié)理幾何參數(shù)概率分布類型確定

1.2.1 概率圖法基本原理

對(duì)某一組節(jié)理參數(shù)n個(gè)數(shù)據(jù)x1, x2, …, xn，選用某一概率分布函數(shù)F(x)。首先，將x1, x2, …, xn按其順序排隊(duì)，為 θ1, θ2, …, θn。這樣，從理論上講，相應(yīng) θi的分布函數(shù)應(yīng)為 F(θi)=i/n。為了避免出現(xiàn)在 i=n時(shí)F(θn)=1的不合理現(xiàn)象，定義經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)值為：

選定F(x)為其理論分布函數(shù)，則

以θi為橫坐標(biāo)，θt為縱坐標(biāo)，可以將n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)繪在該坐標(biāo)系中。理論上，該n個(gè)點(diǎn)應(yīng)連成1條與橫軸呈夾角為 45°且通過原點(diǎn)的直線。在實(shí)際應(yīng)用中，若該n個(gè)點(diǎn)大致上沿1條直線分布，則不論截距和斜率多大，都可以認(rèn)為該組數(shù)據(jù)符合所選用的概型F(x)。

表1 節(jié)理幾何參數(shù)(α，β，χ)的概率統(tǒng)計(jì)參數(shù)Table1 Probability statistical parameters of joint geometric parameters (α, β, χ)

1.2.2 結(jié)果分析

為了分析節(jié)理幾何參數(shù)的不確定性，采用概率圖法研究各組節(jié)理傾向、傾角和間距的概率分布類型，以確定其概率密度，分析結(jié)果見圖2～9。

圖 1所示為 J1組節(jié)理傾角正態(tài)分布模型的概率。從圖1可以看出：曲線的數(shù)據(jù)點(diǎn)基本落在同一條直線上，并且該直線具有通過原點(diǎn)且傾角為 45°的特征。對(duì)于其他3種分布類型， J1組節(jié)理傾角符合正態(tài)分布。

通過數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論，確定J1組節(jié)理傾角概率密度為：

圖1 J1節(jié)理傾角正態(tài)分布概率圖Fig.1 Normal distribution probability diagram of J1 dip

圖2 J2節(jié)理傾角正態(tài)分布概率圖Fig.2 Normal distribution probability diagram of J2 dip

圖3 J4節(jié)理傾角正態(tài)分布概率圖Fig.3 Normal distribution probability diagram of J4 dip

圖4 J1節(jié)理傾向?qū)?shù)正態(tài)分布概率圖Fig.4 Lognormal distribution probability diagram of J1 joint trend

圖5 J2節(jié)理傾向?qū)?shù)正態(tài)分布概率圖Fig.5 Lognormal distribution probability diagram of J2 joint trend

圖2 和圖3所示分別為J2和J4節(jié)理傾角的分布概率。從圖2和圖3可以看出：在正態(tài)分布模型下，2組節(jié)理傾角基本連成1條傾斜角為45°的直線。圖4～6所示為J1，J2和J4節(jié)理傾向的分布概率，它們的節(jié)理間距分布概率分別如圖7～9所示?？梢钥闯觯涸谙鄳?yīng)的分布模型下，分布曲線的變化趨勢(shì)符合概率圖法原理，能夠體現(xiàn)其分布形式；此外，以上概率圖中有部分離散點(diǎn)，這是由個(gè)別樣本數(shù)據(jù)誤差造成的，并不影響樣本總體的分布形式。分析結(jié)果表明：各組節(jié)理的傾角多呈正態(tài)分布，節(jié)理傾向多呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布，節(jié)理間距多呈負(fù)指數(shù)分布。結(jié)合數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論，確定了研究區(qū)域內(nèi)節(jié)理幾何參數(shù)的不確定性及其分布概率密度。概率密度函數(shù)參數(shù)即分布特征參數(shù)如表2所示。

