簡諧移動(dòng)荷載作用下飽和土地基上無限長梁的動(dòng)力響應(yīng)

黎劍華，徐斌，劉優(yōu)平，趙江倩

(南昌工程學(xué)院 土木系，江西 南昌，330029)

在移動(dòng)荷載作用下，可采用飽和土地基上無限長梁的動(dòng)力響應(yīng)較好地模擬鐵路、公路等受到移動(dòng)的車輛荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)問題。目前，對(duì)于移動(dòng)荷載作用下的土體動(dòng)力響應(yīng)問題，把半空間土體視為均一的彈性或黏彈性體，如：Madshus等[1-2]分析了彈性土體上無限長梁受到移動(dòng)荷載作用下的穩(wěn)態(tài)相應(yīng)；Kargarnovin等[3]分析了均布移動(dòng)荷載作用下一般化的 Pasternak黏彈性地基上無限長梁動(dòng)力響應(yīng)；Vostroukhov等[4]研究了層狀黏彈性上無限長梁受移動(dòng)荷載的動(dòng)力響應(yīng)。根據(jù)浮置板式軌道結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，向俊等[5]建立了浮置板式軌道的軌段單元模型，計(jì)算了城軌列車及浮置板式軌道結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)。針對(duì)無碴軌道結(jié)構(gòu)類型之一的博格板式軌道結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，赫丹等[6]提出了橫向有限條與無碴軌道板段單元新模型，分析了大型列車-無碴軌道系統(tǒng)振動(dòng)。研究表明[7-9]：高速運(yùn)行的車輛荷載將會(huì)引起鐵軌和地面之間產(chǎn)生很大的振動(dòng)，尤其是對(duì)鋪設(shè)在飽和土上的軌道交通系統(tǒng)及附近的建筑產(chǎn)生極大的噪音和結(jié)構(gòu)振動(dòng)。飽和土是由土骨架和孔隙水組成的二相材料，因此，對(duì)于飽和土采用多孔狀模型比線彈性或者黏彈性模型更符合實(shí)際。Biot理論[10-11]已經(jīng)廣泛用于分析靜態(tài)飽和土固結(jié)和動(dòng)力荷載下飽和土體中波的傳播和衰減問題，在此，本文作者對(duì)移動(dòng)荷載作用下飽和土地基上無限長梁的動(dòng)力響應(yīng)問題進(jìn)行研究。在荷載速度為恒定值時(shí)，對(duì)無限長梁采用Euler-Bernoulli理論進(jìn)行研究，而對(duì)飽和半無限空間土體采用Biot理論進(jìn)行研究。采用Fourier積分變換法解耦Biot動(dòng)力方程，得到飽和半無限空間的位 移、應(yīng)力、孔壓等基本解；由梁-土體表面接觸面連續(xù)條件求得飽和土體等效剛度，進(jìn)而得到梁、土體在頻率-波數(shù)域的解。最后，采用 Fourier逆變換法得到梁-飽和土體在時(shí)間、空間域的解。

1 Biot理論與一般解

飽和土體及孔隙水的本構(gòu)方程分別為[10-11]：

式中：ui和wi(i=1, 2, 3)分別為土骨架的位移及流體相對(duì)于土骨架的滲透位移；e和θ分別為單位體積孔隙介質(zhì)中流體體積及土骨架的體積應(yīng)變的增量；σij和 p分別為土體總應(yīng)力分量及孔隙水壓；δij為 Kronecker函數(shù)；λ和μ均為Lame常數(shù)；α和M分別為Biot土骨架和水相壓縮參數(shù)。

孔隙介質(zhì)及孔隙流體的動(dòng)量守恒方程為：

式中：ρ和ρf分別為土體和水的密度；為土骨架的密度；f為孔隙率；a∞為孔隙介質(zhì)彎曲系數(shù)；bp為與孔隙流體的黏度η和土體的滲透系數(shù) k有關(guān)的量；K(t)為與時(shí)間相關(guān)的黏性因子[12]；位移上方的點(diǎn)表示對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)；符號(hào)“*”表示2個(gè)變量的卷積。

