軟件可靠性模型中樣點可信度

陳 文

摘 要:將未確知有理數(shù)理論應用于數(shù)據建模是常見的建模方法,為了使其更有效地應用于軟件可靠性的建模,結合軟件失效數(shù)據的特點,從樣點及樣點的可信度兩方面,研究未確知理論應用于軟件可靠性模型的方法,提出對樣點補償?shù)挠^點,并給出用補償后樣點計算可信度的計算方法。為未確知理論應用于軟件可靠性的建模提供了新思路和新方法,并結合實例說明這一方法的有效性。

關鍵詞:未確知有理數(shù);軟件可靠性;可靠性模型;可信度

中圖分類號:TP311文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2009)20-103-04

Sample Reliability of Software Reliability Modeling

CHEN Wen

(Fuzhou Polytechnic College,Fuzhou,350108,China)

Abstract:Using the theory based on unascertained ration number to study the modeling is a common method.In order to make the theory more effectively applied to the software reliability modeling,a study from samples and its reliability according to the failure data′s characteristic is given.In this paper,a new opinion that the sample should be compensated,and a method which is using compensated value to calculate samples′ reliability are put forward.New thinking and new method in software reliability modeling based on unascertained ration number theory are proposed.It shows the feasibility of new method.

Keywords:unascertained rational number;software reliability;reliability model;reliability

基金項目:國家自然科學基金資助項目(60573088);河北省自然科學基金資助項目(603407)

軟件可靠性模型的研究是利用已知失效數(shù)據預測下一失效時刻,并建立軟件的可靠性模型。未確知理論給出一種從已知數(shù)據,推測或估計未知數(shù)據的方法,將已知數(shù)據的全部或部分數(shù)據作為樣點,同時,計算出各樣點的可信度,給合樣點及樣點的可信度,計算出未知數(shù)據。因此,可以將未確知理論的方法應用于軟件可靠性模型的建立,然而,軟件的失效數(shù)據具有時序特性[1],直接將未確知理論應用于軟件可靠性的建模是不妥的。在此根據軟件失效數(shù)據的特點,提出先對樣點進行補償,再用補償后的數(shù)據計算其可信度的方法,擴展了將未確知有數(shù)理論應用于軟件可靠性模型的思路和方法。

1 未確知理論相關概念

未確知數(shù)學信息處理方法最大的特點是保留所有已知信息,直接參與定量運算,可使積累誤差減到最小,而且除了原始數(shù)據外,沒有任何人為假定,可最大程度忠實于所給信息。未確知有理數(shù)是最簡單、應用最廣泛的表達未確知信息的方法,下面給出未確知有理數(shù)的數(shù)學定義[2]:

對任意閉區(qū)間[a,b],a=x1

φ(x)=αi, x=xi(i=1,2,…,n)

0,其他

且∑ni=1αi=α,0<α≤1,則稱[a,b]和φ(x)構成一個n階未確知有理數(shù),記作[[a,b],φ(x)],稱α,[a,b]和φ(x)分別為該未確知有理數(shù)的總可信度,取值區(qū)間和可信度分布函數(shù)。

設A為式(1)表達的未確知有理數(shù),稱一階未確知有理數(shù):

E(A)={[1α∑ki=1xiαi,1α∑ki=1xiαi],φ(x)}(1)

φ(x)=α,x=1α∑ki=1xiαi

0,其他

式中:E(A)為未確知有理數(shù)A的數(shù)學期望,也稱為未確知期望,簡稱期望或均值。

2 基于未確知有理數(shù)的軟件可靠性模型(UM模型[3])

2.1 基本假設與數(shù)據要求

(1) 基本假設:程序測試環(huán)境與預期使用環(huán)境相同。這是軟件可靠性建模中的標準假設,確保在某一特定環(huán)境下使用數(shù)據采集進行模型評價的正確性。也就是說,該假設應能保證數(shù)據采集得到的失效數(shù)據適用于軟件可靠性的度量。