圖6 J4節(jié)理傾向?qū)?shù)正態(tài)分布概率圖Fig.6 Lognormal distribution probability diagram of J4 joint trend

圖7 J1節(jié)理間距負(fù)指數(shù)分布概率圖Fig.7 Negative exponential distribution probability diagram of J1 joint spacing

圖8 J2節(jié)理間距負(fù)指數(shù)分布概率圖Fig.8 Negative exponential distribution probability diagram of J2 joint spacing

圖9 J4節(jié)理間距負(fù)指數(shù)分布概率圖Fig.9 Negative exponential distribution probability diagram of J4 joint spacing

表2 邊坡穩(wěn)定性分析的物理力學(xué)參數(shù)Table 2 Physical and mechanical parameters for stability analysis of rock slope

2 考慮節(jié)理幾何參數(shù)不確定性的邊坡可靠性模型的建立與運(yùn)算

為了建立考慮節(jié)理幾何參數(shù)不確定性的邊坡可靠性分析模型，基于現(xiàn)場(chǎng)勘測(cè)的雙滑面(J2與 J3組合)邊坡破壞模式，采用Sarma法對(duì)邊坡安全系數(shù)進(jìn)行計(jì)算。由于Sarma法安全系數(shù)計(jì)算格式為隱函數(shù)，極限狀態(tài)方程無法建立，為此，根據(jù)響應(yīng)面法理論，研究基于Sarma法的邊坡極限狀態(tài)方程 RSM(Response surface method)重構(gòu)，提出基于節(jié)理幾何參數(shù)不確定性的邊坡可靠度分析方法。

2.1 RSM重構(gòu)原理

對(duì)于n個(gè)隨機(jī)變量x1, x2, …, xn，RSM解析表達(dá)式通常為：

式中：a, bi和di(i=1, 2, …, n)均為待定系數(shù)，共2n+1個(gè)系數(shù)。

應(yīng)用RSM方法重構(gòu)1個(gè)解析表達(dá)式，按下述步驟進(jìn)行：

(2) 根據(jù)抽樣所得樣本，利用安全系數(shù)K的迭代計(jì)算過程計(jì)算2n+1個(gè)函數(shù)值。

(3) 由于式(4)中只有2n+1個(gè)待定系數(shù)，利用上述迭代得到的 2n+1個(gè)函數(shù)值解出待定系數(shù) a, bi和 di(i=1, 2, …, n)，得到二次多項(xiàng)式近似功能函數(shù)的解析表達(dá)式。

(4) 在得出工程近似狀態(tài)函數(shù)后，可確定結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)重構(gòu)方程為：

RSM 重構(gòu)極限狀態(tài)方程的計(jì)算結(jié)果精度滿足工程要求[12-14]。

2.2 隨機(jī)變量選取

以每個(gè)結(jié)構(gòu)面即節(jié)理面的傾向(α1和 α2)、傾角(β1和 β2)、間距(x1和 x2)為隨機(jī)變量，巖體重度 γ、邊坡高度H，強(qiáng)度參數(shù)(C和φ)等作為常量，進(jìn)行邊坡可靠度分析。令 X1=α1，X2=α2，X3=β1，X4=β2，X5= x1，X6= x2，將隨機(jī)變量表示為隨機(jī)向量的形式X=( X1，X2，X3，X4，X5，X6)，其變量參數(shù)見表 3。

2.3 極限狀態(tài)功能函數(shù)構(gòu)建

Sarma法安全系數(shù)是一個(gè)隱函數(shù)，無法寫出邊坡穩(wěn)定極限狀態(tài)的解析方程。為了實(shí)現(xiàn)隱式功能函數(shù)的邊坡可靠性評(píng)價(jià)，根據(jù) RSM 重構(gòu)原理，考慮本文選定的隨機(jī)變量，確定邊坡穩(wěn)定極限狀態(tài)功能函數(shù)為：