為求解Biot方程，對(duì)時(shí)間、頻率t?ω空間、波數(shù)域x?ξ和y?η的Fourier變換對(duì)規(guī)定為：

式中：上標(biāo)符號(hào)“^”，“－”和“～”分別表示t，x和y的Fourier變換。

對(duì)式(2)和(4b)進(jìn)行Fourier變換，則水相、孔壓的變換式為：

2 計(jì)算模型

以恒定速度移動(dòng)的荷載作用在飽和半空間土體上的無限長Euler-Bernoulli梁如圖1所示。為簡化計(jì)算，對(duì)移動(dòng)荷載和梁進(jìn)行如下假定：(1) 無限長梁模型為Euler-Bernoulli梁，寬為2a；(2) 梁的變形微小；(3) 梁的剪切變形、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量忽略不計(jì)；(4) 移動(dòng)荷載、土體豎向接觸反力均沿梁寬均勻分布；(5) 梁-土體表面接觸面光滑。

圖1 移動(dòng)荷載作用下半空間飽和土體上無限長梁計(jì)算模型Fig.1 Model of an infinite beam overlying a saturated poroelastic half space subjected to moving loads

根據(jù)彈性梁理論，有如下運(yùn)動(dòng)方程：

其中：wb(x, t)為梁的豎向位移；E和Iz分別為梁的彈性模量和橫截面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；qz(x, t)為梁底與飽和土體表面豎向接觸反力；F(x, t)為沿梁寬均勻分布的線性移動(dòng)荷載，速度為c。

式中：ω0和 Fz分別為荷載初始頻率及幅值；δ(·)為Dirac delta函數(shù)。

梁的彎矩和剪力分別為：

根據(jù)上述假設(shè)，在飽和土體表面與梁底的應(yīng)力條件為：

式中：H(·)為單位階躍函數(shù)。對(duì)于透水的飽和土體表面，有[12]：

另外，若飽和土體是半無限空間，則在z→∞時(shí)有能量消散[12]：一般解中，所有(i=1, 2, 3)項(xiàng)系數(shù)(式(12)，(14)，(16)和(17))為 0，即

若飽和土體的底層為剛性不透水層，飽和土體層厚為h，則在z=h時(shí)有下列邊界條件：

根據(jù)上述假設(shè)，梁的中心線和飽和土體的表面總是緊密接觸的，可得相容條件：

對(duì)于土體-梁系統(tǒng)，引入飽和土體的“等效剛度”[13]，可使三維問題轉(zhuǎn)化為一維問題。由式(21)和(22)在頻域、波數(shù)內(nèi)的表達(dá)式及式(23)可得到飽和土體豎向位移為：

式中：

若飽和土體有下臥剛性層，由式(21)，(22)和(24)在頻域、波數(shù)內(nèi)的表達(dá)，同樣可得到如同式(26)所示的有下臥剛性層時(shí)飽和土體的豎向位移。

對(duì)式(26)進(jìn)行η→y的Fourier逆變換，可得：將式(27)及協(xié)調(diào)條件(25)代入式(18)，可得梁的豎向位移為：

3 梁-飽和土體系統(tǒng)解

對(duì)式(28)進(jìn)行ξ→x和 ω→t的二維 Fourier逆變換，考慮到Dirac函數(shù)的特性，可得：同樣進(jìn)行二維Fourier逆變換，可得梁的彎矩、剪力在時(shí)間和空間域的表達(dá)式：

從式(32)可看出：在移動(dòng)荷載作用下，飽和土體動(dòng)力響應(yīng)與荷載速度有關(guān)；荷載速度越高，頻域內(nèi)高頻成分越顯著。顯然，與低頻相對(duì)應(yīng)的Biot理論求解飽和土體響應(yīng)是不準(zhǔn)確的，采用 JKD模型[14]描述的Biot理論更能準(zhǔn)確地對(duì)高速荷載作用下飽和土體動(dòng)力響應(yīng)問題進(jìn)行分析。由JKD模型，式(4)中K(t)在頻域的表達(dá)式為：