(2) 實現(xiàn)此模型的數(shù)據需求:軟件失效間隔時間分別為:x1,x2,…,xn,失效時間分別為:t1,t2,…,tn,其中xi=ti-ti-1,i=1,2,…,n;t0=0。

2.2 基本公式

將第i-1次失效作為起點到第i次失效發(fā)生的時間是一個未確知有理數(shù),記為:

xi=[[xmin,xmax],φ(xi)]

式中:

xmin=min(xi-1,xi-2,…,xi-m)

xmax=max(xi-1,xi-2,…,xi-m)

式中:m為參與運算的失效數(shù)據個數(shù),一待定常數(shù),對確認測試可取i-1;對可靠性測試,這里認為早期數(shù)據對預測未來行為作用很小,現(xiàn)時失效間隔數(shù)據比許久之前觀測的失效間隔數(shù)值更好地預測未來,m一般取8~10。φ(xi)是xi的可信度密度分布函數(shù)。定義φ(xi),xj鄰域內xk多,則認為xi取值xj的可信度就大,反之取值xj的可信度就很小,其中j,k=i-m,…,i-1,且j≠k。具體定義為:

φ(xi)=ξj/ξ,xi=xj

0,其他(2)

式中:ξj表示xj鄰域xj-xk≤r中包含xk(j≠k)的個數(shù);ξ=∑i-1j=i-mξj,r為xj的鄰域半徑,可憑經驗由失效數(shù)據估得,應注意在此過程中r是不斷調整的。

xi的數(shù)學期望E(xi)為時刻t的平均失效間隔時間[4]MTBF,其中t是第i-1次失效到第i次失效之間的任一時刻。在穩(wěn)定使用軟件、且不對軟件做任何修改的情況下,軟件的失效強度為一常數(shù),其值為1/MTBF。因此,在兩次失效間隔時間內失效強度是常數(shù)λ,其值為1/E(xi),即:

λ=1/E(xi)(3)

式中:

E(xi)=∑i-1j=i-mxjξjξ, ξ=∑i-1j=i-mξj(4)

以第i-1次失效為起點的時間xi的密度函數(shù)為:

f(xi)=1E(xi)exp-1E(xi)xi(5)

其分布函數(shù)為:

F(xi)=1-exp-1E(xi)xi(6)

其可靠性函數(shù)為:

R(xi)=exp-1E(xi)xi(7)

式中:

E(xi)=∑i-1j=i-mxjξjξ , ξ=∑i-1j=i-mξj

3 樣點可信度分析

3.1 UM模型分析

UM模型將第i次失效間隔時間看作是一個未確知有理數(shù)xi,即時刻t的平均失效間隔時間為E(xi),其中t是第i-1次失效到第i次失效之間的任一時刻。由E(xi)=∑i-1j=i-mxjξjξ可知:

E(xi)≤∑i-1j=i-mxmaxξjξ=xmaxξ∑i-1j=i-mξj=xmax

這就說明,利用UM模型預測的失效間隔總比先前的失效間隔的最大值小。然而,對于軟件可靠性而言,失效數(shù)據的逐漸增大恰恰說明軟件可靠性呈增長特性[5],是正常的、可信的。如圖1(a)所示,樣點5與周圍其他樣點的偏離較大,但認定該樣點可信度較低是不合適的[6],那么,如何克服這種不合理性呢?在此提出一種補償樣點的方法,將原始的失效數(shù)據按照時間的推移作線性補償,用補償后的數(shù)據代替原始數(shù)據,如圖1(b)所示,這樣計算出來的樣點可信度就更合理。

圖1 可信度計算示意圖

3.2 補償直線的確定

失效數(shù)據的失效時刻與預測點的間隔越大,補償量也越大。補償直線設為:

y=xi+ati

式中:xi為原始失效數(shù)據;ti為xi發(fā)生時刻與最后一個觀測樣點的時間間隔,xi,ti均為已知。當系數(shù)a為0時,帶補償?shù)腢M模型即為UM模型,因此,UM模型是帶補償?shù)腢M模型的特例。當系數(shù)a>0時,說明軟件可靠性的增長特性明顯;當系數(shù)a<0時,反映軟件系統(tǒng)是非可靠性增長特征。引入補償系數(shù)后,上式中的E(xi)改為:

