一種基于Eno-Haar模型新的圖像修復(fù)算法

趙晨萍,王應(yīng)軍,李登峰

摘 要:為消除圖像消噪中出現(xiàn)的Gibbs現(xiàn)象,基于Eno-Haar模型,提出一種新的圖像修復(fù)算法。利用小波分解的遺傳特征,將間斷信息遺傳到各分解層中;對(duì)帶有間斷信息的小波系數(shù),設(shè)計(jì)多層多方向插值算法進(jìn)行插值,即在各個(gè)分解層上分別插值,并考慮多個(gè)方向進(jìn)行加權(quán)平均,得到最優(yōu)的小波系數(shù),重構(gòu)得到最優(yōu)的修復(fù)圖像。最后對(duì)算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)表明此算法具有很高的可行性和應(yīng)用推廣價(jià)值。

關(guān)鍵詞:Eno-Haar模型;Gibbs現(xiàn)象;Kirsch算子;多層多方向插值

中圖分類號(hào):TP271文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1004-373X(2009)20-045-03

New Image Recovery Algorithm Based on Eno-Haar Wavelet Model

ZHAO Chenping1,WANG Yingjun1,LI Dengfeng2,3

(1.Henan Institute of Science and Technology,Xinxiang,453003,China;

2.Institute of Applied Mathematics,Henan University,Kaifeng,475001,China;

3.College of Mathematics and Information Science,Henan University,Kaifeng,475001,China)

Abstract:A new image recovery algorithm based the Eno-Haar model is devised in order to eliminate the Gibbs phenomena generated in image denoising.Transfering the discontinuous information to the wavelet coefficients by making use of the genetic between the wavelet coefficients.Afterward,modifying the coefficients by multi-level and multi-orientation interpolation algorithm,and optimizing the interpolation results by weighted average method to obtain the optimum coefficients,the recovery images are acquired through the wavelet reconstruction.Finally,the algorithm is verified to be feasible and efficient by simulation experiments.

Keywords:Eno-Haar model;Gibbs phenomena;Kirsch operators;multi-level and multi-orientation interpolation algorithm

0 引 言

圖像消噪是圖像預(yù)處理的主要任務(wù)之一,它的目的是提高消噪后圖像的質(zhì)量,突出圖像特征。近年來(lái),小波分析技術(shù)得到了快速發(fā)展,并廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理、圖像處理、量子場(chǎng)論、不論是小波變換本身,還是與其他算法結(jié)合,其在圖像消噪處理中都取得了很好的效果。但是各種消噪方法在處理中都會(huì)丟失圖像的細(xì)節(jié)及邊緣信息,出現(xiàn)常見(jiàn)的Gibbs現(xiàn)象,即奇異點(diǎn)附近會(huì)出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象。

在文獻(xiàn)[1-3]的工作基礎(chǔ)上,提出一種新的二維Eno-Haar小波變換,在插值延拓過(guò)程中進(jìn)行多層多方向多項(xiàng)式插值,其特點(diǎn)主要體現(xiàn)在保留了原一維Eno的算法思想,而在檢測(cè)間斷點(diǎn)時(shí),對(duì)其間斷方向精確定位;并且在插值之后通過(guò)加權(quán)平均的方法得到最優(yōu)的修正值;最后結(jié)合仿真實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了該算法的有效性和可行性。

1 Gibbs現(xiàn)象

由于在各種消噪方法中會(huì)丟失圖像的細(xì)節(jié)及邊緣再現(xiàn)常見(jiàn)的Gibbs現(xiàn)象,即奇異點(diǎn)的附近會(huì)出現(xiàn)振蕩。如公式(1)所示的一維信號(hào)f(x),其圖示及小波線性逼近如圖1所示。從圖1上可清晰看出,原函數(shù)經(jīng)小波線性逼近后在間斷點(diǎn)處出現(xiàn)了明顯的振蕩。

f(x)=0,0≤x<0.2-50x-5,0.2≤x<0.4

10sin(4πx+0.8π)-1,0.4≤x<1.1

5e2x-100,1.1≤x<1.6

0,1.6≤x<2(1)