式中：ωc為飽和土體中流體與土骨架的慣性力。在飽和土體中，反映孔隙特征的ag≈1/2[14]。

由于被積函數(shù)表達(dá)式較復(fù)雜，因此，很難得出Fourier逆變換的封閉形式解，本文采用 FFT方法[15]完成該Fourier逆變換。此外，由于飽和土體內(nèi)孔隙流體與固體骨架之間存在內(nèi)摩擦力(b≠0)，所以，水平波數(shù)ξ和η的積分路徑上也不會(huì)出現(xiàn)分支點(diǎn)和奇點(diǎn)。為了確保采用FFT方法進(jìn)行該Fourier逆變換計(jì)算的精確性，積分ξ和η的范圍足夠長，在范圍內(nèi)的網(wǎng)格劃分能夠滿足所有頻率成分的需要，在波數(shù)的區(qū)域中ξ和η的樣品間距必須滿足下列要求：

其中：Xmax和Ymax分別表示在半空間效應(yīng)沒有消失時(shí)指定區(qū)域的大小，在不同荷載速度下，Xmax和Ymax不同。波數(shù)ξ和η的區(qū)域分別為：-16≤ξ≤16 m-1，-16≤η≤16 m-1；離散點(diǎn)數(shù)為2 049×2 049[16]。

4 數(shù)值結(jié)果分析

4.1 與文獻(xiàn)結(jié)果比較

飽和土體參數(shù)值為：μ=2.0×107N/m2，α=0.97，λ=4.0×107N/m2，M=2.4×108N/m2，m=1 990 kg/m3，f=0.125，ρs=2.0×103kg/m3，ρf=1.0×103kg/m3，bp=1.94×106kg/(m3·s)。條形均勻分布，幅值為Fz，初始頻率ω0=0的移動(dòng)荷載垂直作用于無限長梁上，考察3種荷載速度(c=0.20vSH，0.88vSH和 1.30vSH)下梁-土體的動(dòng)力響應(yīng)，其中。梁的參數(shù)為：EIz=1.28×109N·m2，mb=7 350 kg/m，a=2.0 m。

圖2顯示了3種荷載速度下，梁的無量綱化豎直位移 u * = μRwb/Fz隨相對(duì)坐標(biāo)x′(-60≤x′=x-ct≤60 m)變化情況，其中，參考量μR=2.0×107N/m2。為驗(yàn)證本文方法的正確性，文獻(xiàn)[9]中的結(jié)果也標(biāo)示在圖2中。從圖2可看出：本方法的結(jié)果和文獻(xiàn)[9]中結(jié)果有很好的一致性。

圖2 不同移動(dòng)荷載速度時(shí)飽和土體上無限長梁的豎向變形與文獻(xiàn)[9]中的結(jié)果比較Fig.2 Comparison of present results with results in Ref.[9] for vertical deflection of a beam overlying a homogeneous poroelastic half space and subjected to a moving load with different velocities

4.2 有下臥剛性層的土體-梁系統(tǒng)等效剛度和關(guān)鍵速度

從式(28)可知：等效剛度keq是1個(gè)關(guān)于頻率ω和波數(shù) ξ的函數(shù)，為了便于分析 keq，引入梁的相速度vPH=ω/ξ、無量綱波數(shù)*aξξ=及無量綱土層厚* /h h a= 。

在本節(jié)算例中，飽和土體有下臥剛性層，飽和土體層厚 h，條形均布垂直作用于無限長梁上，幅值為Fz，初始頻率ω0=0且以恒速c沿著x軸的正向移動(dòng)。梁及飽和土體的參數(shù)為：EIz=1.3×109N·m2，ω0=0，mb=1 770 kg/m，a=1.3 m，μ=3.8×107N/m2，α=0.97，λ=3.8×107N/m2，M=2.4×108N/m2，f=0.35，ρs=2.0×103kg/m3，ρf=1.0×103kg/m3，bp=1.94×106kg/(m3·s)，m= 1 990 kg/m3，