E(xi)=∑i-1j=i-m(xj+aptj)ξjξ

式中,a為待定系數(shù),ptj表示從tj到預測點的時間間隔,即:ptj=ti-1-tj,這樣,E(xi)可進一步寫成:

E(xi)=∑i-1j=i-m[xj+a(ti-1-tj)]ξjξ

可以用最小二乘法[7]推導比例系數(shù)a的求法,設UM模型的樣點個數(shù)為m,失效數(shù)據個數(shù)為n。

首先,對x1,x2,…,xm樣點,利用帶補償?shù)腢M模型,其表達式為:

E(xm+1)=∑mj=1(xjξjξ)+a∑mj=1(tm-tj)ξjξ

式中:a為待定系數(shù),進一步改寫為:E(xm+1)=p1+aq1,其中:

p1=∑mj=1xjξjξ,q1=∑mj=i(tm-tj)ξjξ

其次:對于x2,x3,…,xm+1樣點,同樣可利用帶補償?shù)腢M模型得表達:

E(xm+2)=∑m+1j=2(xjξjξ)+a∑m+1j=2(tm+1-tj)ξjξ

=p2+aq2

以此類推,得到最后表達式:

E(xm+k)=pk+aqk(m+k=n,k=n-m)

上述k個表達式中:

pi=∑m+i-1j=ixjξjξ

qi=∑m+i-1j=i(tm+i-1-tj)ξjξ

于是,問題轉化為:求a的值使上述k個值最接近實際值,即:使∑ki=1[xm+i-E(xm+i)]2達到最小,也就是使∑ki=1(xm+i-pi-aqi)2最小。對a求導并令其等于0便得:

∑ki=1(xm+i-pi-aqi)qi=0

解得:

a=∑ki=1(xm+i-pi)qi∑ki = 1q2i(8)

3.3 可信度計算

3.3.1 利用參考模型

可以先給出參考模型如JM模型[8],用參考模型代替圖1(b)中的直線,計算實際失效數(shù)據與參考模型的誤差,利用誤差的大小計算可信度:

樣點數(shù)據:x1,x2,…,xm

參考模型:x′1,x′,…,x′m

誤差量:d1,d2,…,dm

其中:

di=|xi-x′i|

E(xi)=∑i-1j=i-mxjξjξ

而式中,ξj表示dj鄰域|dj-dk|≤r中包含dk(j≠k)的個數(shù),ξ=∑i-1j=i-mξj。

可靠性函數(shù)為:

R(xi)=exp-1E(xi)xi

3.3.2 利用補償?shù)臉狱c值

通過補償系數(shù)a,可以得到補償后的樣點數(shù)據yi-m,yi-m+1,…,yi-1。利用補償后的數(shù)據調整可信度,即:

φ(xi)=ξj/ξ,yi=yj

0,其他(9)

式中:ξj表示yj鄰域|yj-yk|≤r中包含yk(j≠k)的個數(shù);ξ=∑i-1j=i-mξj;r為xj的鄰域半徑,由于此時數(shù)據已經經過補償,r值可適當加大。于是:

E(xi)=∑i-1j=i-myjξjξ(10)

其可靠性函數(shù)為:

R(xi)=exp-1E(xi)xi

3.4 領域半徑r的自適應算法

尋找一種對任何軟件可靠性都適用的模型是不現(xiàn)實的[9]。不同的軟件具有不同的特征,對于某一特定的軟件系統(tǒng),究竟用哪一種樣點可信度的計算方法要根本軟件系統(tǒng)的失效數(shù)據特點來決定。對于失效數(shù)據量較多時,可以通過對歷史失效數(shù)據的預測結果的均方差來確定。上述公式中r可以通過以下自適應算法來調整。

