基于自適應(yīng)參數(shù)高階偏微分方程的圖像平滑

郭三華 ，高竹紅 ，曹麗娟 ， 寧志山 ， 初 玲

(1.煙臺汽車工程職業(yè)學(xué)院 電子工程系,山東 煙臺265500;2.深圳市中興通訊股份有限公司,廣東 深圳5180550;3.煙臺汽車工程職業(yè)學(xué)院 科研處,山東 煙臺265500)

圖像平滑作為圖像預(yù)處理基本步驟之一，為后繼圖像處理帶來很大方便，最常見圖像平滑方法是線性高斯濾波。KOENDERINK指出圖像I0(x,y)與不同尺度的高斯核卷積所得到的平滑圖像等價于傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)的熱擴散方程的解，此解屬于各向同性擴散,在平滑同時造成圖像特征的模糊化[1]。PERONA等提出了如下各向異性擴散模型[2]：

基于上述問題，在圖像平滑時提出了基于自適應(yīng)的高階偏微分方程圖像平滑方法,避免了傳統(tǒng)P-M方法圖像平滑方法的缺陷，獲取比較好的視覺效果。

1 高階方法的提出

P-M方法處理結(jié)果是分段恒定的[5]，容易導(dǎo)致結(jié)果圖像“階梯”狀分布，視覺效果不理想。而高階方法的處理結(jié)果是分段線性的,在視覺感知上明顯優(yōu)于P-M方法。

首先，對圖像 I進行坐標(biāo)變換，將笛卡爾兒(x-y)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到(η-ξ)坐標(biāo)系下，其中η表示點 p法線方向，ξ表示點p切線方向，[Ix,Iy]為圖像I梯度方向，可得如下變化公式：

根據(jù)二維平面的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式有 Iη=(Ixcosα+Iysinα)

其中：

對上式分別進行x和y求導(dǎo),得到：

進一步得出：

同理可以得出：

定義相關(guān)的算子：

再考慮定義在圖像區(qū)域Ω上的泛函：

其中 I∈C4(Ω)，函數(shù) F(·)≥0 是遞增函數(shù)，即 F′(·)＞0。由算子?定義可知，圖像 I噪聲越大，式(5)的泛函值就越大。所以最小化E(I)就相當(dāng)于對圖像進行平滑。

式(5)是如下泛函的特殊形式：

根據(jù)變分理論，可知式(6)對應(yīng)的Euler-Lagrange方程為：

于是可以得到式(5)的Euler-Lagrange方程：

式(7)可用梯度下降法求解：

2 自適應(yīng)閾值的參數(shù)估計

參數(shù)k的選取是非線性擴散方法的一個主要難題。如何確定擴散的范圍及擴散的程度，使降噪和強化順利進行的同時，圖像信息又不致因過度平滑而大量損失，是應(yīng)用時需要解決的關(guān)鍵問題。傳統(tǒng)確定參數(shù)的方法是人為指定一個固定常數(shù)。一般來說，不同圖像需要設(shè)置不同參數(shù)值，后來也有學(xué)者提出自動估計梯度閾值的方法，如提出自動估計梯度閾值的公式Sapiro[4]：

由于圖像不同區(qū)域邊緣強度分布不一致，噪聲也不同，而且不同尺度空間邊緣強度和噪聲也不一樣，因此對整幅圖像使用同一個全局固定的參數(shù)是不合適的。本文提出了自適應(yīng)閾值參數(shù)選擇方法，使得該算法閾值參數(shù)可以完全自動確定，真正實現(xiàn)自適應(yīng)閾值參數(shù)非線性濾波。

2.1 閾值參數(shù)估計

圖像平滑可看作是一個估計問題：對于圖像上每一點x，觀測圖像在該點鄰域內(nèi)取值構(gòu)成一個觀測樣本集，要解決的就是如何從觀測樣本集中估計出原始圖像在該點的真實值u(x)。如果某點x的鄰域Nr中像素點都屬于同一區(qū)域，則算子?在Nr內(nèi)的概率分布為單峰分布；如果鄰域Nr中包含了兩個或多個區(qū)域，則?在Nr內(nèi)概率分布為多峰分布,如圖1所示。