圖3所示是在波數(shù)ξ*=0.6和土層厚h*=8.0時(shí)的等效剛度與相速度vPH關(guān)系曲線。從圖3可知：當(dāng)vPH/vCR＜1時(shí)，等效剛度*eqk 的虛部很??；但是，當(dāng)vPH/vCR＞1時(shí)，等效剛度的虛部*eqk 急劇增加。其主要原因是梁的能量快速轉(zhuǎn)移到土體中，并且能量在梁中快速消散；當(dāng)vPH=vCR時(shí)，等效剛度變得非常小(包括實(shí)部和虛部)，此時(shí)，梁-土體系統(tǒng)產(chǎn)生共鳴[13]。值得注意的是：當(dāng)vPH/vCR＞1時(shí)，等效剛度曲線中仍然存在等效剛度(包括實(shí)部和虛部)極小值點(diǎn)，表明梁存在多個(gè)高模態(tài)振動(dòng)，每個(gè)等效剛度極小值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的相速度vPH等于關(guān)鍵速度vCR。由此可知：飽和土體上的無限長梁，當(dāng)荷載速度超過剪切波速時(shí)，仍然存在一系列的關(guān)鍵速度，此時(shí)，梁的振動(dòng)較大。對(duì)于第一模態(tài)的關(guān)鍵速度，數(shù)值結(jié)果表明，不同的飽和土體層厚有不同的值，如：h*=2.0時(shí)，vCR=1.03vSH；h*=10.0時(shí)，vCR=0.95vSH?？梢姡毫旱牡谝荒B(tài)的關(guān)鍵速度接近于土體的Rayleigh波速，并且隨飽和土體層厚度增加而減小。

圖3 當(dāng)波數(shù)ξ*=0.6時(shí)，梁-土體系的等效剛度與相速度的關(guān)系Fig.3 Relationship between equivalent stiffness for a poroelastic and phase velocity for wavenumber when ξ* is 0.6

4.3 移動(dòng)荷載的初始頻率和速度對(duì)梁的影響

為分析荷載初始頻率、速度對(duì)梁的動(dòng)力響應(yīng)的影響，飽和土體模型采用半無限空間體，梁、土體的參數(shù)為：μ=2.5×107N/m2，λ=5.0×107N/m2，f=0.3，M=5.0×109N/m2，ρs=2.0×103kg/m3，α=0.97，ρf=1.0×103kg/m3，bp=1.0×1010kg/(m3·s)，m=1 990 kg/m3，EIz=1.2×109N·m2，mb=1 790 kg/m，aR=2.0 m，μR=2.5×107N/m2。條形均布垂直作用于無限長梁上，幅值為Fz，初始頻率ω0且以恒速c沿著x軸的正向移動(dòng)。對(duì)梁的豎向位移、彎矩及荷載的初始頻率進(jìn)行如下無量綱化：

圖4所示是不同荷載速度下梁的豎向變形與荷載初始頻率u*之間的關(guān)系曲線。從圖4可知：當(dāng)荷載速度小于關(guān)鍵速度時(shí)(曲線1和2)，梁的最大豎向變形開始隨荷載的初始頻率增加而增大，達(dá)到最大值后，變形又隨荷載的初始頻率增大而減小，梁在最大變形時(shí)所對(duì)應(yīng)的荷載初始頻率與荷載速度有關(guān)；當(dāng)荷載速度等于梁的關(guān)鍵速度時(shí)(曲線3)，梁的最大豎向變形隨荷載的初始頻率增大持續(xù)減小；當(dāng)荷載速度大于關(guān)鍵速度時(shí)(曲線4和5)，梁的最大豎向變形開始隨荷載的初始頻率增大而增大，其后又減小。