將參與運算的樣點的最大值記為max,最小值記為min,將r的取值范圍擴大到[0.2(max-min),0.8(max-min)]區(qū)間,即r=Cr(max-min),Cr從0.2逐漸變化到0.8,步長設為dCr。r的自適應算法的偽碼[10]描述如下:

begin

i=0

For Cr=0.2 to 0.8 step=dCr

{ i=i+1

For預測點pm=m1 to m2

{ 計算樣點m1-m,m1-m+1,…,m1-1的最大值及最小值max,min

r=Cr*(max-min)

利用公式(8)及公式(10),計算出樣點pm的預測值

利用pm的預測值與實際失效值,計算出誤差值d[pm]

}

利用d[m1],d[m1+1],…,d[m2]計算出均方差dv[i]

}

計算dv[1],dv[2],…的最小值,不妨設為dv[k]

領域半徑r的系數(shù)Cr=0.2+(k-1)*dCr

end

通過上述算法求出Cr后,領域半徑r=Cr(max-min)。

4 實例分析

以下給出具體實例計算樣點的補償值,再利用補償后的樣點計算其可信度,從而求出下一失效的預測值。

表1是裝甲兵工程學院的某軟件測試例子(只取前16個數(shù)據)。其中,xi=ti-ti-1, i=1,2,…,16。

表1 失效數(shù)據

i12345678

xi1115424614

ti123812364256

i910111213141516

xi33130221322777

ti8990120142155177254261

當m取8,r取5,利用求補償系數(shù)式(8)可以得到:a=0.126 36,由a可以求出補償后的樣點值y9,y10,…,y16為:54.73,22.61,47.82,37.04,26.39,32.61,77.88,7.00。

代入式(10)便得到E(x17)(m仍取8, r取10):

E(x17)=∑16j=9yjξjξ=35.02

表2給出了各模型預測比較結果。

事實上,實測結果中第17個故障的出現(xiàn)時刻為300,可見,樣點可信度的調整方法是可行的。

5 結 語

未確知理論為預測未知數(shù)據提供了新方法,但在實際應用中還應該結合具體應用領域的數(shù)據特征,才能使該理論得到更好的應用。本文用補償后的數(shù)據計算可信度的方法,其目的就是使未確知理論更好地應用于軟件可靠性的建模中,拓展了將未確知理論應用于軟件可靠性建模的思路和方法。

表2 預測結果比較

評估模型平均故障間隔時間下一故障可能時間

指數(shù)模型74.309 8335.309 8

JM模型108.501 9369.501 9

GO模型63.474 2324.474 2

Moranda模型72.582 2333.582 2

UM模型26.75287.75

帶補償?shù)腢M模型35.02296.02

參考文獻

[1]馬颯颯,王光平,趙守偉.基于時間序列的軟件可靠性預測模型研究[J].計算機工程與設計,2007,28(11):2 520-2 523.

[2]劉開第,曹慶奎,龐彥軍.基于未確知集合的故障診斷方法[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2004,30(5):747-756.

[3]張永強,孫勝娟.基于未確知理論的軟件可靠性建模[J].軟件學報,2006,17(8):1 681-1 687.

[4]張永強,孫勝娟.一種基于未確知數(shù)學計算軟件MTBF的新方法[J].計算機工程與應用,2006,42(27):50-52.

[5]吳彩華,朱小冬,劉俊濤,等.基于可靠性增長模型的軟件可靠性增長測試充分性準則[J].計算機科學,2008,35(11):281-283.

[6]Chen Wen,Sun Shengjuan,Wan Yajing.Apply Unascertained Theory to Study Software Reliability Modeling[A].The 3rd International Conference on Computer Science & Education[C].2005:918-922.

[7]李桂成.計算方法[M].北京:電子工業(yè)出版社,2005.

[8]何偉,凌能祥,許昌滿.軟件可靠性JM模型的改進[J].統(tǒng)計與決策,2007(2):150-151.

[9]鄒豐忠,劉海青,王林.軟件可靠性綜合模型[J].武漢大學學報:工學版,2003,36(1):86-88.

[10]王曉東.計算機算法設計與分析[M].3版.北京:電子工業(yè)出版社,2007.