因此，可以按照以下原則選擇點處x的參數(shù)k(x)：

(1)若點 x鄰域內(nèi)樣本算子?為單峰分布(如圖 1(a)所示)，取k(x)為其截止點，即算子?直方圖中絕對值最大非零點；

(2)若點x鄰域內(nèi)樣本算子?為多峰分布(如圖1(b)所示)，選擇k(x)為算子?直方圖中絕對值最小谷值點。

據(jù)上述分析得如下結(jié)論：

(1)當(dāng)鄰域位于區(qū)域內(nèi)部時，可以對圖像盡量進行平滑；

(2)當(dāng)鄰域內(nèi)存在多個區(qū)域時，平滑尺度不會超過區(qū)域邊緣強度最小值，從而盡可能地保持原圖像邊緣等重要信息。

上述分析完全是一種理想化假設(shè)，對于實際圖像處理存在如下兩大困難：

(1)由于鄰域內(nèi)所取樣本有限，從樣本直方圖不能直接得到完全規(guī)則分布的曲線，很難正確地選取閾值參數(shù)k(x)值。

(2)現(xiàn)實圖像中，即使在同一區(qū)域內(nèi)，平均灰度值往往是變化的，而不是嚴(yán)格滿足分段常數(shù)模型。

為克服以上問題,采取Mean Shift核平滑方法對算子直方圖進行處理，使其盡可能準(zhǔn)確地刻畫多峰分布情況。

2.2 直方圖平滑算法

根據(jù)前面分析可知，算子?直方圖可反映概率分布情況，所以可在鄰域Nr內(nèi)計算?的值來進行直方圖統(tǒng)計。設(shè)x點鄰域內(nèi)算子?統(tǒng)計直方圖為H(d),d=-N,…,N。采用Mean Shift核密度估計方法對直方圖進行平滑[6]。

直方圖平滑效果示例如圖2所示。

為了降低計算復(fù)雜度,在估計參數(shù)k(x)時，每隔r/2距離計算一次 (r為鄰域半徑)，然后對每個像素點選擇最近鄰的最小值近似為該點閾值參數(shù)，并且每一次迭代之后更新參數(shù)k(x)值，也可設(shè)置每隔若干迭代次數(shù)更新一次參數(shù)k(x)值，這樣可保證一定精度的前提下，大大提高效率。由于基于直方圖算法復(fù)雜度較低，閾值參數(shù)估計計算相對于圖像平滑本身計算開銷較小。

3 實驗結(jié)果及分析

為了比較自適應(yīng)參數(shù)的高階方法和P-M方法平滑的性能，進行不同實驗并加以分析。

(1)選用若干幅標(biāo)準(zhǔn)圖像進行測試，圖3顯示沒有加入噪聲的Grid圖像平滑效果,從圖中可看出當(dāng)?shù)螖?shù)比較多時，P-M方法平滑的部分邊緣明顯被模糊了，而本文方法獲取的效果比較理想。

(2)圖4是對加入噪聲的圖像去噪的實驗結(jié)果，圖5給出了對圖4各邊緣的提取結(jié)果，其中圖5(b)采用最經(jīng)典的Canny邊緣提取算子。從圖4和圖5中可看出，PM方法抑制孤立噪聲點和保持圖像邊緣的效果并不十分理想。圖4(b)和圖5(b)中，平滑后天空和地面存在很多孤立噪聲點，建筑物邊緣也很模糊，圖像中細節(jié)信息也有較大程度損失。從圖4(c)和圖 5(c)來看，本文方法很好地實現(xiàn)了圖像平滑和保持邊緣的折衷，保證了圖像視覺連續(xù)性，其視覺效果明顯優(yōu)于P-M方法。

對于圖4(b)和圖 4(c)而言，在迭代次數(shù)相同的情況下，自適應(yīng)參數(shù)高階方法所能達到峰值信噪比比P-M方法所能達到峰值信噪比要高得多，并且平均耗時比P-M方法增加不到20%。表1為對于Cameraman圖自適應(yīng)參數(shù)高階方法與P-M方法運行時間和峰值信噪比的對比結(jié)果。

表1 算法運行時間和峰值信噪比的對比

本文首先對經(jīng)典P-M方程存在兩大問題進行分析，提出了自適應(yīng)參數(shù)高階偏微分方法，有效解決了PM方法“階梯”效應(yīng)及其閾值參數(shù)選取問題，圖像平滑效果比較好，在耗時相對不長的情況下所能達到的峰值信噪比也P-M方法高。

[1]BARASH D,COMANCIU D.A common framework for nonlinear diffusion,adaptive smoothing,bilateral filtering and mean shift[J].Image and Vision Computing,2004,22(1):73-81.

[2]PERNA P,MALIK J.Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion[J].IEEE Trans on Pattern Anal Machine Intell,1990:12(7):629-639.

[3]YOU Y L,XU W,TANNENBAUM A,et al.Behavioral analysis of anisotropic diffusion in image processing[J].IEEE Trans.Image Processing,1996(5):1539-1553.

[4]WAND M P,JONES M C.Kernel smoothing[M].New York:Chapman&Hall,1995.

[5]BLACK M J,SAPIRO G,MARIMONT D H,et al.Robust anisotropic diffusion[J].IEEE Trans on Image Processing,1998,7(3):421-432.

[6]YOU Y L,KAVEH M.Fourth-order partial differential equations for noise removal[J].IEEE Transactions on Image Processing.2000,9(10):1723-1730.