針對(duì)上述問(wèn)題,文獻(xiàn)[1]中提出的Eno小波變換方法對(duì)消除Gibbs現(xiàn)象具有很好的效果。

圖1 分段函數(shù)及其小波線性逼近圖像

2 二維小波變換

對(duì)圖像進(jìn)行二維Haar小波變換[4]可解釋為:利用局部平滑濾波器hLL=121111,水平邊界探測(cè)器gLH=11-1-1,垂直邊界探測(cè)器gHL=121-11-1和對(duì)角邊界探測(cè)器gHH=121-1-11進(jìn)行濾波。為計(jì)算一個(gè)2J×2J像素的圖像X的小波變換,首先令平滑圖像為uJ(k,l):=X(k,l),0≤k,l≤2J-1,使uJ(k,l)分別與hLL,gLH,gHL,gHH做卷積, 得到大小為2J-1×2J-1的四個(gè)子帶圖像uJ-1,然后對(duì)平滑圖像uJ-1重復(fù)以上過(guò)程J-1次,最終得到u0,wLH0,wHL0,wHH0,其中的尺度系數(shù)矩陣uj是由原始圖像逐步平滑得到的。小波系數(shù)矩陣wLHj,wHLj,wHHj分別對(duì)應(yīng)圖像在水平、垂直、對(duì)角三個(gè)方向的小波系數(shù)。

3 Eno-Haar模型

Eno算法是通過(guò)修改跳躍處經(jīng)小波變換后產(chǎn)生的小波系數(shù)來(lái)達(dá)到的,所以可以把信號(hào)在跳躍處截為兩段,分別利用這兩段信息各自從間斷處向外進(jìn)行插值延拓。 這樣,在間斷處就有兩組相對(duì)比較平穩(wěn)的信號(hào),使濾波器系數(shù)在處理這兩組信號(hào)時(shí)相當(dāng)于處理平穩(wěn)信號(hào),即避免跨過(guò)跳躍點(diǎn),同時(shí)記錄必要的定位信息。這樣,可以不用修改小波變換和濾波器系數(shù),僅用粗尺度空間的小波系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)。事實(shí)上,利用Eno思想,直接從跳躍處的兩邊各自向外插值延拓,則這些延拓后的值通過(guò)小波變換將不會(huì)在高頻空間產(chǎn)生較大的小波系數(shù),同時(shí)又較好地保留了原圖像地邊緣信息。因此,Gibbs現(xiàn)象能從本質(zhì)上被消除。 具體講,經(jīng)典的Eno小波插值算法可以概括為三個(gè)步驟:

(1) 進(jìn)行間斷點(diǎn)的判斷;

(2) 對(duì)間斷點(diǎn)的對(duì)應(yīng)分解系數(shù)進(jìn)行插值延拓,得到新的小波系數(shù)與尺度系數(shù);

(3) 利用得到的新小波系數(shù)與尺度系數(shù)重構(gòu)。

4 本文算法

4.1 間斷點(diǎn)判斷

圖像的灰度邊緣是灰度值不連續(xù)(或突變、奇異)的結(jié)果,這種不連續(xù)常可利用求導(dǎo)方便地檢測(cè)到,而微分算子具有邊緣檢測(cè)的功能,這里采用微分算子中的Kirsch方向算子判斷奇異點(diǎn)的位置。Kirsch方向算子[5]是利用一組模板分別計(jì)算在不同方向上的差分值,取其中的最大值作為邊緣強(qiáng)度,而將與之對(duì)應(yīng)的方向作為邊緣方向。常用的八方向Kirsch(3×3)模板如圖2所示,各方向的夾角為45°。

圖2 Kirsch算子模板

記模板為Wk(k=1,2,…,8),則(x,y)處的邊緣強(qiáng)度為:

E(x,y)=maxk{Wk?X}(2)

式中:?表示點(diǎn)乘運(yùn)算,計(jì)算方法為:首先讓模板在圖像中移動(dòng),將模板中心與圖中某個(gè)象素位置重合,模板上系數(shù)與模板下對(duì)應(yīng)像素相乘,然后將所有乘積相加,記錄這些邊緣強(qiáng)度,并把每點(diǎn)的最大強(qiáng)度用E={E(x,y)|E(x,y)=maxk{Wk?X}}來(lái)表示,這里稱E為原始圖像的邊緣強(qiáng)度圖像,對(duì)邊緣強(qiáng)度圖像E,利用迭代得到的閾值T,可以確定圖像中間斷點(diǎn)的位置。