式(6)中有6個(gè)隨機(jī)變量，共13個(gè)待定參數(shù)。為求解這13個(gè)待定系數(shù)，將RSM重構(gòu)思路與Sarma迭代方法結(jié)合起來。抽取計(jì)算待定參數(shù)的樣點(diǎn)值，如表4所示。

將樣點(diǎn)值代入式(6)，聯(lián)立方程求解待定參數(shù)，確定極限狀態(tài)功能函數(shù)為：

至此，建立了基于節(jié)理幾何參數(shù)不確定性的Sarma模式響應(yīng)面法邊坡可靠性分析模型，為進(jìn)行巖質(zhì)邊坡可靠度分析奠定了基礎(chǔ)。

2.4 可靠度計(jì)算

采用蒙特卡洛法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，利用構(gòu)建的極限狀態(tài)功能函數(shù)(式(7))進(jìn)行邊坡可靠度計(jì)算。已知邊坡巖土體力學(xué)參數(shù)、幾何參數(shù)等基本隨機(jī)變量的概率分布時(shí)，根據(jù)邊坡的極限狀態(tài)函數(shù)Z=g(X1, X2, …, Xn)，利用蒙特卡洛方法產(chǎn)生符合基本隨機(jī)變量概率分布的一組隨機(jī)數(shù) x1, x2, …, xn，代入極限狀態(tài)函數(shù) Z=g(X1,X2, …, Xn)，得出極限狀態(tài)函數(shù)的1個(gè)隨機(jī)數(shù)z1，用同樣的方法產(chǎn)生 N個(gè)極限狀態(tài)函數(shù)的隨機(jī)數(shù) z1, z2, …,zn。如果在N個(gè)極限狀態(tài)函數(shù)的隨機(jī)數(shù)中有M個(gè)小于1、等于1或小于等于0，當(dāng)N足夠大時(shí)，根據(jù)大數(shù)定理，此時(shí)的頻率已近似于概率，因而，可得邊坡的破壞概率或者可靠度。

表3 節(jié)理幾何參數(shù)(α，β，χ)概率分布形式及其分布特征參數(shù)統(tǒng)計(jì)Table 3 Probability distribution form of joint geometric parameters (α, β, χ) and its distribution parameters

表4 確定極限狀態(tài)功能函數(shù)系數(shù)的樣點(diǎn)值Table 4 Sample values to determinate coefficients of limit state functional function

考慮采用蒙特卡羅法研究隨機(jī)事件的破壞概率時(shí)對(duì)模擬次數(shù)的要求，根據(jù)本文研究方法確定模擬次數(shù)為10 000次，能夠滿足計(jì)算精確要求?；诠?jié)理幾何參數(shù)的概率分布類型及其特征參數(shù)，由蒙特卡羅法產(chǎn)生10 000組符合隨機(jī)變量分布類型的隨機(jī)數(shù)Xi，根據(jù)所建立的計(jì)算模型獲得穩(wěn)定安全系數(shù)Zi數(shù)組，同時(shí)得到Z的統(tǒng)計(jì)特征及其小于0的次數(shù)m、邊坡的破壞概率pf及可靠度指標(biāo)β。

式中：N為模擬次數(shù)；m為破壞次數(shù)；μz和σz分別為Z的均值和方差。

3 邊坡可靠性評(píng)價(jià)

根據(jù)上述分析模型和運(yùn)算過程，經(jīng)計(jì)算，實(shí)例邊坡的破壞概率為25.64，可靠度指標(biāo)為1.93，平均穩(wěn)定安全系數(shù)為1.21。邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)的統(tǒng)計(jì)直方圖如圖10所示。

圖10 安全系數(shù)(Fs)統(tǒng)計(jì)直方圖Fig.10 Histogram of factor of safety (Fs)