圖 5所示為荷載初始頻率、速度對(duì)梁的彎矩 M*的影響。從圖5可知：當(dāng)荷載速度小于關(guān)鍵速度時(shí)(曲線1和2)，梁的最大彎矩開始隨荷載的初始頻率增加而增大，達(dá)到最大值后，彎矩又隨荷載的初始頻率增大而減小，梁在最大彎矩時(shí)所對(duì)應(yīng)的荷載初始頻率與荷載速度有關(guān)；當(dāng)荷載速度等于梁的關(guān)鍵速度時(shí)(曲線3)，梁的最大彎矩隨荷載的初始頻率增大持續(xù)減??；當(dāng)荷載速度大于關(guān)鍵速度時(shí)(曲線4～8)，梁的最大彎矩開始隨荷載的初始頻率增大而增大，其后又減小。

圖4 荷載速度和頻率對(duì)梁的豎向變形最大值u*的影響Fig.4 Effect of velocity and frequency of moving load on the maximum deflection of beam

圖5 荷載速度和頻率對(duì)梁的彎矩最大值M*的影響Fig.5 Effect of velocity and frequency of moving load on the maximum bending moment of beam

4.4 飽和土體的動(dòng)力響應(yīng)分析

在本算例中，飽和土體模型采用半無限空間體，梁、土體參數(shù)為：μ=2.5×107N/m2，λ=5.0×107N/m2，f=0.3，M=5.0×109N/m2，ρs=2.0×103kg/m3，α=0.97，ρf=1.0×103kg/m3，bp=1.0×1010kg/(m3·s)，m=1 990 kg/m3，EIz=1.2×109N·m2，mb=1790 kg/m，aR=2.0 m，μR=2.5×107N/m2。條形均布垂直作用于無限長梁上，幅值為Fz，初始頻率ω0=0，且以恒速c沿著x軸的正向移動(dòng)。

圖6所示為荷載速度c=0.20vSH，0.70vSH和0.90vSH時(shí)，飽和土體與梁的接觸反力時(shí)的變化情況。從圖6可知：當(dāng)c=0.20vSH時(shí)(曲線1)，接觸反力在x′=0 m處幾乎對(duì)稱；當(dāng)c=0.70vSH時(shí)(曲線2)，對(duì)稱性消失。

圖7所示為飽和土體內(nèi)觀測點(diǎn)P(x=0, 1.0, 2.0 m)在不同荷載速度c(0.20vSH，0.70vSH和0.90vSH)時(shí)，孔壓 p * = q aR/Fz隨時(shí)間變化情況。從圖 7可知：觀測點(diǎn)的孔壓隨著荷載速度的增加而增大。圖7還表明：低速時(shí)(c=0.20vSH，曲線1)，孔壓關(guān)于t=0 s對(duì)稱；但在高速(c=0.90vSH，曲線3)時(shí)，對(duì)稱性消失，且在t=0 s時(shí)出現(xiàn)了負(fù)孔壓。

圖6 不同荷載速度時(shí)飽和土體上無限長梁的接觸反力隨坐標(biāo)x′的變化關(guān)系Fig.6 Relationship between interaction force and coordinate x′ for beam and a saturated poroelastic half space when subjected to a moving load with different velocities

圖7 不同荷載速度時(shí)，觀察點(diǎn)P(x=0, 1.0, 2.0 m)孔壓隨時(shí)間變化情況Fig.7 Relationship between pore pressure and time at observation point P(x=0, 1.0, 2.0 m) due to a moving load on beam overlying a saturated poroelastic half space

5 結(jié)論

(1) 當(dāng)荷載在某一低頻時(shí)，隨著荷載速度增大，梁的最大豎向變形、彎矩也增大；而當(dāng)移動(dòng)荷載的頻率較高時(shí)，荷載速度對(duì)梁的變形及內(nèi)力的影響較小。

(2) 隨荷載速度增大，梁達(dá)到最大的彎矩、剪力時(shí)所對(duì)應(yīng)的荷載初始頻率增大。

(2) 對(duì)于飽和土體上的無限長梁，當(dāng)荷載速度超過剪切波速度時(shí)，梁還存在一系列的振動(dòng)模態(tài)所對(duì)應(yīng)的關(guān)鍵速度，此時(shí)，梁的豎向變形最大。

(3) 當(dāng)荷載速度較大時(shí)，飽和土體在一定深度處會(huì)出現(xiàn)負(fù)孔壓。

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