4.2 間斷點(diǎn)遺傳

定義1 對(duì)圖像及其分解層上的系數(shù)位置A,A1,A2等,定義如下幾個(gè)函數(shù):

discon(A)=1,A點(diǎn)帶有間斷信息

0,A點(diǎn)不帶間斷信息

G(A1,A2)=1,A1,A2點(diǎn)有間斷

0,A1,A2點(diǎn)無(wú)間斷

inter(A)=1,A點(diǎn)位置的系數(shù)需要插值

0,A點(diǎn)位置的系數(shù)不需插值

定義2 對(duì)分解層上系數(shù)帶有的間斷方向信息,定義如下兩個(gè)向量:

direct1(A)={A點(diǎn)帶有的間斷方向}

direct2(A)={A點(diǎn)需要插值的方向}

假設(shè)對(duì)圖像進(jìn)行n+1層小波分解,在判斷出原始圖像上的間斷點(diǎn)后,對(duì)每一個(gè)間斷點(diǎn),保留所有大于已知閾值的邊緣強(qiáng)度和間斷方向。將這些間斷信息在分解層上進(jìn)行傳遞,如圖3所示為二維Haar小波一個(gè)子帶的四叉樹(shù)結(jié)構(gòu)[4]。每分解一層,下一層系數(shù)的間斷由與它相關(guān)的上一層系數(shù)來(lái)決定,即若上一層的四個(gè)系數(shù)中有一個(gè)是間斷的,則下一層的相應(yīng)位置的系數(shù)一定是間斷的,并且記錄上一層四個(gè)系數(shù)中所有的間斷強(qiáng)度及間斷方向。具體流程圖如圖4所示。

圖3 二維Haar小波變換一個(gè)子帶的四叉樹(shù)結(jié)構(gòu)

圖4 遺傳算法流程圖

4.3 多層多方向插值延拓

對(duì)圖像進(jìn)行n+1層小波分解,在判斷出原始圖像上的間斷點(diǎn)后,對(duì)每一個(gè)間斷點(diǎn),保留所有大于已知閾值的邊緣強(qiáng)度和間斷方向。將這些間斷信息在分解層上進(jìn)行傳遞,插值過(guò)程如下。

(1) 從第1層到第n層,對(duì)待插值系數(shù)及插值方向進(jìn)行搜索。 若第n層系數(shù)需要插值,則置inter[Vn+1(i,j)]=1,并由direct2[Vn+1(i,j)]的值來(lái)判斷需要插值的方向。

(2) 對(duì)inter[Vn+1(i,j)]=1的那些Vn+1(i,j),假設(shè)待插值的兩個(gè)點(diǎn)為Vn(2i+k1,2i+l1)和Vn(2i+k2,2i+l2),其中的k1,k2∈{-1,0};l1,l2∈{-1,0},其不同取值代表不同方向。

(3) 對(duì)每一個(gè)Vn+1(i,j),如果inter(Vn+1(i,j))=1,設(shè)direct2(Vn+1(i,j))中有m個(gè)方向需要插值,則第(4)步中對(duì)Vn+1(i,j)會(huì)判斷出m個(gè)方向插值,也就是說(shuō)對(duì)(i,j)位置會(huì)有m組新系數(shù),現(xiàn)在要做的是對(duì)m組新系數(shù)進(jìn)行加權(quán)平均,其思想源于對(duì)m個(gè)方向能量的平均,其中的權(quán)數(shù)由原始圖像中此位置的各個(gè)方向的邊緣強(qiáng)度的比值來(lái)決定。不妨記原始圖像中對(duì)應(yīng)Vn+1(i,j)的位置是(x,y),則上面m個(gè)方向中第j個(gè)方向的權(quán)重系數(shù)可由式(3)計(jì)算:

λj=Ekj/∑mi=1Eki(3)

(4) 用步驟(3)中加權(quán)平均得到的系數(shù)重構(gòu),分別用來(lái)替換間斷左側(cè)和右側(cè)的系數(shù),重構(gòu)得到修復(fù)圖像。

5 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

用上面的算法,分別對(duì)二值圖像和灰度圖像僅最大邊緣強(qiáng)度和次最大邊緣強(qiáng)度進(jìn)行處理,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。

圖5 仿真實(shí)驗(yàn)圖例

仿真實(shí)驗(yàn)中用兩個(gè)方向的插值,讓間斷點(diǎn)的最大邊緣強(qiáng)度和次最大邊緣強(qiáng)度分別與閾值T進(jìn)行比較;對(duì)大于T的方向才進(jìn)行插值,否則不進(jìn)行插值。由仿真實(shí)驗(yàn)實(shí)例可以看到,兩個(gè)方向的插值在高分解層時(shí)也能很好的消除振蕩現(xiàn)象,很好的改善重構(gòu)圖像的質(zhì)量。 可以應(yīng)用此算法對(duì)八個(gè)方向進(jìn)行判斷插值,然后進(jìn)行加權(quán)平均。

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