從圖10可以看出：有部分安全系數(shù)小于0，這說明實(shí)際邊坡工程存在一定的破壞風(fēng)險(xiǎn)。計(jì)算結(jié)果表明：邊坡處于非穩(wěn)定狀態(tài)，而其平均穩(wěn)定安全系數(shù)大于1，說明邊坡工程穩(wěn)定、可靠。這與實(shí)例邊坡破壞概率較大的事實(shí)不符，驗(yàn)證了進(jìn)行邊坡可靠度分析的必要性。

為了研究節(jié)理幾何參數(shù)不確定性對(duì)邊坡可靠性的影響，在相同模擬次數(shù)下計(jì)算不同節(jié)理幾何參數(shù)下的邊坡破壞概率，如圖11所示。

圖11 節(jié)理幾何參數(shù)不確定性對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響Fig.11 Effects of uncertainty in joint geometric parameters on stability of rock slope

從圖11可以看出：節(jié)理傾向、傾角和間距對(duì)邊坡破壞概率的貢獻(xiàn)是不同的；節(jié)理傾角對(duì)邊坡破壞概率的貢獻(xiàn)最大，破壞概率達(dá)到87%左右；節(jié)理傾向?qū)吰缕茐母怕实呢暙I(xiàn)最小，其破壞概率為52%左右。這說明節(jié)理間距和節(jié)理傾角的隨機(jī)分布，嚴(yán)重切割了巖體的完整性，導(dǎo)致巖體力學(xué)強(qiáng)度下降，邊坡的穩(wěn)定性降低。節(jié)理傾向的隨機(jī)分布對(duì)巖體的破壞作用較低，但對(duì)邊坡穩(wěn)定性也有一定程度的影響。研究結(jié)果表明：基于構(gòu)造控制的巖質(zhì)邊坡、節(jié)理傾角和間距對(duì)邊坡可靠性有非常明顯的影響，是影響邊坡穩(wěn)定的主導(dǎo)因素。因此，在巖質(zhì)邊坡地質(zhì)勘測(cè)中要盡可能獲得斷層、節(jié)理等詳細(xì)資料，從而提高邊坡可靠度分析結(jié)果的準(zhǔn)確性；此外，針對(duì)節(jié)理傾角的主導(dǎo)影響，可以通過設(shè)計(jì)合適的錨固角來施加錨固力，從而提高邊坡的可靠性。

4 結(jié)論

(1) 在優(yōu)勢(shì)節(jié)理分組的基礎(chǔ)上，通過數(shù)理統(tǒng)計(jì)與概率圖法分析了每組節(jié)理幾何參數(shù)的概率分布類型，得出各組節(jié)理傾角多呈正態(tài)分布，節(jié)理傾向多呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布，節(jié)理間距多呈負(fù)指數(shù)分布，確定了研究區(qū)域內(nèi)節(jié)理幾何參數(shù)的不確定性及其分布概率密度。同時(shí)，驗(yàn)證了數(shù)理統(tǒng)計(jì)與概率圖法相結(jié)合的方法是確定節(jié)理幾何參數(shù)不確定性的一種有效方法。

(2) 建立了考慮節(jié)理幾何參數(shù)不確定性的 Sarma模式響應(yīng)面邊坡可靠性分析模型，提出了基于節(jié)理幾何參數(shù)不確定性的邊坡可靠度分析方法，分析了實(shí)例邊坡的可靠性。本文提出的可靠度分析方法能用于準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)巖質(zhì)邊坡工程的可靠性，是一種行之有效的可靠度分析方法。

(3) 節(jié)理傾向、節(jié)理傾角和節(jié)理間距是影響邊坡穩(wěn)定性的主導(dǎo)因素，因此，在進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析時(shí)要盡可能地詳細(xì)調(diào)查節(jié)理等結(jié)構(gòu)面資料，在邊坡防護(hù)設(shè)計(jì)時(shí)設(shè)計(jì)合適的錨固角等，從而實(shí)現(xiàn)巖質(zhì)邊坡開挖和支護(hù)方案的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

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